Untersuchung der Modenkopplung in magnetischen Ringen anhand ...

Untersuchung der Modenkopplung in magnetischen Ringen anhand zeitaufgelöster 

Brillouin-Lichtstreumikroskopie 

DIPLOMARBEIT 

in 

Experimentalphysik 

von 

Björn Obry 

durchgeführt am 

Fachbereich Physik 

der Technischen Universität Kaiserslautern 

unter Anleitung von 

Prof. Dr. B. Hillebrands 

Januar 2009

Inhaltsverzeichnis 

1 Einleitung 1 

2 Theoretische Grundlagen und Stand der Forschung 3 

2.1 Die Landau-Lifshitz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.2 Das effektive Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.2.1 Das Entmagnetisierungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.2.2 Das Austauschfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.3 Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3.1 Unendlich ausgedehnter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3.2 Dünne Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.4 Quantisierung von Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.5 Quantisierte Spinwellen in komplexen Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.5.1 Mikroskopische magnetische Kreisscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.5.2 Mikroskopische magnetische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

3 Experimentelle Grundlagen 21 

3.1 Brillouin-Lichtstreuspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.2 Brillouin-Lichtstreumikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.2.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.2.2 Tandem-Fabry-Perot-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.3 Zeitaufgelöste Brillouin-Lichtstreumikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.4 Softwareentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4 Experimentelle Ergebnisse 38 

4.1 Probenaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.2 Das Auftreten der Modenkopplung in kleinen magnetischen Ringen . . . . . . . 42 

4.2.1 Einstellen der Kopplungsbedingung über das äußere magnetische Feld . 43 

4.2.2 Nachweis der Modenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.2.3 Mögliche Kopplungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.3 Abhängigkeit der Modenkopplungsstärke vom äußeren Magnetfeld . . . . . . . 57 

i

4.4 Modenkopplung in Ringen unterschiedlicher Größe . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.5 Änderung der Zerfallsdauer von Spinwellen bei Modenkopplung . . . . . . . . . 65 

5 Zusammenfassung und Ausblick 72 

Literaturverzeichnis 75 

ii

Kapitel 1 

Einleitung 

Die Verleihung des Nobelpreises 2007 an Peter Grünberg und Albert Fert für die Entdeckung 

des Riesenmagnetowiderstandes [1, 2] steht symbolisch für den Fortschritt des Forschungs- 

gebietes Magnetismus in den letzten Jahrzehnten. Magnetische Systeme gewinnen in der 

modernen Computer- und Chipindustrie zunehmend an Relevanz und bieten aussichtsreiche 

Perspektiven im anhaltenden Fortschritt zu schnelleren Prozessoren mit höheren Speicher- 

dichten. 

Die Entwicklung des GMR-Lesekopfes durch S.S.P. Parkin trug wesentlich zur Erhöhung der 

Speicherdichte in Computerfestplatten bei. Speicherkapazitäten von Terabyte sind bereits heu- 

te herstellbar. Jedoch bleibt die Festplatte nicht die einzige Anwendung des Magnetismus. Die 

Verbesserung des MRAMs (Magnetic Random Access Memory) [3] sowie die Entwicklung des 

sogenannten Magnetischen Racetrack Memorys [4] stellen zukünftige Herausforderungen dar. 

Diese Speichermedien vereinbaren die Nichtflüchtigkeit einer magnetischen Festplatte mit den 

hohen Zugriffsgeschwindigkeiten eines Arbeitsspeichers. 

Vor allem für die MRAM-Technologie hat die Strukturierung von Mikro- und Nanoobjekten ei- 

ne große Bedeutung [3]. Besondere Sorgfalt muss dabei auf die Betrachtung von magneti- 

schen Streufeldern gelegt werden, die bei größeren Speicherdichten zunehmenden Einfluss 

gewinnen. Um eine Wechselwirkung benachbarter Speicherelemente zu verhindern, müssen 

streufeldminimierte Geometrien gefunden werden. Zahlreiche magnetische Strukturen sind für 

die Anwendung in MRAM-Elementen vorgeschlagen worden. Dazu gehören auch Schichten 

in der Form mikroskopischer Kreisscheiben und Ringe [5]. Im sogenannten Vortex-Zustand 

bildet sich deren Magnetisierung wirbelförmig um ihr Zentrum aus [6]. Solche Strukturen wei- 

sen einen geschlossenen magnetischen Fluss und damit keine Streufelder nach außen auf. 

Im Zentrum einer magnetischen Kreisscheibe bildet sich im Vortex-Zustand ein sogenannter 

Vortex-Kern aus. Dies ist eine kleine Region, in der die Magnetisierung zur Verhinderung einer 

1

Singularität der Austauschenergie senkrecht zur Schichtebene steht [7]. Durch die Verwen- 

dung eines magnetischen Ringes wird ein solcher Vortex-Kern vermieden. Die Magnetisierung 

weist hier eine axiale Symmetrie auf. 

Die industrielle Anwendung von magnetischen Ringstrukturen bedingt eine genau Kenntnis 

ihrer magnetischen Eigenschaften und setzt ihr gründliches Studium voraus. So wurde ent- 

deckt, dass neben dem Vortex-Zustand noch weitere Magnetisierungskonfigurationen wie z.B. 

der sogenannte Onion-Zustand in einem Ring existieren [8]. Mit der Entwicklung der Brillouin- 

Lichtstreumikroskopie (BLS) [9] wurde die Grundlage dafür gesetzt, das Eigenspektrum von 

Spinwellen in mikroskopischen magnetischen Ringen zu untersuchen [10]. Auch die Dissi- 

pation der Spinwellen-Eigenmoden eines Rings wurde beobachtet [11]. Darauf aufbauend 

hat diese Arbeit zum Ziel, Dissipationskanäle von Spinwellen in Ringen genauer zu untersu- 

chen. Es handelt sich hierbei um den Energiefluss zwischen zwei verschiedenen Spinwellen- 

Eigenmoden, die durch dipolare Kopplung miteinander verbunden sind. 

In Kapitel 2 wird zunächst die der Arbeit zugrunde liegende Theorie näher erläutert. Beginnend 

mit der Landau-Lifshitz und Gilbert-Gleichung führt dies über die Betrachtung der möglichen 

Magnetfeldkomponenten zur Behandlung der Spinwellen. Es wird gezeigt, dass mikroskopi- 

sche Strukturen wie Streifen, Kreisscheiben und Ringe zu einer Quantisierung der Spinwellen 

und einer Ausbildung von Spinwellen-Eigenmoden führen. Der Unterschied zwischen dem 

Vortex- und dem Onion-Zustand eines Ringes wird erklärt. 

Auf die Methode der Brillouin-Lichtstreuspektroskopie [12, 13] wird in Kapitel 3 eingegangen. 

Neben dem Prinzip der BLS werden hier die wichtigsten Komponenten der im Experiment 

verwendeten Apparatur erklärt. Die Erweiterung des Setups zu einem zeitaufgelösten BLS- 

Mikroskop sowie ein Überblick über die dazu notwendige Softwareentwicklung folgen. 

Kapitel 4 befasst sich schließlich mit den im Experiment gewonnenen Ergebnissen. Nach ei- 

ner Beschreibung der Probenstruktur wird auf die verschiedenen Eigenmoden eines magne- 

tischen Rings im Onion-Zustand eingegangen. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen 

Modenkopplung auftritt und wie sie beobachtet werden kann. Anschließend wird die Abhängig- 

keit der Modenkopplungsstärke von strukturellen Ringparametern wie Durchmesser und Brei- 

te untersucht. Eine zeitaufgelöste Untersuchung gezielt angeregter Eigenmoden eines Ringes 

lässt schließlich einen Nachweis der Modenkopplung zu. 

Die Ergebnisse der vorhergehenden Arbeiten können im Rahmen dieser Diplomarbeit bestä- 

tigt und besser verstanden werden. 

2

Kapitel 2 

Theoretische Grundlagen und Stand der 

Forschung 

Diese Arbeit befasst sich mit der Kopplung von Spinwellen-Eigenmoden als einem Beispiel 

der vielen möglichen Dissipationsmechanismen der Magnetisierungsdynamik. Dazu werden 

in diesem Kapitel zunächst die theoretischen Grundlagen kurz zusammengefasst und wichti- 

ge Vorexperimente erläutert. Als fundamentale Gleichung der Magnetisierungsdynamik wird 

auf die Landau-Lifshitz und Gilbert-Gleichung eingegangen. Anschließend werden die ver- 

schiedenen möglichen Geometrien für dipolare Spinwellen diskutiert, bevor die Quantisierung 

von Spinwellen in kleinen Strukturen eingeführt und am Beispiel von Ringen diskutiert wird. 

2.1 Die Landau-Lifshitz-Gleichung 

Die Grundlage der Spindynamik ist die Eigenschaft eines magnetischen Moments µm, durch 

ein magnetisches Feld H zu Präzessionsbewegungen um die Feldachse angeregt zu werden. 

Diese Beobachtung wurde bereits 1935 von Landau und Lifshitz in der nach ihnen benannten 

Landau-Lifshitz-Gleichung (LLG) erklärt [14]. Sie kann quantenmechanisch exakt hergeleitet 

werden [15,16]. Im Folgenden wird jedoch eine halbklassische Herangehensweise verwendet 

[12,17]. 

Ein magnetisches Dipolmoment µm erfährt in einem effektiven Magnetfeld Heff ein Drehmo- 

ment 

D = µ m × Heff, (2.1) 

welches aufgrund des Vektorprodukts senkrecht zu µm und Heff steht (Abb. 2.1). Ein atomares 

magnetisches Moment ist weiterhin mit dem Drehimpuls L über die Relation 

3

Die Landau-Lifshitz-Gleichung 

Abbildung 2.1 Sind effektives Magnetfeld Heff und Magnetisierung M nicht parallel zueinander, 

entsteht ein Drehmoment senkrecht zu Heff und M (rot), das eine Präzession der 

Magnetisierung um die Richtung des effektiven Magnetfeldes bewirkt. Die Einführung eines 

Dämpfungsterms resultiert in einer zusätzlichen Vektorkomponente (blau) radial zur Präzessionsachse 

hin. 

L = − (¯h/gµB)µm verknüpft. Daraus folgt für das Drehmoment 

D = dL 

dt 

Hierbei steht die Konstante γ für das gyromagnetische Verhältnis 

dµ m 

= −1 

γ dt = µ m × Heff. (2.2) 

γ = µ m 

L 

gµB 

= . (2.3) 

¯h 

Geht man nun vom atomaren magnetischen Moment auf die über ein Kontinuum gemittelte 

Größe der Magnetisierung M über, so kommt man durch Gl. 2.3 auf die Landau-Lifshitz- 

Gleichung (LLG) 

1 dM 

γ dt = −M × Heff. (2.4) 

Sie ist die Beschreibung einer Präzessionsbewegung der Magnetisierung um die Achse des 

anliegenden effektiven Magnetfeldes. Eine mögliche Dämpfung der Bewegung wird jedoch 

nicht beachtet, so dass die Magnetisierung nach einmaliger Auslenkung aus der Ruhelage 

ewig um Heff präzedieren würde. Landau und Lifshitz kompensierten dies schon damals mit 

einem zusätzlichen Dämpfungsterm in (2.4) [14], der jedoch eine Zunahme der Präzessions- 

frequenz mit steigender Dämpfung beinhaltet. Ein realistischerer Ansatz von Gilbert [18] sieht 

für die Dämpfung einen Drehmoment-Term − α 

MS M × (M × Heff) vor, der auf die Landau- 

Lifshitz und Gilbert-Gleichung führt 

dM 

dt = −γ (M × Heff) + α 

MS 

 

M × dM 

dt 

Der dimensionslose Parameter α ist die Gilbert-Dämpfungskonstante. 

 

. (2.5) 

4

Das effektive Magnetfeld 

Es sollte beachtet werden, dass (2.5) eine nichtlineare Differenzialgleichung ist. Sie kann 

durch Linearisierung analytisch gelöst werden. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die 

nichtlinearen Terme jedoch noch von Bedeutung sein. 

2.2 Das effektive Magnetfeld 

Das auf die Magnetisierung wirkende Drehmoment in der Landau-Lifshitz-Gleichung ist ab- 

hängig vom effektiven Magnetfeld 

Heff = Hext + H(t) + Hani + Hent + Hex + ..., (2.6) 

das die Summe aller magnetischen Felder am Ort der Magnetisierung darstellt. Dabei ist Hext 

ein extern angelegtes konstantes Magnetfeld und H (t) ein möglicher zeitabhängiger Beitrag 

dazu. Das Anisotropiefeld Hani wird durch Anisotropien in der Kristallstruktur des betreffenden 

magnetischen Materials verursacht. Entmagnetisierungsfeld Hent und Austauschfeld Hex spie- 

len vor allem für die Magnetisierungskonfiguration magnetischer Ringe eine wichtige Rolle und 

werden in den nächsten beiden Unterkapiteln genauer betrachtet. Es sollte erwähnt werden, 

dass noch weitere Effekte einen Beitrag zu Heff liefern könnten, wie z.B. die Magnetostriktion, 

die hier aber vernachlässigt werden. 

2.2.1 Das Entmagnetisierungsfeld 

Das Entmagnetisierungsfeld Hent berücksichtigt die Dipol-Dipol-Wechselwirkungen der einzel- 

nen atomaren magnetischen Momente untereinander. 

Jedes atomare Moment µm erzeugt im Abstand r ein magnetisches Dipolfeld [19] 

H(r) = 3r (r · µ m) 

r 5 

− µ m 

, (2.7) 

r3 das an diesem Ort zum effektiven Magnetfeld beiträgt. Handelt es sich um einen unendlich 

ausgedehnten ferromagnetischen Festkörper, so eliminieren sich an jedem Ort die Dipolbei- 

träge gegenseitig. Für einen endlichen Magneten ist das nicht mehr der Fall. Die dort auftreten- 

den Effekte können aus den Maxwell-Gleichungen im magnetostatischen Grenzfall abgeleitet 

werden. Dieser hat auch im Fall von Spinwellen Gültigkeit, wenn deren Frequenz viel kleiner 

als die Frequenz von Licht desselben Wellenvektors ist [20, 21]. Im Rahmen dieser Arbeit ist 

5


das immer erfüllt. In der Magnetostatik vereinfachen sich die Maxwell-Gleichungen zu 

∇ × Hent = 0 (2.8) 

∇ · B = ∇ · (Hent + 4πM) = 0. (2.9) 

Wegen (2.8) kann das magnetische Feld auch als Gradient eines skalaren Potenzials betrach- 

tet werden 

Einsetzen von (2.10) in (2.9) ergibt 

Hent = −∇φM. (2.10) 

∆φM = −4π (∇ · M) = −ρM 

(2.11) 

in Analogie zur Poisson-Gleichung der Elektrostatik. Die Divergenz der Magnetisierung kann 

hier als magnetische Ladung angesehen werden. Sie ist die Quelle des magnetischen Feldes 

Hent. 

Äquivalent zur Ermittlung des magnetostatischen Potenzials aus der Differenzialgleichung 

(2.11) ist die Berechnung von φM über das Poisson-Integral 

φM(r) = − 1 

 

4π 

ρM 

|r − r ′ | dr′ ′ ′ ∇ · M(r ) 

= − 

|r − r ′ | dr′ . (2.12) 

Für endliche Magnetisierungsverteilungen ist das Integral lösbar und kann in einen Volumen- 

sowie einen Oberflächenterm aufgeteilt werden, 

 

φM(r) = − 

V 

∇ ′ · M(r ′ ) 

|r − r ′ | dr′ 

+ 

∂V 

n(r ′ ) · M(r ′ ) 

|r − r ′ dF 

| 

′ . (2.13) 

Dabei tragen im Volumenteil inhomogene Magnetisierungsverteilungen zu einem magnetosta- 

tischen Entmagnetisierungspotenzial bei. Man kann deshalb sogenannte magnetische Volu- 

menladungen λM = ∇ ′ · M(r ′ ) definieren. Ebenso ist es möglich, sich den Oberflächenanteil 

von φM(r) als durch magnetische Oberflächenladungen σM = n(r ′ ) · M(r ′ ) erzeugt vorzustel- 

len. Magnetische Oberflächenladungen entstehen überall dort, wo die Magnetisierung nicht 

parallel zur Oberfläche des magnetischen Festkörpers ausgerichtet ist. 

Schließlich ergibt sich die magnetostatische Energiedichte zu 

εent = 1 

2 Hent · M. (2.14) 

Anschaulich ist das die Dichte der potenziellen Energie, welche die magnetischen Elemente im 

Magnetfeld Hent erfahren. Da jedes magnetische Moment selbst einen Beitrag zu Hent liefert, 

6


wird der Faktor 1/2 eingeführt, um Doppelzählungen zu vermeiden. Allein aus der Betrachtung 

der Entmagnetisierungsenergie würde ein magnetischer Festkörper wegen (2.10) also immer 

die Magnetisierungskonfiguration mit dem geringsten Entmagnetisierungspotenzial wählen. 

Das bedeutet, dass sich die Magnetisierung stets homogen und parallel zu den Oberflächen 

eines Festkörpers ausrichtet, wenn nicht andere Effekte wie ein äußeres Magnetfeld oder die 

Austauschenergie andere Konfigurationen begünstigen. 

2.2.2 Das Austauschfeld 

Das Austauschfeld Hext beschreibt die Spin-Spin-Wechselwirkung des magnetischen Sys- 

tems. Die Austauschwechselwirkung bewirkt kein Magnetfeld im eigentlichen Sinne, sondern 

berücksichtigt vielmehr die unterschiedlichen Energien, die zwei Spins Si und Sj je nach Ori- 

entierung zueinander annehmen können. Sie folgt so als Konsequenz aus dem Pauli-Prinzip 

und ist ein rein quantenmechanischer Effekt. 

Die Austauschenergie in einem Ferromagneten wird im Heisenberg-Modell wie folgt dargestellt 

[22]: 

E ex = − 1 

2 

 

i,j 

J ex 

ij Si · Sj. (2.15) 

Die positive Größe J ex 

ij ist das sogenannte Austauschintegral. Es ist durch das Überlappintegral 

der Wellenfunktionen von i-tem und j-tem Atom bestimmt und stark vom Abstand 

der beiden Atome abhängig. Die Austauschwechselwirkung ist zwar stärker als die oben be- 

schriebene Dipol-Wechselwirkung zweier atomarer magnetischer Momente, jedoch auch viel 

kurzreichweitiger. Es genügt daher, die Austauschwechselwirkung als eine Nächste-Nachbar- 

Wechselwirkung anzusehen. Somit ergibt sich für die Austauschenergie eines Spins Si 

E ex 

i = − 

J 

j=NN 

ex 

ij Si · Sj = −Si 

 

JijSj = 

j=NN 

µi 

· 

gµB 

 

j=NN 

JijSj 

(2.16) 

und die Austauschenergie kann als Zeeman-Energie des Spins Si im sogenannten Austausch- 

feld Hex angesehen werden, mit [21] 

Hex = − 1 

gµ0µB 

 

j=NN 

JijSj. (2.17) 

Außerdem kann der zweite Term von Gl. 2.16 noch auf eine andere Weise dargestellt werden: 

Eex = − 

JijS 2 cosθij. (2.18) 

i>j 

7

Spinwellen 

θij gibt hier den Winkel zwischen den beiden Spins Si und Sj an. Wie in [23] beschrieben, 

kann daraus durch eine Entwicklung des Kosinus in eine Taylorreihe für kleine Verkippungen 

der Spins die Austausch-Energiedichte 

εex = A 

M 2 S 

· (∇ · M) 2 = A 

M 2 S 

· M · ∆M (2.19) 

hergeleitet werden. Der Parameter A wird Austauschkonstante genannt und ist mit dem Aus- 

tauschintegral über die Relation 

A = S2 a 2 Jijz 

2V 

(2.20) 

verknüpft. Dabei ist a der Abstand zweier Spins und z die Anzahl der nächsten Nachbarn 

im Volumen V . Das letzte Gleichheitszeichen folgt nach [24] aus der zweimaligen Ableitung 

 

 

der Relation M 

 

 

2 

= 1. Wegen Hex = −∇M ε kann aus (2.20) wiederum das Austauschfeld 

MS 

berechnet werden 

Hex = A 

M 2 S 

· ∆M = λex · ∆M. (2.21) 

λex wird Austausch-Steifigkeitskonstante genannt. Die Austauschwechselwirkung bevorzugt 

Magnetisierungskonfigurationen mit kleinen Divergenzen der Magnetisierung. Da die Wech- 

selwirkung sehr stark und kurzreichweitig ist, strebt sie nach der Parallelität von benachbarten 

Spins. 

2.3 Spinwellen 

2.3.1 Unendlich ausgedehnter Körper 

Die Landau-Lifshitz-Gleichung (2.4) beschreibt die Präzession eines Spins, bzw. im Rahmen 

der Makrospinnäherung die kohärente Präzession eines Ensembles von allesamt und allezeit 

parallel ausgerichteten Spins im effektiven Magnetfeld. Letzteres entspricht einer Spinwelle 

mit einer unendlich großen Wellenlänge (k = 0). Um nun die Präzessionsfrequenz ermitteln 

zu können, muss eine Lösung für die LLG gefunden werden, unter Beachtung der magneto- 

statischen Maxwell-Gleichungen. 

Für eine analytische Lösung muss die LLG zunächst linearisiert werden. Für einen unend- 

lich ausgedehnten, isotropen und in z-Richtung magnetisierten Festkörper ist dies durch die 

Aufspaltung der Magnetisierung und des magnetischen Feldes in ihre statischen und dynami- 

8

schen Anteile möglich 

⎛ 

mxe 

⎜ 

M = M0 + m(t) = ⎜ 

⎝ 

iωt 

myeiωt ⎞ 

⎟ 

⎠ 

H0 


(2.22) 

M0 

⎛ 

hxe 

⎜ 

H = H0 + h(t) = ⎜ 

⎝ 

iωt 

hyeiωt ⎞ 

⎟ , (2.23) 

⎠ 

verbunden mit der Annahme, dass die dynamischen Anteile der Magnetisierung und des Ma- 

gnetfeldes viel kleiner sind als die statischen Anteile 

mx, my ≪ M0 ; hx, hy ≪ H0. (2.24) 

Dabei wird eine harmonische Zeitabhängigkeit der dynamischen Komponenten angenommen. 

Die Lösung der LLG mit dem Ansatz (2.22) und (2.23) ergibt die Präzessionsfrequenz der 

Magnetisierung nach der Kittel-Formel [25] 

 

Ω = γ (H0 + 4πMS) H0. (2.25) 

Die Kittel-Formel gibt also die Spinwellenfrequenz für die kohärente Präzession der Einzel- 

spins an. Offensichtlich ist sie ein Spezialfall für einen Wellenvektor k = 0. 

Im Falle endlicher Wellenlängen können nun nicht mehr alle Spins parallel zueinander ste- 

hen. Um zwei benachbarte Spins gegeneinander zu verkippen, muss Austauschenergie auf- 

gewendet werden. Weiterhin wird die dynamische Magnetisierung nun ortsabhängig und für 

jeden Wellenvektor k verschieden sein. Unter der Annahme einer ebenen Welle und der Bei- 

behaltung der harmonischen Zeitabhängigkeit folgt 

m(r,t) = 

k 

mk,0 · e iωt e ikr . (2.26) 

Das Magnetfeld muss jetzt um das Austauschfeld (2.21) korrigiert werden. Mit einer Magneti- 

sierung wie in (2.22) angenommen ergibt sich 

Hex = λex · ∆M = λex · ∆ (M0 + m(r,t)) = −λexk 2 m(r,t) (2.27) 

und die Lösung der Landau-Lifshitz-Gleichung wird als Präzessionsfrequenz die allgemeinere 

Lösung 

 

Ω = γ (H0 + λexk2 ) + 

H0 + λexk2 + 4πMS sin2 

θk 

(2.28) 

9


haben. Dies ist die sogenannte Herring-Kittel-Formel [26]. Die Veränderung gegenüber (2.25) 

liegt in einer effektiven Erhöhung des Magnetfelds H0 um einen Austauschterm λexk 2 . Für 

große Wellenvektoren dominiert der Austauschterm und die Spinwellendispersion zeigt eine 

quadratische Abhängigkeit zu k. Man spricht von austauschdominierten Spinwellen. 

2.3.2 Dünne Schicht 

Die Ansätze (2.22) und (2.23) wurden unter der Annahme eines isotropen und unendlich aus- 

gedehnten Festkörpers gemacht. Für eine dünne magnetische Schicht mit lateraler Ausdeh- 

nung in x- und y-Richtung und mit einer kleinen Ausdehnung in z-Richtung ist diese Annahme 

nicht mehr gültig. Folglich werden Abweichungen der Dispersionsrelation von der oben abge- 

leiteten Herring-Kittel-Formel (2.28) auftreten. 

Die Abweichungen können zum einen damit erklärt werden, dass die räumliche Begrenzung 

der Schicht zu einer Quantisierung der z-Komponente des Wellenvektors führt. Durch Refle- 

xion der Spinwellen an den Schichtoberflächen bilden sich senkrecht zur Schicht stehende 

Wellen (PSSW) aus, die nach der Anzahl ihrer Knoten p klassifiziert werden können. Die hö- 

heren PSSW-Moden weisen dabei für eine hinreichend dünne Schicht Frequenzen außerhalb 

der experimentellen Reichweite auf. Es wird daher nur die in z-Richtung homogene PSSW- 

Mode mit p = 0 betrachtet. 

Zum anderen werden durch die dynamischen Magnetisierungen an der Schichtoberfläche ma- 

gnetische Oberflächenladungen erzeugt. Aufgrund der langen Reichweite der dipolaren Wech- 

selwirkung beeinflussen diese die Spinwellendispersion in der gesamten Schicht. Für Spinwel- 

len mit kleinen Wellenvektoren dominieren diese dipolaren Effekte die Spinwellendispersion. 

Man spricht von dipolaren Spinwellen, im Gegensatz zu den oben beschriebenen austausch- 

dominierten Spinwellen bei großen k. Nach [27] ergibt sich für die Spinwellenrelation unter 

Beachtung der Dipoleinflüsse für die über die Schichtdicke homogene Mode (p = 0) folgende 

Dispersionsrelation 

 

Ω = γ (H0 + λexk2 ) + 

H0 + λexk2 + 4πMSF00(kd) 

. (2.29) 

Hierbei ist k der Betrag der Projektion von k in die Schichtebene. Er ist zusammen mit der 

Schichtdicke d ein Parameter der Funktion F00, die als Dipol-Dipol-Matrixelement bezeichnet 

wird [27]. Sie hängt zusätzlich vom Winkel θ zwischen k und der Richtung der Magnetisierung 

M ab: 

F00 = 1 + P00(k) 

1 − P00(k) 4πMS 

H + λexk2 sin 

 

2 θ − P00(k) cos 2 θ (2.30) 

10


Abbildung 2.2 Dispersionsrelation für die magnetostatische Oberflächenmode (blau) und die 

magnetostatische Backward-Volumenmode (rot) gemäß Gl. 2.29 für die Winkel θ = 90 ◦ , 

bzw. 0 ◦ . Die Kurve wurde errechnet für das Beispiel einer Permalloy-Schicht (Ni81Fe19), 

mit einer Sättigungsmagnetisierung MS = 860 Oe, der Austausch-Steifigkeitskonstanten 

λex = 3, 72 · 10−9 Oe · cm2 , dem gyromagnetischen Verhältnis γ = 0, 0176 GHz 

und für ein 

Oe 

effektives Magnetfeld von H0 = 800 Oe. Die Vergrößerung der y-Achsenskala um den Faktor 

5 für relative Frequenzen Ω/Ω0 < 1 ist zu beachten. 

mit 

P00 = 1 − 1 − e−k d 

kd 

. (2.31) 

Die Spinwellen in einer dünnen magnetischen Schicht haben für lange Wellenlängen also 

Dipolcharakter und weisen abhängig vom Winkel θ ein unterschiedliches Dispersionsverhalten 

auf. Abbildung 2.2 zeigt zwei Spezialfälle für θ = 0 ◦ und 90 ◦ , die im Folgenden genauer 

behandelt werden. 

Die magnetostatische Oberflächenmode 

Der Spezialfall einer senkrechten Propagation der Spinwelle zur Richtung der Probenmagneti- 

sierung resultiert in der in Abb. 2.2 blau dargestellten Dispersionsrelation. Es handelt sich hier- 

11


bei um die magnetostatische Oberflächenmode (MagnetoStatic Surface Wave, MSSW). Oft 

wird sie auch als Damon-Eshbach-Mode bezeichnet, da sie 1961 von R.W. Damon und J.R. 

Eshbach zum ersten Mal berechnet wurde [28]. In Abb. 2.2 ist am Beispiel einer Permalloy- 

Schicht für Wellenvektoren bis zu 2 · 10 5 cm −1 schön zu erkennen, dass die Damon-Eshbach- 

Mode von der Frequenz der kohärenten Präzession bei k = 0 aus startet. Sie zeigt eine 

positive Dispersion und geht langsam in Sättigung über. Für größere k wird die Dispersion der 

k 2 -Abhängigkeit der austauschdominierten Spinwellen folgen. Die explizite Form der Dispersi- 

onsrelation geht für θ = 90 ◦ aus Gl. 2.29 hervor, wobei der Einfluss der Austauschwechselwir- 

kung hier aufgrund der großen Wellenlängen vernachlässigt werden kann: 

 

 

2 

ΩMSSW = γ H0 (H0 + 4πMS) + (2πMS) 1 − e−2kd 

. (2.32) 

Eine besondere Eigenschaft der Damon-Eshbach-Mode ist, dass sie ihre maximale Amplitude 

an der Schichtoberfläche hat. Daher der Name „Oberflächenmode“. Nach innen hin fällt ihre 

Amplitude exponentiell ab. Hinzu kommt ein wohldefinierter Umlaufssinn der Oberflächenmo- 

de um die Schicht herum. Läuft die Spinwelle also auf der einen Seite der Schicht in eine 

Richtung, so wird sie auf der Rückseite der Schicht in die entgegengesetzte Richtung propa- 

gieren. 

Die magnetostatische Backward-Volumenmode 

Eine Spinwelle, deren Propagation parallel zur Magnetisierungsrichtung der Probe verläuft, 

d.h. θ = 0 ◦ , wird demhingegen als magnetostatische Backward-Volumenmode bezeichnet. 

Gl. 2.29 kann dann vereinfacht werden zu 

 

 

 

ΩMSBVW = γ 

H0 

 

H0 + 4πMS 

1 − e−k 

d 

kd 

. (2.33) 

Diese Funktion ist in Abb. 2.2 durch die rote Kurve dargestellt. Sie startet ebenfalls bei der 

Frequenz der kohärenten Präzession aller Spins, weist im Gegensatz zur Oberflächenmode 

jedoch eine negative Dispersion auf. Das kommt aber einer negativen Gruppengeschwindig- 

keit der Spinwelle gleich, da diese durch 

vgr = ∂Ω 

∂k 

(2.34) 

gegeben ist. Diese Eigenschaft verleiht der „Backward“-Volumenmode ihren Namen. Es ist zu 

beachten, dass die Frequenzachse für die Backward-Volumenmode gegenüber der Oberflä- 

chenmode um einen Faktor 5 vergrößert ist. Die Gruppengeschwindigkeit der Volumenmode 

12

Quantisierung von Spinwellen 

in Permalloy ist also sehr gering. Aufgrund ihrer kleinen Geschwindigkeit haben Spinwellen mit 

einer Propagation in Richtung der Magnetisierung eine kurze Reichweite in kleinen Permalloy- 

Schichten. 

Auch bei der Backward-Volumenmode wird die Austauschwechselwirkung für große Wellen- 

vektoren dominieren, so dass der negative Verlauf der Dispersion schließlich in eine k 2 - 

Abhängigkeit übergehen wird. 

2.4 Quantisierung von Spinwellen 

Eine wesentliche Erkenntnis der Quantenmechanik ist die Quantisierung der Energie einer 

Welle aufgrund der Eingrenzung auf ein endliches Volumen. Diese Quantisierung tritt auch 

bei Spinwellen auf. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, die Einschränkung einer Spinwelle zu 

erreichen. Zum einen trägt eine Verkleinerung der Ausmaße des betrachteten magnetischen 

Materials zu einer räumlichen Einschränkung bei, zum anderen können inhomogene Magnet- 

felder einen Potenzialtopf für Spinwellen darstellen. Diese Überlegungen wurden bereits in 

Kap. 2.3.2 beim Übergang von einem unendlich ausgedehnten Körper zu einer dünnen Schicht 

berücksichtigt. In diesem Kapitel wird gezeigt, dass für den Fall eines magnetischen Streifens 

die Spinwellen durch die endliche Streifenbreite ebenfalls quantisiert sein werden. Einen Über- 

blick gibt Ref. [29]. 

Mittels Brillouin-Lichtstreuspektroskopie wird die Spinwellendispersion eines Permalloy-Strei- 

fens der Länge L = 5 µm entlang der y-Achse und der Breite w = 1, 8 µm parallel zur z-Achse 

gemessen. Dabei ist der Streifen in y-Richtung magnetisiert. Da dies parallel zu seiner langen 

Achse ist, können Streufelder vernachlässigt werden und das interne Feld in der Mitte des 

Streifens wird homogen über die Streifenbreite und gleich dem von außen angelegten Feld 

sein. Die Messung erfolgt in der MSSW-Geometrie, d.h. es werden nur Wellenvektoren senk- 

recht zur Magnetisierungsrichtung betrachtet. Die Spinwelle erfährt dadurch eine räumliche 

Einschränkung durch die begrenzte Breite des Streifens, die nun in der Größenordnung der 

Wellenlänge der Spinwelle ist. Abb. 2.3 zeigt das Ergebnis einer Messung mit einem äußeren 

Magnetfeld von Hext = 500 Oe, wie sie in [30] durchgeführt wurde. 

Für kleine Wellenvektoren werden diskrete Werte der Spinwellenfrequenz gemessen. Das 

kann mit der Ausbildung von stehenden Wellen senkrecht zur Streifenbreite durch Reflexi- 

on an den Streifenrändern erklärt werden. Die z-Komponente des Wellenvektors kann dann 

durch 

kz = nπ 

w 

(2.35) 

13

Quantisierung von Spinwellen 

Abbildung 2.3 Dispersionsrelation eines Permalloy-Streifens der Länge L = 500 µm, Breite 

w = 1, 8 µm und Dicke d = 20 nm. Der Streifen ist entlang seiner langen Achse magnetisiert. 

Gemessen wird in der MSSW-Geometrie mittels Brillouin-Lichtstreuspektroskopie. Die 

gemessenen Spinwellenfrequenzen sind für kleine Wellenvektoren quantisiert. Quelle: [30]. 

beschrieben werden. Zusätzlich tritt aufgrund der Unschärferelation eine Verschmierung des 

k-Vektors durch die Einschränkung im Raum auf. Eine diskrete Frequenz ist somit über ein 

breites Intervall von k zu messen. 

In [31] wird schließlich auch die Quantisierung von Spinwellen durch eine inhomogene Ma- 

gnetisierungsverteilung nachgewiesen. Dazu wird die Spinwellendispersion in der MSBVW- 

Geometrie (k M ez) mittels BLS gemessen. Ein senkrecht zur langen Achse magnetisierter 

Streifen weist an seinen Rändern jedoch viele magnetische Oberflächenladungen auf, deren 

Streufelder zu einem inhomogenen internen Magnetfeld Hint im Streifen führen. Das Profil des 

internen Magnetfelds ist im Einschub in Abb. 2.4 abgebildet. Während der Einfluss der Entma- 

gnetisierungsfelder in der Streifenmitte noch vernachlässigbar ist, wird Hint am Streifenrand 

null. Eine Spinwelle wird in Regionen mit Hint = 0 jedoch reflektiert. Ebenso kann ein zu hoher 

Wert relativ zur Frequenz der Spinwelle zur Reflexion führen. Dies ist in Abb. 2.4 genauer aus- 

geführt. Hier sind Dispersionskurven für verschiedene Magnetfelder aufgetragen. Wie aus der 

Abbildung ersichtlich, kann eine Spinwelle mit Frequenz Ω nur in einem bestimmten Intervall 

von k existieren, da Ω ab einem gewissen Wert Hmax nicht mehr auf der Dispersionskurve 

liegt. Es sind also nur gewisse Werte des Wellenvektors erlaubt. Daraus resultiert auch eine 

Einschränkung im Ort, wie aus dem Einschub in Abb. 2.4 hervorgeht. Das inhomogene Feld 

kann somit als Potenzialtopf für Spinwellen angesehen werden, in dem sie lokalisiert und in 

ihrem Wellenvektor eingeschränkt werden. 

14

Quantisierte Spinwellen in komplexen Strukturen 

Abbildung 2.4 Zur Quantisierung von Spinwellen durch ein inhomogenes Feld. Dargestellt 

ist die Dispersion für verschiedene Magnetfelder in der MSBVW-Geometrie eines senkrecht 

zur langen Achse magnetisierten Permalloy-Streifens der Länge L = 500 µm und Breite 

w = 1 µm. Durch die Schnittpunkte der Linie konstanter Frequenz mit den Dispersionsrelationen 

kann der erlaubte Wellenvektorbereich einer Spinwelle ermittelt werden. Die räumliche 

Lokalisation der Spinwelle kann aus dem Einschub abgelesen werden. Hier ist das Profil des 

internen Feldes entlang der Streifenbreite dargestellt. Quelle: [31]. 

2.5 Quantisierte Spinwellen in komplexen Strukturen 

Die Quantisierung der Energie aufgrund der räumlichen Einschränkung von Spinwellen kann 

auch in komplexeren Strukturen nachgewiesen werden. Im folgenden werden die Eigenmo- 

den für dünne magnetische Scheiben sowie das vielfältige Eigenmodenspektrum von magne- 

tischen Ringstrukturen beschrieben. 

2.5.1 Mikroskopische magnetische Kreisscheiben 

Für einen dünnen ferromagnetischen Streifen ist die totale Energie des Systems minimal, 

wenn der Streifen entlang seiner langen Achse magnetisiert ist. Dann werden Entmagnetisie- 

rungs- und Austauschenergie minimiert. Ohne ein von außen angelegtes Feld wird die Ma- 

gnetisierung sich also in diesem Grundzustand ausrichten. Für den Fall einer Kreisscheibe 

gibt es keine Konfiguration, in der sowohl das Entmagnetisierungsfeld als auch das Aus- 

tauschfeld minimiert sind. Die Magnetisierung wird sich hier so einstellen, dass die Summe 

von Austausch- und Entmagnetisierungsenergie, also die totale Energie des Systems, mini- 

miert wird. Dies kann jedoch für unterschiedliche Verhältnisse von Durchmesser zu Dicke der 

15


Scheibe anders aussehen. So kann die Magnetisierung über die gesamte Kreisscheibe homo- 

gen in einer einzigen Domäne ausgerichtet sein. Cowburn fand 1999 zudem den sogenannten 

Vortex-Zustand [6]. In dieser Konfiguration richtet sich die Magnetisierung in konzentrischen 

Kreisen um das Zentrum in der Scheibe aus und bildet damit einen Vortex. Dadurch ist der 

magnetische Fluss in der Kreisscheibe geschlossen, es werden keine magnetischen Ober- 

flächenladungen erzeugt. In einem kleinen Bereich um das Zentrum der Kreisscheibe, dem 

sogenannten Vortex-Kern, muss zur Vermeidung einer Singularität die Magnetisierung senk- 

recht aus der Schichtebene heraus orientiert sein. Die Untersuchung der Eigenschaften und 

der Kontrolle dieses Vortex-Kerns sind Gegenstand der aktuellen Forschung. Eine direkte Ab- 

bildung eines magnetischen Vortex ist zum Beispiel durch MFM-Mikroskopie möglich [7]. 

Auch in Kreisscheiben treten Quantisierungseffekte auf, falls ihre Größe vergleichbar zur Wel- 

lenlänge der Spinwellen wird. Durch die Einschränkung auf ein kleines Volumen bilden sich 

stehende Wellen aus, sogenannte Eigenmoden, welche eine diskrete Eigenfrequenz aufwei- 

sen. Für eine Kreisscheibe ist die Betrachtung am einfachsten in Polarkoordinaten. Der Wel- 

lenvektor einer Spinwelle wird dann wie folgt geschrieben: 

k = kr · er + kϕ · eϕ. (2.36) 

Für Radien der Kreisscheiben vergleichbar mit der Wellenlänge ist die radiale Komponente 

kr des Wellenvektors gequantelt. Es bilden sich stehende Spinwellen mit Knoten in radialer 

Richtung aus. Ihre Intensitätsverteilung ist axialsymmetrisch. Ist der Umfang der Kreisscheiben 

ebenfalls klein genug, so ist auch die azimuthale Wellenvektor-Komponente kϕ gequantelt und 

es entstehen sogenannte azimuthale Moden. Diese werden Knoten in azimuthaler Richtung 

haben. Die Axialsymmetrie ist daher gebrochen. 

Das Eigenmodenspektrum kleiner Kreisscheiben mit Durchmessern bis zu 1 µm ist in [32] 

anhand zeitaufgelöster Raster-Kerr-Mikroskopie untersucht worden. Abb. 2.5 zeigt die dabei 

auftretenden radialen und azimuthalen Eigenmoden. Die Scheiben werden durch einen kurz- 

en Magnetfeldpuls senkrecht zur Schichtebene angeregt. Da ein Puls Frequenzen aus einem 

weiten Frequenzbereich enthält, können alle Eigenmoden gleichzeitig angeregt werden. Die 

Unterscheidung verschiedener Eigenmoden wird dadurch erzielt, dass die zeitaufgelöste Mes- 

sung der Spinwellenintensität an jedem Punkt der Scheibe durch eine Fouriertransformation in 

den Frequenzraum abgebildet wird, wo die Frequenzselektion stattfindet. In Abb. 2.5 sind so- 

wohl Amplitude als auch Phase der Eigenmoden dargestellt. Dabei werden die radialen Moden 

noch mit dem Ergebnis von mikromagnetischen Simulationen verglichen. In Übereinstimmung 

mit den Erwartungen liegen die Übergänge von einer Phase in die entgegengesetzte Phase 

genau an den Stellen in der Scheibe, wo ein Knoten in der Amplitude auftritt. 

16


Abbildung 2.5 Anregbares Spinwellen-Eigenmodenspektrum kleiner magnetischer Scheiben. 

Gezeigt sind die ersten drei Ordnungen der radialen Moden (links) und die ersten beiden 

azimuthalen Eigenmoden (rechts). Die Daten wurden mittels zeitaufgelöster Raster-Kerr- 

Mikroskopie aufgenommen und zur Frequenzselektion Fourier-transformiert. Für die radialen 

Moden werden die gemessenen Daten (rechter Halbkreis) mit mikromagnetischen Simulationen 

(linker Halbkreis) verglichen. Es ist für jede Eigenmode sowohl die räumliche Amplitudenals 

auch die Phasenverteilung dargestellt. Quelle: [32]. 

2.5.2 Mikroskopische magnetische Ringe 

Eine der Kreisscheibe sehr ähnliche Figur ist der Ring. Wesentliche Unterschiede treten aber 

bei der Betrachtung der möglichen Magnetisierungskonfigurationen auf. Da ein Ring in seiner 

Mitte ausgeschnitten ist, kann ein Vortex-Zustand existieren, ohne dass eine Singularität in der 

Mitte existiert. Die Magnetisierung ist dann an jeder Stelle des Ringes homogen und parallel 

zu seinen Grenzflächen. Es gibt keine Stelle, an der die Magnetisierung unter Aufwendung von 

Streufeldenergie senkrecht zur Schichtebene orientiert ist. Der Vortex-Zustand eines Ringes 

ist in mikromagnetischen Simulationen in [33] berechnet worden und in Abb. 2.6a links darge- 

stellt. Ein weiterer Magnetisierungszustand ist in [8] als Onion-Zustand beschrieben (Abb. 2.6a 

rechts). Bei Anlegen eines äußeren Magnetfeldes läuft die Magnetisierung auf beiden Seiten 

des Ringes in umgekehrtem Umlaufsinn um den Ring herum und erinnert so an eine Zwiebel. 

Es bilden sich im Ring zwei charakteristische Regionen aus. An den „Äquatorpositionen“ des 

Ringes bei α = 90 ◦ und 270 ◦ (siehe Abb. 2.6b) bleibt die Magnetisierung weitgehend unbe- 

einflusst. Das interne Feld entspricht dem von außen angelegten Magnetfeld Hext. An den 

„Polpositionen“ bei α = 0 ◦ und 180 ◦ erzeugt Hext jedoch eine ziemlich inhomogene Magneti- 

sierungsverteilung. Die Magnetisierung steht nicht mehr parallel zur Ringgrenzfläche, folglich 

entstehen magnetische Oberflächenladungen. Das interne Magnetfeld wird am Pol durch ein 

Entmagnetisierungsfeld verringert (Abb. 2.6c). Entlang des Ringumfangs bildet sich im Onion- 

Zustand also ein inhomogenes internes Magnetfeld aus. Dieses ist in [10] für Permalloy-Ringe 

verschiedener Größe berechnet worden und in Abb. 2.7b dargestellt. 

Bei den Ringen treten die bereits für Kreisscheiben beschriebenen Quantisierungseffekte auf. 

17


Abbildung 2.6 a) Magnetisierungskonfiguration eines magnetischen Rings im Vortex-Zustand 

(links) und im Onion-Zustand (rechts). Farblich gekennzeichnet ist die vertikale Komponente 

der Magnetisierung. Quelle: [33]. b) Ring im Onion Zustand mit Kennzeichnung der charakteristischen 

Regionen Pol und Äquator. c) Entmagnetisierungsfelder Hent in einem Ring im 

Onion-Zustand. Am Pol entstehen in dieser Magnetisierungskonfiguration magnetische Oberflächenladungen, 

deren Entmagnetisierungsfeld dort das interne Feld verringert. 

Durch die räumliche Begrenzung der Spinwellen auf ein beschränktes Volumen bilden sich ste- 

hende Wellen in radialer und azimuthaler Richtung aus. Der Unterschied zur Kreisscheibe be- 

steht bei den radialen Moden darin, dass eine Reflexion der Spinwelle am äußeren Rand und 

zusätzlich eine Reflexion am inneren Rand des Ringes stattfindet. Das zugängliche Volumen 

ist bei Ringen also kleiner, es werden größere Spinwellenfrequenzen erwartet. Für einen Ring 

im Onion-Zustand bietet aber auch das inhomogene interne Magnetfeld in den Polregionen 

einen Potenzialtopf, in dem Spinwellen existieren können. Die im sogenannten Spinwellentrog 

quantisierten Spinwellen weisen eine besonders scharfe Lokalisierung zum Pol auf, analog zu 

den Beobachtungen in Kap. 2.4. In Messungen aus [10] wird die Abhängigkeit der Kohärenz 

der Spinwellen in Permalloy-Ringen von deren Durchmesser D untersucht. Dazu werden mit- 

tels Brillouin-Lichtstreumikroskopie an jedem Punkt entlang des Ringumfangs die Frequenzen 

der auftretenden Spinwellen gemessen. Abb. 2.7 ist aus [10] entnommen und zeigt eine Mes- 

sung entlang des Ringumfangs für einen Ring mit 3 µm Durchmesser. Die Position auf dem 

Ring ist dabei über den azimuthalen Winkel α gegeben, der im Einschub in der Mitte der Ab- 

bildung definiert ist. Aus Abb. 2.7a ist ersichtlich, dass für jede Position auf dem Ring mehrere 

diskrete Spinwellenfrequenzen auftreten. Dabei unterscheiden sich die Spektren von Pol- und 

18


Abbildung 2.7 a) Mittels Brillouin-Lichtstreumikroskopie gemessene Spinwellenfrequenzen 

als Funktion der Position auf einem Ring mit 3 µm Durchmesser und 400 nm Ringbreite. 

Die experimentellen Daten (Punkte) sind mit den berechneten Frequenzwerten (Linien) verglichen. 

Es treten Unterschiede zwischen den Polregionen (0 ◦ , 180 ◦ ) und den Äquatorregionen 

(90 ◦ , 270 ◦ ) auf. Die Spinwellen am Äquator stammen von der azimuthalen Eigenmode des 

Ringes. Verschiedene Frequenzen kommen dabei von verschiedenen radialen Ordnungen. 

Am Pol bildet die Inhomogenität des internen Magnetfeldes einen Quantentopf für Spinwellen. 

Diese Spinwellen sind stärker lokalisiert und weisen kleinere Frequenzen auf. b) Profil 

des internen Magnetfeldes entlang des Ringumfangs für verschiedene Ringdurchmesser D. 

In den Polregionen (α = 0 ◦ , 180 ◦ ) bildet sich ein Potenzialtopf aus, in dem stark lokalisierte 

Spinwellen mit diskreten Frequenzen existieren. Quelle: [10]. 

Äquatorregion voneinander. 

Am Äquator sind die diskreten Frequenzwerte durch die verschiedenen Ordnungen der radia- 

len Moden zu erklären. Da der Ring eine konstante Breite hat, sollten diese an jedem Ort auf 

dem Ring dieselbe Frequenz aufweisen. Die gemessene Abweichung kann erklärt werden, 

wenn man sich den Ring an jedem Punkt durch einen unendlich ausgedehnten Streifen (siehe 

Kap. 2.4) angenähert vorstellt, welcher tangential an den Ring gelegt ist. Die zahlreichen dis- 

kreten Frequenzwerte sind dann die Eigenfrequenzen der stehenden Wellen unterschiedlicher 

Ordnung, die sich senkrecht zur langen Achse des Streifens durch die räumliche Begrenzung 

ausbilden. Ihr Wellenvektor ist dann durch 

kr = nπ 

weff 

(2.37) 

gegeben, wobei weff die Breite des Ringes ist, in dem die Magnetisierung parallel zur langen 

Achse des Streifens orientiert ist. Aus Abb. 2.6 ist aber ersichtlich, dass die Magnetisierung 

nur am Äquator parallel zur Ringgrenze orientiert ist. Zum Pol hin sinkt die Komponente der 

Magnetisierung parallel zur Ringgrenzfläche. Unter der Annahme, dass die Ausbreitung der 

Spinwellen nur in radialer Richtung stattfindet, ändert sich der Spinwellencharakter von der 

19


Damon-Eshbach-Geometrie am Äquator hin zur Backward-Volumen-Geometrie am Pol. Der 

Winkel zwischen Wellenvektor und Magnetisierung variiert also. Der Betrag des internen Fel- 

des ändert sich ebenfalls als Funktion der Position. Die durchgeführten Modellrechnungen 

berücksichtigen diese Annahmen. Wie Abb. 2.7a zeigt, stimmen dann die Messdaten mit den 

Berechnungen überein. 

In einem kleinen Winkelbereich um den Pol herum treten hingegen Spinwellenmoden auf, de- 

ren Frequenzen konstant bleiben. Ihre Frequenzabstände zwischen zwei benachbarten Ord- 

nungen differieren von denen am Äquator. Diese Spinwellen können durch einen Potenzialtopf 

am Pol modelliert werden. Dieser hat seinen Ursprung im inhomogenen Verlauf des internen 

Magnetfeldes entlang des Ringumfangs, wie er in Abb. 2.7b gezeigt ist. Durch die waage- 

rechten Linien, nummeriert mit n = 0, 1, 2,..., sind die Energieniveaus der Eigenmoden des 

sogenannten Spinwellentopfes angedeutet. 

In Abb. 2.7a sind also zwei verschiedene Arten von quantisierten Spinwellen in einem Ring zu 

sehen. Es gibt desweiteren noch die Möglichkeit, eine Quantisierung in azimuthaler Richtung 

zu erreichen, wie es schon für die Kreisscheibe gezeigt worden ist. Jedoch werden hierzu 

kleinere Ringdurchmesser benötigt. In [10] wird gezeigt, dass dies für Ringe mit einem Durch- 

messer von 1 µm bereits der Fall ist. Entlang der Äquatorregion eines Ringes ändert sich 

die Frequenz einer radialen Mode dann nicht kontinuierlich mit dem azimuthalen Winkel α, 

sondern in diskreten Frequenzschritten. 

Mikroskopische Ringe in der Magnetisierungskonfiguration des Onion-Zustandes bieten also 

ein reiches Spektrum an Spinwellen-Eigenmoden, die auf drei verschiedene Quantisierungs- 

mechanismen zurückgehen: die räumliche Begrenzung erstens in radialer Richtung, zweitens 

in azimuthaler Richtung und drittens durch eine Inhomogenität des internen Magnetfeldes. 

20

Kapitel 3 

Experimentelle Grundlagen 

3.1 Brillouin-Lichtstreuspektroskopie 

Neben Ferromagnetischer Resonanz (FMR), Neutronenstreuung und zeitaufgelösten, auf dem 

Kerr- oder Faradayeffekt basierenden Verfahren wird zur Untersuchung spindynamischer Pro- 

zesse in magnetischen Festkörpern auch die Brillouin-Lichtstreuspektroskopie (BLS) heran- 

gezogen [12, 13, 29, 34]. Mit ihr können dipolare Spinwellen im Zentrum der Brillouin-Zone 

gemessen werden (k bis zu 10 5 cm −1 ). 

Die Brillouin-Lichtstreuspektroskopie basiert auf der inelastischen Streuung optischer Photo- 

nen an den elementaren Quanten der Spinwellenanregung im Festkörper, den Magnonen. Bei 

völliger Translations- und Zeitinvarianz gelten hier, genauso wie bei Phononen, Impulserhal- 

tung und Energieerhaltung. Mit dem Wellenvektor k und der Frequenz Ω des Magnons ist 

¯hωg = ¯hωe ± ¯hΩ Energieerhaltung (3.1) 

¯hkg = ¯hke ± ¯hk Impulserhaltung (3.2) 

wobei kg und ke die Wellenvektoren für gestreutes und einfallendes Photon sowie ωg und ωe 

die entsprechenden Frequenzen darstellen. Wie aus den Gleichungen 3.1 und 3.2 ersicht- 

lich, kann ein Photon durch den Streuvorgang eine positive als auch eine negative Frequenz- 

verschiebung erhalten. Dies entspricht der Erzeugung eines Magnons unter Energieverlust 

des streuenden Lichtphotons (Minuszeichen) und wird allgemein Stokes-Prozess genannt. 

Die Vernichtung eines Magnons mit Energieübertrag auf das Photon (Pluszeichen) ist ein 

Antistokes-Prozess. 

Der Wechselwirkungsprozess zwischen Photon und Magnon wird leichter ersichtlich, wenn 

21

Brillouin-Lichtstreuspektroskopie 

Abbildung 3.1 Stokes-Fall (links) und Antistokes-Fall (rechts) eines Brillouin-Streuprozesses 

zwischen einem Photon der Frequenz ωe und einem Magnon mit Ω. 

man sich klassisch das Bild einer Spinwelle mit der Propagationsgeschwindigkeit 

v = 

Ω/k 2 

· k (3.3) 

vorstellt. Sie verursacht eine Modulierung der Permeabilität des Festkörpers und somit eine dy- 

namische Veränderung seiner Polarisation. Dies kommt der Wirkung eines Phasengitters auf 

das Licht nahe, weshalb man die Photon-Magnon-Wechselwirkung auch als Bragg-Reflexion 

von Doppler-verschobenem Licht mit der Frequenz 

ωg = ωe − k · v (3.4) 

an einem sich bewegenden Phasengitter verstehen kann. Da die Spinwelle das Phasengit- 

ter erzeugt, kann man ihren Wellenvektor als reziproken Gittervektor ansehen, was über die 

Bragg-Bedingung 

wieder auf die Gleichungen 3.1 und 3.2 führt. 

G = k = ke − kg 

Aus den Gleichungen für Energie- und Impulserhaltung ist abzulesen, dass man Energie und 

Impuls einer Spinwelle ermitteln kann, wenn der Wellenvektor und die Frequenz von einfallen- 

dem und gestreutem Licht bekannt sind. Die Bestimmung der Frequenzverschiebung durch 

Interferometrie wird in Kap. 3.2.2 näher erklärt. Der Wellenvektor erschließt sich durch den 

Einfallswinkel des Lichts. Jedoch ist zu beachten, dass bei der Streuung an dünnen Schichten 

die Translationsinvarianz in der Richtung senkrecht zur Schichtebene gebrochen wird. Die Im- 

pulserhaltung behält jetzt nur noch in der Schichtebene ihre Gültigkeit, in Gl. 3.2 kann daher 

nur die Projektion des Wellenvektors auf die Ebene, k, betrachtet werden. Durch Änderung 

des Einfallswinkels Θ der Photonen relativ zur Schichtebene, durch den sich über die Relation 

(3.5) 

k = kesin(Θ) (3.6) 

auf k schließen lässt, ist somit eine Wellenvektor-selektive Brillouin-Lichtstreuung möglich. 

22


Bei BLS-Messungen werden zwei verschiedene Streugeometrien angewandt, aus denen sich 

unterschiedliche Wellenvektorüberträge ergeben. Bei der Streuung in Vorwärtsrichtung tritt 

das Licht in eine transparente Probe von einer Seite ein und wird auf der anderen Seite der 

Probe detektiert. Ein durch die Streuung in der Probenschicht erzeugtes Magnon hat hierbei 

den in Gl. 3.6 berechneten Wellenvektor k erhalten. Die Streuung in Rückwärtsrichtung be- 

dingt jedoch eine Reflexion des gestreuten Photons, verbunden mit einem doppelten Impuls- 

übertrag auf das Magnon von 2k. Somit ist offensichtlich, dass der maximale Impulsübertrag 

bei der Brillouin-Spektroskopie 

∆k ≈ 2k = 2 2π 

λ ≈ 2, 5 · 107 1/m (3.7) 

beträgt. Dies begrenzt die Anwendbarkeit der BLS auf Magnonen nahe des Zentrums der 

Brillouin-Zone. 

3.2 Brillouin-Lichtstreumikroskopie 

Der Versuchsaufbau einer normalen BLS-Apparatur zielt darauf ab, die im letzten Kapitel ge- 

nannten Parameter Wellenvektor und Frequenz eines Magnons bestimmen zu können. Dazu 

wird monochromatisches Laserlicht über einen Spiegel mit kleinstmöglichen Ausmaßen, den 

sogenannten „catching mirror“, in ein Objektiv mit langer Brennweite eingekoppelt (Abb. 3.2). 

Die lange Brennweite bedingt, dass das Licht aus einem kleinen Raumwinkel auf die Pro- 

be trifft und ermöglicht dadurch eine relativ gute Wellenvektor-Auflösung [35]. Im Fall der 

Rückstreugeometrie wird das inelastisch gestreute Licht durch das Objektiv wieder zu einem 

parallelen Strahlbündel geformt und passiert aufgrund einer nun größeren Strahltaille, die dem 

Durchmesser des Objektivs entspricht, den catching mirror in Richtung eines Tandem-Fabry- 

Perot-Interferometers, in welchem die Frequenzanalyse stattfindet (siehe Kapitel 3.2.2). 

Das langbrennweitige Objektiv und der schmale einfallende Strahl lassen jedoch keinen all- 

zu kleinen Durchmesser des Lichtfokus zu. Dieser liegt bei der normalen BLS bei unge- 

fähr 50 µm. Der andauernde wissenschaftliche Fortschritt zu immer kleineren magnetischen 

Strukturen verlangt aber auch bei der Brillouin-Lichtstreuung nach Maßnahmen, die den An- 

forderungen eines räumlichen Auflösungsvermögens bis in den Nanometer-Bereich genü- 

gen. Eine Möglichkeit ist die Anordnung des interessierenden mikroskopischen Objekts in 

Arrays mit einer großen Flächendichte [30,37]. Will man das Spinwellenspektrum einer einzel- 

nen mikroskopischen Struktur ortsaufgelöst betrachten [10, 38, 39], so kommt die Brillouin- 

Lichtstreumikroskopie (µ-BLS) zur Anwendung, bei welcher das langbrennweitige Objektiv 

durch eine kurzbrennweitige Linse ersetzt wird (Abb. 3.3). 

23


Abbildung 3.2 Experimentelle Realisierung der Rückstreugeometrie bei der normalen BLS 

mit „catching mirror“ und langbrennweitigem Objektiv. Die Probe wird auf einem Goniometer 

montiert, so dass der Einfallswinkel kontinuierlich geändert werden kann. Quelle: [36] 

Das ist sinnvoll, da der fokussierte Laserstrahl auf der Probenoberfläche die Intensitätsvetei- 

lung eines Airy-Scheibchens aufweist und dessen erstes Beugungsmaximum einen Durch- 

messer w hat, der mit der Brennweite der Linse f, der Lichtwellenlänge λ und dem Durch- 

messer des parallelen Stralbündels vor der Linse W0 wie folgt berechnet wird [40] 

f · λ 

w ≈ 1, 22 · . (3.8) 

Gleichung 3.8 zeigt, dass der Fokusdurchmesser mit abnehmender Fokallänge und zuneh- 

mender Ausleuchtung abnimmt. Durch die kurze Brennweite verringert sich auch der Abstand 

des Objektivs von der Probe, weshalb das inelastisch gestreute Licht nun in einem größeren 

Raumwinkel vom Objektiv aufgesammelt wird. Folglich verringert sich das Auflösungsvermö- 

gen bezüglich des Lichtwellenvektors zugunsten eines besseren räumlichen Auflösungsver- 

mögens. Weiterhin verbietet die volle Ausleuchtung des Objektivs durch einen aufgeweiteten 

parallelen Laserstrahl die Benutzung eines kleinen Einkoppelspiegels vor dem Objektiv wie 

bei einem herkömmlichen BLS-Aufbau. Die Einkopplung geschieht hier über einen polarisati- 

onsabhängigen Strahlteilerwürfel. Dies wird im nächsten Kapitel näher erläutert. 

3.2.1 Versuchsaufbau 

Der schematische Aufbau der Brillouin-Lichtstreumikroskopie ist in Abbildung 3.4 gezeigt. Als 

Lichtquelle dient ein frequenzverdoppelter, diodengepumpter Festkörperlaser (Nd:YVO4) mit 

einer Emissionswellenlänge von 532 nm. Der polarisierte Laserstrahl wird mittels einer Tele- 

skopanordnung aufgeweitet. Eine Blende mit Durchmesser 3 mm sorgt dafür, dass nur der ho- 

mogene innere Teil des Strahlprofils transmittiert wird. Der Durchmesser ergibt sich außerdem 

W0 

24


Abbildung 3.3 Vergleich der Objektive eines herkömmlichen BLS-Aufbaus (links) und des 

Mikro-BLS-Setups (rechts). Aufgrund der stärkeren Fokussierung werden bei der BLS- 

Mikroskopie kleinere Fokusdurchmesser auf der Probe und somit eine höhere Ortsauflösung 

erreicht. Dies geschieht auf Kosten der Wellenvektorselektivität, da das Objektiv der Mikro- 

BLS inelastisch gestreutes Licht in einem großen Raumwinkel aufsammelt. 

durch den Durchmesser der Objektivlinse vor der Probe (siehe Kap. 3.2), welche vollständig 

ausgeleuchtet sein sollte. Das Laserlicht tritt weiter durch zwei polarisierende Strahlteilerwür- 

fel, wobei der erste der beiden lediglich den Polarisationsgrad erhöhen soll. Strahlteilerwür- 

fel 2 dient der Einkopplung des parallelen Lichtbündels in das Objektiv, welches in unserem 

Aufbau einen Arbeitsabstand von 4 mm zur Probe hat. Durch das Objektiv wird sowohl der 

einfallende Lichtstrahl auf der Probe fokussiert als auch elastisch und inelastisch gestreu- 

tes Licht wieder eingesammelt und als paralleles Strahlbündel auf dem selben Weg zurück 

in den Strahlteilerwürfel 2 geleitet. Es wird somit die Rückstreugeometrie angewandt. Da bei 

der inelastischen Brillouin-Streuung an Magnonen eine Drehung der Polarisation des Lichtes 

um 90 ◦ auftritt [41], geschieht in Strahlteilerwürfel 2 die erste Selektion zwischen elastisch 

und inelastisch gestreutem Licht. Das elastisch gestreute Licht wird hier reflektiert, während 

das inelastisch gestreute Licht aufgrund seiner geänderten Polarisation transmittiert wird. Da- 

durch wird eine Verbesserung des Kontrastes zwischen der Intensität des inelastisch gestreu- 

ten Lichts und der des elastisch gestreuten Lichtes erreicht. Die Frequenzanalyse findet in 

einem Tandem-Fabry-Perot-Interferometer statt, wobei der von der Probe kommende Strahl 

zur Streulichtminimierung auf das Eingangsloch des Interferometergehäuses fokussiert wird, 

welches als räumlicher Filter fungiert. 

Um ein Frequenznormal zu haben, wird ein geringer Teil des Laserstrahls direkt auf einen 

zweiten Eingang des Tandem-Fabry-Perot-Interferometers geleitet, ohne dabei eine Streuung 

eingegangen zu sein. 

Da das einfallende Licht auf der Probe fokussiert wird, ist eine ortsaufgelöste BLS-Messung 

nur durch das Abrastern der Probe möglich. Daher wird die Probe auf einer Bühne angebracht, 

25


Abbildung 3.4 Schematische Darstellung des Strahlengangs bei der Brillouin-Lichtstreumikroskopie. 

Als Lichtquelle dient ein (Nd:YVO)-Festkörperlaser. Die Probe kann in alle 

drei Raumrichtungen bewegt werden. Die laterale Positionierung ist automatisiert und über 

den gelb-grün gestreiften Beobachtungsstrahlengang kontrollierbar. Die Frequenzanalyse wird 

mittels eines Tandem-Fabry-Perot-Interferometers durchgeführt. Quelle: [36] 

26


welche in lateraler Richtung durch Elektromotoren mit einer Genauigkeit von bis zu 10 nm be- 

wegt werden kann. Die Steuerung der Probenposition geschieht mit Hilfe eines Computers. Es 

ist unabdingbar, während einer Messung, welche bis zu mehreren Stunden dauern kann, die 

Position der Probe zu überwachen und gegebenenfalls zu korrigieren. Dazu wird die Probe 

zusätzlich von einer Weißlichtquelle beleuchtet und das Bild mit einer CCD-Kamera aufge- 

nommen. Eine aktive Stabilisierungssoftware garantiert damit eine Stabilität der Probenposi- 

tion über mehrere Tage. Der Beleuchtungsstrahlengang ist in Abb. 3.4 als gelb-grün gestreift 

eingezeichnet. 

Um die Magnetisierungsdynamik in dünnen magnetischen Schichten bei unterschiedlichen 

äußeren Bedingungen testen zu können, sind am Probentisch zwei Spulen angebracht. Ein 

Strom durch die Wicklungen der Spulen bewirkt ein statisches, äußeres magnetisches Feld 

am Ort der Probe. Weiterhin besteht im Labor die Möglichkeit, die magnetischen Strukturen 

einem dynamischen Magnetfeld auszusetzen. Hierzu kann ein Mikrowellenstrom verwendet 

werden, falls die Probe mit entsprechenden Antennenstrukturen ausgestattet ist. 

3.2.2 Tandem-Fabry-Perot-Interferometrie 

Eine präzise und daher weit verbreitete Methode zur Messung von Frequenzdifferenzen zweier 

Lichtstrahlen ist die Interferometrie. Dazu gehört unter anderem das Fabry-Perot-Interferome- 

ter (FPI). Es besteht im Wesentlichen aus zwei planparallelen Glasplatten, deren einander 

zugewandte Flächen mit einer hochreflektierenden Schicht ausgestattet sind. Ein monochro- 

matischer Lichtstrahl wird an diesen Spiegelflächen mehrmals hin- und herreflektiert, wobei 

hinter dem FPI Vielstrahlinterferenz der dabei transmittierten Teilstrahlen auftritt. Das Trans- 

missionsvermögens eines Fabry-Perot-Interferometers mit Plattenabstand d ist bei senkrech- 

tem Lichteinfall zur Plattenebene maximal für Wellenlängen λ, welche die Bedingung 

λ = 

2 d 

, n = 0, 1, 2,... (3.9) 

n 

erfüllen. Somit kann die transmittierte Wellenlänge allein durch den Plattenabstand geregelt 

werden. 

Soll nun der Frequenzunterschied zweier Lichtstahlen bestimmt werden, so wird der Platten- 

abstand d1 zunächst so eingestellt, dass das FPI den ersten Strahl transmittiert. Anschließend 

wird ermittelt, um welche Distanz ∆d der Plattenabstand verändert werden muss, bis das FPI 

für die Frequenz des zweiten Lichtstrahls in Transmission ist. Die Wellenlänge des zweiten 

27

Lichtstrahls λ2 ergibt sich dann mit Gl. 3.9 zu 

λ2 = 

2 d2 

n 

= λ1 


 

1 + ∆d 

 

. (3.10) 

d1 

Damit berechnet sich die Frequenzverschiebung ∆ν des zweiten Lichtstrahls relativ zum ers- 

ten mit der Lichtgeschwindigkeit c zu 

∆ν = ν2 − ν1 = 

λ1 

 

c 

1 + ∆d 

d1 

− c 

λ1 

= c 

λ1 

⎛ 

⎝ −∆d 

d1 

1 + ∆d 

d1 

⎞ 

⎠ = − c 

λ1 

∆d 

d1 + ∆d 

≈ − c 

λ1 

∆d 

d1 

(3.11) 

Aus Gl. 3.9 ist ersichtlich, dass es für einen gegebenen Plattenabstand in der Größenordnung 

von Millimetern nicht nur eine Wellenlänge gibt, für die maximale Transmission auftritt, weil 

die Zahl n viele Werte annehmen kann. Man bezeichnet die verschiedenen transmittierten 

Wellenlängen als Ordnungen, wobei der Abstand zwischen zwei benachbarten Ordnungen 

als Freier Spektralbereich (FSR) bekannt ist. Der FSR kann gemäß der Relation ∆ν = c/(2d) 

für den longitudinalen Modenabstand in einem Resonator wie folgt abgeschätzt werden: 

FSR [GHz] ≈ 150 

. (3.12) 

d [mm] 

Die Finesse F eines Fabry-Perot-Interferometers ergibt sich damit zu 

F = FSR 

∆ν 

(3.13) 

wobei ∆ν die Breite des Transmissionspeaks angibt. Die Finesse hängt von der Reflektivität 

der Spiegel ab und ist ein Maß für die Güte des Fabry-Perot-Interferometers. Eine hoher Wert 

von F ist grundlegend für ein großes spektrales Auflösungsvermögen im Interferometer. Das 

vorhandene Setup besteht aus der Kombination zweier Interferometer. Das Licht muss auf sei- 

nem Weg zum Detektor sechsmal ein Etalon passieren. Die Gesamtfinesse des experimentel- 

len Aufbaus ist also das sechsfache Produkt der Finesse eines Fabry-Perot-Interferometers. 

Aus einem Vergleich von Referenzpeakbreite zu freiem Spektralbereich kann die Gesamtfi- 

nesse experimentell zu Fg ≈ 100 abgeschätzt werden. 

Andererseits gilt die oben genannte Periodizität der Transmissionsfunktion auch bei fester Wel- 

lenlänge für verschiedene Plattenabstände. So wird eine Wellenlänge nach jeweils ∆d = λ/2 

erneut transmittiert, das gemessene Spektrum wiederholt sich in Abständen des freien Spek- 

tralbereichs. Abb. 3.6a zeigt die von einem einzelnen Fabry-Perot-Interferometer transmittierte 

Intensität als Funktion des Spiegelabstandes d. Dabei sind die n-te Ordnung (rot) sowie deren 

benachbarte Ordnungen n+1 und n−1 (blau) dargestellt. Jede Ordnung weist durch Spinwel- 

len verursachte frequenzverschobene Peaks auf. Sie weisen normalerweise eine viel geringe- 

28


Abbildung 3.5 Aufbau des Tandem-Fabry-Perot-Interferometers (TFPI). Die beiden Interferometer 

FPI 1 und FPI 2 sind im Winkel α zueinander angeordnet. Jedes Interferometer muss 

dreimal durchlaufen werden, bis die Photonenanzahl von einem Photodetektor gemessen wird. 

re Intensität auf als der Referenzpeak und sind in der Abbildung übertrieben dargestellt. Wird 

ein Spinwellensignal beobachtet, so ist nicht klar, ob es sich hierbei um das Anti-Stokes-Signal 

einer niedrigeren Ordnung handelt oder ob ein Stokes-Peak einer höheren Ordnung vorliegt. 

Die Zuordnung eines beobachteten Signals zu einer Spinwellenfrequenz ist nicht eindeutig. 

Daher wird im vorliegenden Versuchsaufbau zur Frequenzanalyse das von J. Sandercock 

entwickelte Tandem-Fabry-Perot-Interferometer (TFPI) benutzt [42, 43]. Es besteht aus zwei 

Fabry-Perot-Etalons (FPI 1 und 2), deren optische Achsen im Winkel α relativ zueinander 

orientiert sind (Abb. 3.5). Der linke Spiegel jedes Etalons ist dabei starr mit dem optischen 

Tisch verbunden, während die beiden rechten Spiegel auf einer gemeinsamen Scanbühne 

montiert sind (in Abb. 3.5 gelb gekennzeichnet). Die Bühne kann mittels piezoelektrischen 

Aktoren bewegt werden, wodurch der Spiegelabstand d beider Etalons verändert wird. Bei 

einen Spiegelabstand d1 des ersten FPIs gilt für das zweite FPI 

d2 = d1 cosα + ∆d. (3.14) 

Der Parameter ∆d erlaubt eine Variation der optischen Weglänge von Etalon zwei relativ zu 

Etalon 1 und garantiert, dass die n-te Transmissionsordnung des FPI 1 auch gleichzeitig von 

FPI 2 durchgelassen wird. Dabei ist der FSR des zweiten Etalons stets größer als der von 

Etalon 1. Abb. 3.6 verdeutlicht dies. Die Transmission der höheren Ordnungen tritt bei FPI 

2 also nicht mehr simultan zu FPI 1 auf. Da die Transmissionsfunktion des TFPI aus dem 

Produkt der beiden Einzeltransmissionen hervorgeht, werden die höheren Ordnungen des 

Interferometers dadurch um einen Faktor von bis zu 10 6 unterdrückt [44]. Entsprechend wird 

selbst ein schwaches Spinwellensignal der n-ten Ordnung vollständig vom TFPI transmittiert, 

29


während die Linien der höheren Ordnungen ausgelöscht werden. Das TFPI erlaubt somit die 

eindeutige Zuordnung eines frequenzverschobenen Spinwellensignals zur n-ten Ordnung. 

Abbildung 3.6 Transmissionsfunktionen für die beiden Fabry-Perot-Interferometer 1 und 2 sowie 

für deren Kombination im TFPI. Bei der n-ten Transmissionsordnung sind beide Etalons 

zugleich in Transmission. Dieser Zustand kann durch die alleinige Translation eines Spiegels 

von FPI 2 immer erreicht werden. Bei den anderen Transmissionsordnungen sind die beiden 

Etalons aufgrund der Aufstellung im Winkel α nicht mehr gleichzeitig in Transmission, was zur 

Auslöschung der höheren Ordnungen im Tandem-Aufbau führt. Die im Vergleich zu den Referenzpeaks 

winzigen, durch Spinwellen verursachten Transmissionspeaks sind stark vergrößert 

dargestellt. 

Ein weiteres Kriterium zur Verwendung des Tandem-Fabry-Perot-Interferometers ist dessen 

großer Kontrast. Aufgrund des kleinen Streuquerschnitts der Brillouin-Lichtstreuung ist die In- 

tensität des inelastisch gestreuten Lichtes noch so gering, dass sie selbst unter Verwendung 

eines polarisierenden Strahlteilerwürfels (siehe Kap. 3.2.1) noch von der Restintensität des 

elastisch gestreuten Lichtes um Größenordnungen überragt wird. Ein Kontrast von mindestens 

10 10 ist erforderlich. Dieser wird im TFPI dadurch erreicht, dass der Lichtstrahl beide Interfero- 

meter dreimal durchläuft. Der Strahlengang ist in Abb. 3.5 eingezeichnet. Wesentliche Grund- 

lage eines sogenannten (3+3)-fachen Durchgangs ist eine hervorragende Parallelität der Spie- 

gel. Diese wird dadurch erreicht, dass ein Spiegel jedes FPIs auf Piezoelementen angebracht 

30

Zeitaufgelöste Brillouin-Lichtstreumikroskopie 

ist. Eine elektronische Stabilisierungsroutine [45] sorgt dafür, dass thermische Schwankungen 

kompensiert und die erforderliche Parallelität im Laufe einer Messung aufrechterhalten wird. 

3.3 Zeitaufgelöste Brillouin-Lichtstreumikroskopie 

Messungen im Zeitraum und Messungen im Frequenzraum sind miteinander über die Fourier- 

transformation verknüpft. Ein harmonischer Oszillator kann beispielsweise durch seine Fre- 

quenz ω beschrieben werden. Durch die Messung seiner Schwingungsdauer T bekommt man 

jedoch denselben Informationsgehalt. Ist nur die Messung der Auslenkung des Oszillators als 

Funktion der Zeit möglich, so liefert die Fouriertransformation in den Frequenzraum also das 

nötige Hilfsmittel zur Bestimmung der Oszillatorfrequenz. Der umgekehrter Fall wäre ebenso 

denkbar. 

Informationen über die Dynamik eines Systems sind also auf zwei verschiedene Arten zugäng- 

lich. Zunächst können Prozesse direkt zeitaufgelöst betrachtet werden. Dies setzt voraus, dass 

die Zeitskalen der auftretenden Phänomene im Experiment aufgelöst werden können. Ist das 

nicht der Fall, kann die Analyse der Frequenzen eines Systems Rückschlüsse über die Dyna- 

mik des Systems liefern. Der klassische Fall einer Frequenzanalyse ist die Spektroskopie, zu 

der auch die Brillouin-Lichtstreumikroskopie gezählt wird. 

Deshalb ist es zunächst unverständlich, warum eine zeitaufgelöste Brillouin-Lichtstreumikro- 

skopie eingeführt werden sollte, wenn das Spinwellenspektrum bereits spektroskopisch ge- 

messen wird. Die Zerfallsdauer von Spinwellen-Eigenmoden kann beispielsweise bestimmt 

werden, wenn die Linienbreite eines Spinwellensignals im Frequenzraum untersucht wird. 

Dennoch ist die zeitaufgelöste BLS-Mikroskopie notwendig, wenn ein langsam ablaufender 

Spinwellenzerfall untersucht werden soll, welcher dann eine so kleine spektrale Breite auf- 

weist, dass sie mit der BLS nicht mehr aufgelöst werden kann. Weiterhin kann durch die 

Zeitauflösung überprüft werden, in welche Zerfallskanäle die Energie einer Eigenmode wie 

schnell zerfließt und zu welchen Anteilen dies geschieht. Die Kopplung zweier Spinwellen- 

Eigenmoden ist hierfür ein geeignetes Untersuchungsobjekt. 

Die zeitaufgelöste Darstellung des Zerfalls von Spinwellen mittels Brillouin-Lichtstreumikro- 

skopie bedingt eine gezielte Kontrolle des betrachteten Systems verbunden mit einer genü- 

gend großen Zeitauflösung. Letztere muss besser sein als die Zeitdauer der spindynamischen 

Prozesse, die beobachtet werden sollen. Der Zerfall einer Spinwellen-Eigenmode geschieht 

innerhalb weniger Nanosekunden, weshalb eine Zeitauflösung des Versuchsaufbaus im Pico- 

sekundenbereich benötigt wird. Um den Zeitpunkt eines Ereignisses, wie z.B. die Detektion 

einer Spinwelle zu messen, muss außerdem ein wohldefinierter Zeitnullpunkt existieren. So 

31


ist es nicht möglich, den Zerfall einer thermischen Spinwelle zeitaufgelöst zu untersuchen, da 

man nicht sagen kann, wann die Spinwelle angeregt wurde. Im magnetischen System muss al- 

so gezielt von außen ein Spinwellenpuls angeregt werden. Der Beginn des Pulses kann dann 

als Zeitreferenz benutzt werden. Alle Ereignisse werden dann relativ zu diesem Zeitpunkt ge- 

messen. Aufgrund des geringen BLS-Streuquerschnitts reicht die einmalige Anregung eines 

Spinwellenpulses nicht aus, um genügend Information über die darin ablaufenden Prozesse zu 

gewinnen. Erst eine Summation über wiederholte, immer gleich ablaufende Prozesse erlaubt 

die Abbildung des gesamten Prozesses. 

Die gepulste Anregung von Spinwellen wird im hier vorliegenden Versuchsaufbau durch das 

dynamische Oersted-Feld eines Mikrowellenpulses erreicht (Abb. 3.7 unten). Ein Mikrowellen- 

synthesizer erzeugt einen kontinuierlichen Mikrowellenstrom von Leistungen bis zu 13 dBm, 

dessen Frequenz zwischen 2 und 18 GHz variiert werden kann. Durch einen extern getrig- 

gerten RF-Switch wird der Strom in kurze Mikrowellenpulse umgewandelt. Die Triggerung 

geschieht durch einen Pulsgenerator, welcher Rechteck-Pulse mit einer Breite von einigen 

Nanosekunden und einer Periodizität in derselben Größenordnung erzeugt. Ein RF-Verstärker 

verstärkt die Mikrowellenpulse um zusätzliche 30 dB. Die Mikrowellenpulse werden anschlie- 

ßend über Wellenleiter auf die Probe gegeben, wo sie Spinwellenpulse mit entsprechender 

Breite und Frequenz erzeugen. 

Für die Zeitauflösung wird im Experiment ein P7887-PCI-PC-Board der Firma „FAST Com- 

Tec“ verwendet, welches als Flugzeit-Multiscaler dient. Ein Vorteil dieser Messkarte ist die 

Möglichkeit, die Zeit eines bestimmten Ereignisses gemeinsam mit einer acht Bit großen In- 

formation (genannt „Tag Bits“) über das Ereignis zu speichern. Wird also ein Magnon mit der 

BLS detektiert, so können der Zeitpunkt des Eintreffens im Detektor und die im Interferome- 

ter ermittelte Frequenz des Magnons zusammen gespeichert werden. Die Kopplung von Zeit- 

und Frequenzinformation macht es also möglich, den Zerfall einer einzigen Eigenmode (ge- 

kennzeichnet durch ihre Eigenfrequenz) mit der Zeit in eine andere Eigenmode (mit anderer 

Eigenfrequenz) zu beobachten. 

Den gesamten Versuchsaufbau zeigt Abb. 3.7. Wie oben erwähnt, bilden Synthesizer, RF- 

Switch und Verstärker die Quelle der Spinwellenpulse im magnetischen System. Der RF- 

Switch wird dabei von einem Pulsgenerator getriggert. Die Form der Spinwellenpulse in der 

Probe gleichen somit der Pulsform des Pulsgenerators. Der Beginn eines Pulses wird dabei als 

Startpunkt zur Zeitmessung verwendet. Dazu wird das Trigger Out-Signal des Pulsgenerators 

mit dem START-Anschluss des P7887-Boards verbunden. Nachdem der intern implementierte 

Zeitmesser des P7887 gestartet worden ist, wird dieser für ein gewisses Zeitintervall ∆t Ereig- 

nisse registrieren. ∆t kann in der P7887-Software gewählt werden. Eine zeitliche Verzögerung 

des Trigger Out-Signals ermöglicht eine Verschiebung des Zeitfensters der Messung. 

32


Abbildung 3.7 Versuchsaufbau der zeitaufgelösten Brillouin-Lichtstreumikroskopie. Spinwellenpulse 

in der Probe werden durch das dynamische Oersted-Feld von Mikrowellenpulsen 

angeregt. Die Mikrowellenpulse entstehen aus einem kontinuierlichen Mikrowellenstrom durch 

Umwandlung mittels eines RF-Switches, welcher von einem Pulsgenerator getriggert ist. Die 

Spinwellen werden anhand von Mikro-BLS detektiert. Ein P7887 „multiple event time digitizer“ 

registriert die Ankunftszeit eines durch BLS gestreuten Photons am Photomultiplier und 

speichert diese zusammen mit der Photonenfrequenz. 

Die Magnonen der Probe werden durch Brillouin-Lichtstreumikroskopie detektiert. Ein Photon 

geht dabei einen inelastischen Streuprozess mit einem Magnon ein. Das gestreute Photon 

erreicht das Tandem-Fabry-Perot-Interferometer und wird bei passendem Spiegelabstand d 

der Etalons transmittiert und von einem Photomultiplier registriert. Dieser sendet bei der De- 

tektion eines Photons ein TTL-Signal zum STOP-Eingang des P7887, wo die Ankunftszeit des 

Photons ermittelt wird. Da das P7887-Board sensitiv zur fallenden Flanke eines TTL-Signals 

ist, wird das Photomultiplier-Signal invertiert. Auf diese Weise wird der Beginn des Detek- 

torsignals registriert. Zur selben Zeit wird der „Tag Bit“-Eingang des P7887 die acht Bit lan- 

ge Frequenzinformation über das Photon empfangen. Diese ist durch den Spiegelabstand d 

der Etalons im Interferometer gegeben. Die Information über die Frequenz und die Zeit der 

Detektion eines Magnons wird direkt auf der P7887-Karte gespeichert. Dies wird durch die 

33


„on-board“-Implementation eines zweistufigen FIFO 1 -Speichers realisiert [46]. Abb. 3.8 zeigt 

schematisch das zugrunde liegende Konzept. Ankommende Ereignisse werden in einem 127 

tiefen und 16 ns breiten ultraschnellen ersten FIFO-Speicher zwischengespeichert und kön- 

nen dort für mindestens 2 µs behalten werden. Mit einer Transferrate von mehr als 12 MHz 

werden die Daten an einen zweiten FIFO-Speicher geschickt. Dessen Tiefe von 16k sichert 

das System davor ab, dass keine Daten durch einen zu vollen Speicher verloren gehen, bevor 

sie über den PCI-Bus transferriert werden können. 

Abbildung 3.8 Konzept eines zweistufigen FIFO (first in, first out) Speichers, wie auf dem 

P7887-PCI-PC-Board von FAST ComTec verwendet. Quelle: [46]. 

Bei einer maximalen Zählrate für die Detektion von Ereignissen von 4 GHz weist das P7887- 

Board keine Totzeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen auf. Eine herausragen- 

de Eigenschaft ist sein zeitliches Auflösungsvermögen von 250 ps. Es sollte jedoch beachtet 

werden, dass dies nicht die zeitliche Auflösung des Experiments ist. Diese ist vielmehr durch 

die Lebensdauer des Photons im Tandem-Fabry-Perot-Interferometer gegeben. Je größer die 

spektrale Auflösung des Interferometers ist, desto ungenauer wird die Bestimmung der Le- 

bensdauer des Photons im Resonator der beiden Etalons. Heisenbergs Unschärferelation [47] 

∆E · ∆t = h kann für diese Zwecke umgeschrieben werden zu 

∆ν · ∆t = 1. (3.15) 

Die Genauigkeit der Frequenzbestimmung kann aus Umstellen von Gl. 3.13 gewonnen wer- 

den: 

∆ν = 

FSR [GHz] 

. (3.16) 

F 

Zusammen mit Gl. 3.12 und einer Finesse von F = 100 ergibt sich damit 

1 engl.: first in, first out 

∆ν = 

150 

100 · d [mm] 

1, 5 

= [GHz] . (3.17) 

d [mm] 

34

Mit Gl. 3.15 ergibt sich dadurch für die Zeitunschärfe im Interferometer 

∆t = 

d [mm] 

1, 5 

Softwareentwicklung 

[ns]. (3.18) 

Im Experiment wurde ein Spiegelabstand von d = 8 mm verwendet. Es folgt 

∆t ≈ 5 ns. (3.19) 

Das zeitliche Auflösungsvermögen des Experiments ist also viel geringer als das potenzielle 

Auflösungsvermögen des P7887-Boards. Es ist durchaus möglich, durch eine Verringerung 

des Spiegelabstandes d eine ebensogute Zeitauflösung mit dem Interferometer zu erreichen. 

Dazu müsste der Spiegelabstand aber zu d = 375 µm gewählt werden, was einer Frequen- 

zunschärfe von ∆ν = 4 GHz entsprechen würde. Das gute Auflösungsvermögen des P7887- 

Boards hat somit lediglich die Funktion, das zeitliche Auflösungsvermögen des Experiments 

durch die Fehlerfortpflanzung nicht zu verschlechtern. Es dient nicht zur Verbesserung der 

Zeitgenauigkeit. 

Die Methode der zeitaufgelösten Brillouin-Lichtstreumikroskopie macht es möglich, die Fre- 

quenz eines Magnons zu bestimmen, das zum Zeitpunkt t am Ort r detektiert worden ist. 

Sie ist damit bestens dazu geeignet, die verschiedenen Dissipationskanäle von Energie zu 

identifizieren und abzubilden. 

3.4 Softwareentwicklung 

Die Aufnahme von Spinwellenspektren mittels Brillouin-Lichtstreuspektroskopie kann heutzu- 

tage durch Computer wesentlich vereinfacht werden. Bereits die in [45] beschriebene Software 

„TFPDAS3“ ermöglicht eine automatisierte Steuerung und Stabilisierung des Interferometers 

sowie die elektronische Verarbeitung der gemessenen Daten. Eine Anpassung der Software 

an die Anforderungen der BLS-Mikroskopie erfolgt durch die Weiterentwicklung zu „TFPDAS4“ 

durch H. Schultheiß. Besonders die Möglichkeit der automatisierten Probenpositionierung und 

-stabilisierung versetzt den Experimentator dazu in die Lage, Messungen an einer Position mit 

einer Genauigkeit von Nanometern über Tage hinweg auszuführen. Weiterhin bietet TFPDAS4 

die Möglichkeit komplexer BLS-Scans. Hier können freie Parameter angegeben werden, die 

während der Messung selbständig von der Software variiert werden. Für jeden eingestellten 

Parameterwert wird dabei ein BLS-Spektrum aufgenommen. So kann beispielsweise die Ab- 

hängigkeit des Spinwellenspektrums einer Probe von der angelegten Mikrowellenfrequenz und 

dem äußeren Magnetfeld in einer einzelnen Messung untersucht werden. Dies beschleunigt 

35


die Datengewinnung allgemein und ermöglicht vollkommenere Einblicke in wissenschaftliche 

Fragestellungen. 

Zur Realisierung der zeitaufgelösten Brillouin-Lichtstreumikroskopie liegt es somit nahe, die 

Aufnahme der Daten ebenfalls mit Hilfe eines PCs durchzuführen. Nicht nur die hochaufge- 

löste Zeitmessung durch das P7887-PCI-PC-Board geschieht computerunterstützt. Auch die 

Aufnahme und Aufbereitung der Daten wird durch das eigens für die zeitaufgelöste BLS ent- 

wickelte Programm „TFPDAS4-TR“ unterstützt. Dieses ist kompatibel zu TFPDAS4 in dem 

Sinn, dass für eine Messung eine Netzwerkverbindung zwischen beiden Programmen herge- 

stellt wird. Während die Steuerung der „normalen“ Mikro-BLS weiter über TFPDAS4 ausgeübt 

wird, übernimmt TFPDAS4-TR die Kommunikation mit dem P7887-Board. Abb. 3.9 zeigt das 

Front-Panel des TFPDAS4-TR-Programms. Im Vordergrund ist das kleinere Startprogramm 

Abbildung 3.9 Auszug aus dem Programm „TFPDAS4-TR“ zur Steuerung von zeitaufgelösten 

Mikro-BLS-Messungen. Die Software erlaubt einzelne Messungen (Vordergrund) sowie 

komplexe Scans unter automatischer Variation mehrerer Parameter. Die Rekonstruktion des 

Spinwellenpulses einer einzelnen Eigenmode ist im Text näher erläutert. 

zu sehen, mit dem eine einfache zeitaufgelöste Messung möglich ist. Es besteht aus einem 

Intensitätsgraphen auf der linken Seite und einem xy-Graphen auf der rechten Seite. Dabei 

ist im linken Intensitätsgraphen durch eine farbliche Kennzeichnung die Anzahl der Photonen 

aufgetragen, die zu einer bestimmten Zeit t (x-Achse) mit einer bestimmten Frequenzver- 

36


schiebung 2 (y-Achse) am Detektor gemessen wurde. Dabei ist über alle bisher gemessenen 

Spinwellenpulse summiert. Während der Messung wird der Intensitätsgraph ständig aktuali- 

siert. In Abb. 3.9 wird gerade die gepulste Anregung einer Spinwelleneigenmode gemessen. 

Die Anregung startet zur Zeit t = 25 ns. Ab t = 115 ns zerfallen die Spinwellen der Eigenmode. 

Ihre zentrale Frequenz beträgt ν = 2, 8 GHz. Jedoch weist die Frequenz der Eigenmode eine 

gewisse Breite auf. Will man das zeitliche Verhalten der Eigenmoden-Intensität abbilden, so 

muss man alle Spinwellen der Eigenmode mit einbeziehen. Dazu können im Programm zwei 

gelbe Cursor im Intensitätsgraphen gesetzt werden. Die Spinwellenintensität zwischen den 

Cursorn wird summiert und im rechten xy-Graphen angezeigt. Auf der rechten Seite ist somit 

das Intensitätsprofil der gepulsten Eigenmodenanregung zu sehen. Bei logarithmische Ska- 

lierung weist der Puls an seinem Ende eine Gerade mit negativer Steigung auf. Die Steigung 

dieser Geraden gibt Aufschluss über die Zerfallsdauer der Eigenmode. 

Im Hintergrund von Abb. 3.9 ist das Front Panel zur Ausführung komplexer Messungen darge- 

stellt. Analog zu den oben beschriebenen komplexen Messungen des TFPDAS4-Programms 

unter Variation externer Parameter können hiermit auch zeitaufgelöste Messungen durchge- 

führt werden. Die unteren beiden Fenster des Front Panels entsprechen wiederum denen des 

Startprogramms und dienen zur Auswertung der gemessenen Daten. 

Mit der in diesem Kapitel beschriebenen Software ist der Aufbau der zeitaufgelösten BLS- 

Mikroskopie mit einem auf die speziellen Bedürfnisse zugeschnittenen, leistungsfähigen Werk- 

zeug zur Gewinnung und Auswertung der Messdaten ausgestattet. 

2 sonst auch BLS-Frequenz genannt 

37

Kapitel 4 

Experimentelle Ergebnisse 

Bedingt durch eine Vielzahl von technischen Anwendungen rücken mikroskopische Struktu- 

ren zunehmends in den Fokus der aktuellen Forschung im Gebiet der Magnetisierungsdyna- 

mik. Das Eigenmodenspektrum von Spinwellen in kleinen Strukturen mit den Ausmaßen von 

einigen Mikrometern ist durch eine Vielzahl von Experimenten an Streifen [30, 48], Rechte- 

cken [31, 49], Scheiben [32, 50] und Ringen [10, 51] erforscht worden. Durch die räumliche 

Begrenzung bilden sich in den Strukturen stehende Spinwellen aus. So entstehen in Ringen 

aufgrund der äußeren Begrenzungen stehende Wellen in radialer und azimuthaler Richtung. 

Stehende Spinwellen können sich aber auch dort ausbilden, wo ein inhomogenes internes 

Feld wie ein Potenzialtopf für Spinwellen wirkt. Ein Beispiel hierfür ist ein magnetischer Ring, 

der durch ein äußeres Magnetfeld Hext im Onion-Zustand gehalten wird (Kap. 2.5.2). Ringe 

stellen somit auf engstem Raum ein vielseitiges Eigenmodenspektrum zur Verfügung, einmal 

bedingt durch die räumliche Begrenzung in azimuthaler und radialer Richtung und zum andern 

bedingt durch die Struktur des internen Magnetfeldes. 

In [11] konnte mit Hilfe zeitaufgelöster Brillouin-Lichtstreumikroskopie gezeigt werden, dass 

die Eigenmoden am Äquator bei gepulster Spinwellenanregung ein vergleichbares zeitliches 

Abklingverhalten wie die am Pol lokalisierten Eigenmoden aufweisen [11]. Im stetig abfallen- 

den Verlauf der Zerfallskonstante τ gegen die Spinwellenfrequenz Ω ist offensichtlich ein Off- 

set zwischen den Poleigenmoden und den Eigenmoden der Äquatorregion. Dies widerspricht 

dem beobachteten Trend, dass die Lebensdauer der Spinwellen mit zunehmender Frequenz 

abnimmt. In [11] wird daher vermutet, dass für die Eigenmoden am Pol zusätzlich zur üblichen 

Dissipation ins Phononensystem ein weiterer Dissipationsmechanismus existiert. Es wird an- 

genommen, dass dies der Prozess der Magnon-Magnon-Streuung ist. Dabei verbinden sich 

zwei Magnonen der Poleigenmode unter Impuls- und Energieerhaltung zu einem Magnon der 

doppelten Frequenz, welches am Äquator lokalisiert ist. Die Eigenmode am Äquator würde so 

einen Dissipationskanal für die Poleigenmode darstellen. 

38

Abbildung 4.1 Abhängigkeit der Zerfallskonstante τ von der Spinwellenfrequenz einer durch 

einen Mikrowellenstrom angeregten Eigenmode. Bei Messungen an einer konstanten Position 

nimmt die Zerfallsdauer wie erwartet mit zunehmender Eigenfrequenz ab. Zwischen den kleinfrequenten 

Poleigenmoden und den hochfrequenten Äquatormoden tritt jedoch ein Offset auf. 

Das deutet darauf hin, dass für die Poleigenmoden ein zusätzlicher Dissipationskanal existiert. 

Quelle: [11] 

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Ursache für den auftretenden Offset im Verlauf 

der Zerfallskonstante (Abb. 4.1) genauer zu untersuchen. Es soll gezeigt werden, dass für 

die Spinwellen der Poleigenmode tatsächlich ein zusätzlicher Zerfallskanal vorhanden ist. Im 

Rahmen dieser Diplomarbeit wird die Kopplung der Poleigenmode mit der Äquatoreigenmode 

eines Ringes und die damit verbundene Dissipation von Energie aus der angeregten Polm- 

ode in die Äquatormode als solcher Zerfallskanal identifiziert und diskutiert. Es handelt sich 

hierbei um eine nichtlokale Kopplung zweier Eigenmoden mit unterschiedlicher Frequenz. Es 

wird gezeigt, dass Modenkopplung nur dann auftritt, wenn die Eigenfrequenz am Äquator dop- 

pelt so groß ist wie die charakteristische Frequenz der Poleigenmode (Kopplungsbedingung) 

und dass dieses Frequenzverhältnis von 2:1 durch eine jeweils geeignete Größenwahl des 

externen Magnetfeldes Hext für Ringe verschiedener Ausmaße realisiert werden kann. 

Zur selektiven Anregung der jeweiligen Eigenmoden wird eine Permalloyschicht (Ni81Fe19) in 

Form von Ringen mit Durchmessern von 1, 2 und 3 µm auf einem koplanaren Wellenleiter 

aufgebracht, durch welchen ein Mikrowellenstrom mit Frequenzen im GHz-Bereich fließt. Bei 

passender Mikrowellenfrequenz werden durch den Strom Spinwellen in den Ringen angeregt, 

wodurch gezielt die Pol- oder Äquatormoden angeregt werden können. Die Modenkopplung 

wird mittels Brillouin-Lichtstreumikroskopie nachgewiesen, indem durch den Mikrowellenstrom 

alleine die am Pol lokalisierte Eigenmode angeregt wird, während am Äquator trotzdem ein 

Spinwellensignal der dort lokalisierten Mode detektiert wird. Durch Variieren von Hext kann 

gezeigt werden, dass diese indirekte Anregung der Äquatoreigenmode jedoch nur bei einem 

39

Probenaufbau 

Eigenfrequenzverhältnis von 2:1 auftritt. Die Messung der indirekt angeregten Spinwellenin- 

tensität am Äquator für Ringe von verschiedenem Durchmesser und unterschiedlicher Weite 

zeigt, dass die Modenkopplung stärker wird, je breiter der Ring wird. Somit kann also die 

Modenkopplungsstärke durch statische BLS-Mikroskopie gemessen werden. 

Im abschließenden Kapitel der vorliegenden Diplomarbeit kommt die neu entwickelte Metho- 

de der zeitaufgelösten Brillouin-Lichtstreumikroskopie zum Einsatz. Durch sie ist schließlich 

der eindeutige Nachweis möglich, dass das indirekt in der Äquatorregion auftretende Spinwel- 

lensignal durch eine Kopplung der Poleigenmode mit der Äquatoreigenmode verursacht wird. 

Untersuchungen der Zerfallsdauer von Pol- und Äquatoreigenmode in Kapitel 4.5 vermitteln 

einen Zugang zu dieser Problemstellung. Das wesentliche Indiz für die Existenz der Moden- 

kopplung ist die Tatsache, dass die am Äquator lokalisierte Eigenmode bei indirekter Anregung 

wesentlich langlebiger ist als bei direkter Anregung durch einen Mikrowellenstrom. Damit wird 

ausgeschlossen, dass bei einer resonanten Anregung der Poleigenmode die gleichzeitige An- 

regung der Äquatoreigenmode mit doppelter Frequenz durch eine höhere Harmonische des 

Frequenzgenerators verursacht wird. 

4.1 Probenaufbau 

In magnetischen Ringen existieren bei Raumtemperatur zu jeder Zeit thermisch angeregte 

Spinwellen, ihre Intensität ist jedoch sehr gering. Aufgrund der hohen Empfindlichkeit der 

Brillouin-Lichtstreumethode können solche thermischen Magnonen zwar nachgewiesen wer- 

den. Das thermische Spinwellenspektrum ist jedoch nicht dazu geeignet, eine Kopplung zwei- 

er Eigenmoden sichtbar zu machen. Die Modenkopplung äußert sich nämlich darin, dass 

zwischen zwei Eigenmoden eines Systems Energie fließt, wenn ein Ungleichgewicht in der 

Besetzung beider Moden existiert. Bei thermischer Anregung der Eigenmoden herrscht je- 

doch ein Gleichgewicht zwischen allen Moden. Zur Beobachtung der Modenkopplung muss 

also von außen ein Ungleichgewicht erzeugt werden. In eine ausgewählte Eigenmode muss 

gezielt Energie gepumpt werden, d.h. es müssen Spinwellen einer einzigen Eigenmode an- 

geregt werden können. Das ist mit Hilfe eines Mikrowellenstromes möglich. Eine genau ein- 

stellbare Mikrowellenfrequenz sichert die Selektivität der anregbaren Spinwellen. Durch einen 

geeigneten Probenaufbau können außerdem große Spinwellenintensitäten erreicht werden, 

was schließlich zu einem Besetzungsungleichgewicht führt. Der Probenaufbau muss somit 

den gegebenen Anforderungen angepasst werden. 

Die in unserem Fall verwendete Probenstruktur ist in Abb. 4.2 dargestellt. Sie wurde bereits 

für die Messungen in [11] von H. Schultheiß und C. Sandweg entworfen und hergestellt. Ein 

40

Probenaufbau 

Abbildung 4.2 Struktur der untersuchten Probe. Permalloy-Ringe mit Durchmessern D von 

1 µm bis 3 µm, Ringbreiten w zwischen 100 und 400 nm und einer Dicke von 15 nm werden 

auf einem koplanaren Wellenleiter aus Gold aufgebracht. Der Innenleiter des Wellenleiters hat 

eine Breite von 20 µm und eine Schichtdicke von 200 nm. Fließt ein Mikrowellenstrom, so bildet 

sich ein dynamisches Magnetfeld h aus, das mit der Mikrowellenfrequenz oszilliert. h liegt 

konzentrisch um den Wellenleiter und somit in der Ebene der Ringe. Hierdurch können in den 

Ringen Spinwellen angeregt werden, falls die Oszillationsfrequenz mit der Eigenfrequenz der 

Ringeigenmode übereinstimmt. Die Anregung ist am effektivsten, wenn h senkrecht zur Magnetisierung 

des Rings steht. In einem Ring mit Magnetisierungskonfiguration im Onion-State 

ist dies für die beiden Polregionen (0 ◦ , 180 ◦ ) sowie die beiden Äquatorregionen (90 ◦ , 270 ◦ ) 

gegeben. 

Mikrowellenstrom wird durch einen koplanaren Wellenleiter aus Gold (Au) über die Probe ge- 

leitet. Der Mittelleiter hat dabei eine Breite von 20 µm und ist 200 nm dick. Die Außenleiter 

sind bei entsprechender Dicke jeweils halb so breit. Dies dient zur Impedanzanpassung des 

Wellenleiters. Auf den Mittelleiter des koplanaren Wellenleiters werden Permalloy-Ringe aufge- 

bracht. Dazu wird zunächst Lack (PMMA) auf der Probe aufgebracht. Durch Elektronenstrahl- 

Lithographie (E-beam) werden auf dem Lack Ringformen einem Elektronenstrahl ausgesetzt. 

Anschließend wird eine 15 nm dicke Schicht aus Permalloy (Ni81Fe19) mittels Molekularstrahle- 

pitaxie (MBE) in einem Ultrahochvakuumsystem (UHV) aufgedampft 1 . Unter Anwendung von 

Säure werden letztlich die Stellen des Lacks weggeätzt, die nicht mit Elektronen bestrahlt wor- 

den sind zusammen mit der darüber liegenden Permalloy-Schicht. Durch diese Technik blei- 

ben Ringstrukturen aus Permalloy auf der Probe zurück. Man spricht hierbei von der Lift-Off- 

Technik. Diese Art der Probenstrukturierung wird im Nano-Bio Center der TU Kaiserslautern 

ermöglicht. Für nähere Erklärungen siehe Ref. [52]. Um die Abhängigkeit der Modenkopplung 

von Parametern wie Ringdurchmesser und -breite untersuchen zu können, werden verschie- 

dene Ringe mit Durchmessern von 1, 2 und 3 µm und jeweiligen Ringbreiten von 100, 200 

und 400 nm hergestellt. Die Dicke der Ringe beträgt immer 15 nm. 

1 Dank an P.A. Beck 

41

Das Auftreten der Modenkopplung in kleinen magnetischen Ringen 

Fließt nun ein Mikrowellenstrom durch den koplanaren Wellenleiter, so bildet sich in konzen- 

trischen Ringen um den Wellenleiter ein dynamisches Oersted-Feld h aus, das mit der Mi- 

krowellenfrequenz oszilliert. Da die Ringe auf der Oberfläche des Wellenleiters aufgebracht 

sind, liegt h in der Ebene der Ringe und kann so die Magnetisierung der Ringe zum oszillieren 

anregen. In den vorliegenden Experimenten wurde die Magnetisierung der Ringe durch ein ex- 

ternes Magnetfeld Hext in die Konfiguration des Onion-Zustandes gebracht (siehe Kap. 2.5.2). 

Hext und somit die Vorzugsrichtung der Ringmagnetisierung M sind parallel zur Achse des 

koplanaren Wellenleiters und senkrecht zu h orientiert. Dies begünstigt eine effiziente Anre- 

gung von Spinwellen, da ein magnetisches Moment die größte Auslenkung durch ein externes 

Magnetfeld erfährt, wenn dieses senkrecht auf M wirkt. Bei Parallelität von Magnetfeld und 

magnetischem Moment wirkt hingegen kein Drehmoment auf die Magnetisierung. Es kann nur 

die Richtung, nicht aber der Betrag des magnetischen Momentes geändert werden. 

Wie in Kapitel 2.5.2 bereits gesehen, zeichnet sich ein Ring im Onion-Zustand durch sein viel- 

fältiges Eigenmodenspektrum aus. Während sich in den Äquatorregionen aufgrund der räum- 

lichen Begrenzungen quantisierte Spinwellen mit hohen Frequenzen ausbilden, existieren in 

den Polregionen Eigenmoden in sogenannten Spinwellentöpfen. Letztere weisen kleinere Fre- 

quenzen auf. Es gibt somit in einem Ring im Onion-Zustand zwei grundsätzlich verschiedene 

Typen von Eigenmoden. Somit bilden mikroskopische Ringe mit einer Magnetisierungskonfi- 

guration im Onion-Zustand ein optimales Versuchsobjekt zum Nachweis der Kopplung zweier 

solcher Eigenmoden. 

4.2 Das Auftreten der Modenkopplung in kleinen magneti- 

schen Ringen 

Am Beispiel der magnetischen Ringe mit einer Magnetisierung in der Konfiguration des Onion- 

Zustandes soll gezeigt werden, dass die Kopplung zwischen Poleigenmode und Äquatorei- 

genmode einen Dissipationskanal darstellt. Dann können Spinwellen der Polmode Zustände 

der Äquatormode besetzen, wodurch die Besetzung der Poleigenmode abnimmt. Andererseits 

muss dabei die Besetzung der Äquatormode zunehmen, d.h. die Poleigenmode zerfällt unter 

der Anregung der Äquatormode. Da die am Äquator lokalisierte Eigenmode nicht durch den 

Mikrowellenstrom selbst sondern über den Umweg der Polmode angeregt wurde, kann man 

hier von einer indirekten Anregung der Äquatoreigenmode sprechen. 

Die Modenkopplung kann folglich sichtbar gemacht werden, wenn es möglich ist, den Prozess 

der indirekten Anregung der Äquatormode zu messen.In Kapitel 4.5 wird deutlich, dass dies 

42


kein Beweis für die Existenz der Modenkopplung ist. Dieser wird dort anhand zeitaufgelös- 

ter BLS-Mikroskopie durchgeführt. Die Messung der indirekten Anregung der Äquatormode 

erlaubt jedoch Aussagen über die Modenkopplungsstärke. Sie ist daher für die folgenden Ka- 

pitel von besonderer Wichtigkeit. 

Um die indirekte Anregung der Äquatoreigenmode sichtbar zu machen, werden ausschließ- 

lich Spinwellen der Polmode durch das Oersted-Feld eines Mikrowellenstroms selektiv ange- 

regt. BLS-Mikroskopie-Messungen offenbaren dabei auch große Spinwellenintensitäten der 

am Äquator lokalisierten Eigenmode, deren Frequenz doppelt so groß ist wie die Anregungs- 

frequenz des Mikrowellenstroms. Da das Signal bei Ausschalten des Mikrowellenstroms ver- 

schwindet, muss die Intensität der Äquatormode aber trotz der Frequenzunterschiede in ir- 

gendeiner Weise durch die Mikrowellenamplitude bedingt sein. Dies wird weiter dadurch be- 

kräftigt, dass die Intensität der hier gemessenen Spinwellen die von thermisch angeregten 

Spinwellen um Größenordnungen überragt. 

Das Spinwellensignal am Äquator mit der doppelten Anregungsfrequenz tritt jedoch nur auf, 

wenn die Eigenfrequenz der Spinwellen am Äquator doppelt so groß ist wie die Spinwellenfre- 

quenz der am Pol lokalisierten Eigenmode. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie für einen Ring 

experimentell das passende Frequenzverhältnis erreicht werden kann. Es werden frequenz- 

und ortsaufgelöste Messungen eingeführt, durch welche die Modenkopplung nachgewiesen 

wird und es werden mögliche Kopplungsmechanismen diskutiert. Das Vorgehen wird exem- 

plarisch an einem Ring mit einem Durchmesser von 3 µm und einer Ringbreite von 400 nm 

aufgezeigt. Aus Kap. 4.1 ist klar, dass Modenkopplung nur in einem Ring mit einer Magnetisie- 

rungskonfiguration im Onion-Zustand erreicht werden kann, weil nur in solchen eine Polmode 

mit kleiner Frequenz existiert. Die Untersuchungen in den folgenden Kapiteln werden sich 

somit ausschließlich auf Ringe mit einer Magnetisierung im Onion-Zustand befassen. 

4.2.1 Einstellen der Kopplungsbedingung über das äußere magnetische 

Feld 

Die Anregung von Spinwellen in einem magnetischen Material durch einen Mikrowellenstrom 

gleicht dem klassischen Beispiel einer erzwungenen Schwingung. Analog zur erzwungenen 

Schwingung werden bei jeder Anregungsfrequenz Spinwellen erzeugt. Die Intensität der Spin- 

wellen wird jedoch außerhalb der Resonanz klein und kaum sichtbar sein. Im Resonanzfall 

dagegen gleicht die eingestrahlte Mikrowellenfrequenz der Eigenfrequenz des betrachteten 

Systems, was in einer hohen Spinwellenintensität resultiert. Die resonante Anregung der Ma- 

gnetisierung wird auch Ferromagnetische Resonanz (FMR) genannt. Dies ist der Fall, in dem 

43


alle magnetischen Momente in Phase präzidieren, was einer Spinwelle mit einem Wellenvek- 

tor k = 0 (λ = ∞) entspricht. Die Anregung ist dort besonders einfach und somit intensiv, weil 

durch die Präzession in Phase keine Austauschenergie vom System aufgewendet werden 

muss. 

Die Anregung von Spinwellen durch einen Mikrowellenstrom geschieht am effektivsten im Re- 

sonanzfall. Der erste Schritt bei einer unbekannten Probe ist also die Bestimmung der Reso- 

nanzfrequenz. Hierzu misst man an einem festen Ort die Intensität der Spinwellen bei variie- 

render Mikrowellenfrequenz νRF und bestimmt das Intensitätsmaximum. Ein solches Experi- 

ment kann mittels BLS-Mikroskopie durchgeführt werden, da die Intensität des BLS-Signals 

proportional zur Spinwellenintensität ist [12]. Weil in einem BLS-Spektrum Spinwellen ver- 

schiedener Frequenzen gemessen werden, wird zur Ermittlung der gesamten Spinwellenin- 

tensität über alle auftretenden Frequenzen im BLS-Spektrum integriert. Abb. 4.3 zeigt zwei 

Beispiele von Messungen der Resonanzfrequenz an einem Ring der Breite w = 400 nm mit 

einem Durchmesser von 3 µm. Für Mikrowellenfrequenzen zwischen 2 und 6,5 GHz ist die im 

selben Frequenzbereich integrierte Spinwellenintensität dargestellt. 

Die beiden Graphen in Abb. 4.3 zeigen die generellen Unterschiede zwischen den am Äquator 

und den am Pol lokalisierten Eigenmoden auf. Misst man die Spinwellenintensität bei variieren- 

dem νRF am Pol, so erhält man die linke, in blau dargestellte Kurve. Sie ist bei einem externen 

Magnetfeld von 225 Oe aufgenommen und zeigt, dass die Eigenfrequenz der Polmode dann 

νPol = 3, 0 GHz beträgt. Die relativ breite Resonanz am Pol erlaubt eine gute Anregung von 

Magnonen über einen weiten Frequenzbereich zwischen 2,5 und 3,5 GHz. Es ist aber auch zu 

sehen, dass für Mikrowellenfrequenzen über 4 GHz fast kein Spinwellensignal erzeugt wird. 

Zum Vergleich dazu ist auf der rechten Seite von Abb. 4.3 in rot die Messung der Resonanzfre- 

quenz am Äquator gezeigt. Hier weist die Resonanz der Äquatormode für Hext = 225 Oe eine 

kleinere Frequenzbreite auf. Die Eigenfrequenz liegt bei νÄq = 5, 4 GHz, also bei einer höheren 

Frequenz als am Pol. Für Mikrowellenfrequenzen unterhalb von 5 GHz sind am Äquator 

keine großen Spinwellenanregungen zu sehen. 

Die Ergebnisse aus Abb. 4.3 lassen sich gut durch die Struktur des internen Magnetfeldes 

Hint im Ring erklären (Kap. 2.5.2 und Abb. 4.4). Die Streufelder in den Polregionen verringern 

dort Hint. Da sich die Frequenz einer Spinwelle stets an das interne Feld anpasst, weisen 

die Eigenmoden am Pol im Vergleich zum Äquator geringere Eigenfrequenzen auf. Die Un- 

terschiede in der Frequenzbreite der Resonanz können dann über die verschiedenen Quan- 

tisierungsbedingungen begründet werden. Während die Eigenmoden am Äquator durch die 

Ringbegrenzungen ziemlich genau in ihrer Frequenz bestimmt sind, existieren die Spinwel- 

len am Pol in einem Potenzial, das durch die Inhomogenität von Hint gebildet wird. Diese 

Inhomogenität an sich bildet die Grundlage für eine Vielzahl von potenziellen Quantisierungs- 

44


Abbildung 4.3 Messungen der Resonanzfrequenz am Pol (links, blau) und am Äquator 

(rechts, rot). Bei Messungen der Resonanzfrequenz wird die Magnetisierung durch den externen 

Mikrowellenstrom mit einer Frequenz νRF zum Schwingen angeregt und mittels BLS- 

Mikroskopie die Intensität der bei der jeweiligen Frequenz angeregten Spinwellen gemessen. 

Dargestellt sind zwei Messungen an unterschiedlichen Positionen des Ringes. Bei der Messung 

der Resonanz am Pol (links) tritt maximale Intensität bei einer Frequenz von 3,0 GHz auf. 

Dagegen hat die Resonanzfrequenz am Äquator (rechts) einen größeren Wert von 5,4 GHz. 

Gemessen wurde an einem Permalloy-Ring mit 3 µm Durchmesser und einer Ringbreite von 

400 nm bei einem externen Feld von Hext = 225 Oe. Die Einschübe zeigen jeweils den Ring 

mit seiner Magnetisierungskonfiguration des Onion-Zustands. Wo der Laserspot des BLS- 

Mikroskops auf dem Ring fokussiert wurde, ist mit einem Kreis auf dem jeweiligen Ring gekennzeichnet. 

bedingungen und somit ein breites Spektrum möglicher Eigenfrequenzen der Spinwellen in 

den Polregionen. 

An verschiedenen Positionen auf dem Ring werden also auch unterschiedliche Resonanz- 

frequenzen gemessen. Das deutet darauf hin, dass die beiden Eigenmoden, also die durch 

die Ringbegrenzung verursachte Eigenmode sowie die im Potenzialtopf des internen Feldes 

existierende Eigenmode, verschiedene räumliche Amplitudenverteilungen besitzen. Es wurde 

oben von einer Poleigenmode und einer Äquatoreigenmode gesprochen, weil an beiden Posi- 

tionen unterschiedliche Resonanzfrequenzen gefunden wurden. Abb. 4.5 zeigt das Ergebnis 

von Messungen, die eine Lokalisation von Pol- und Äquatoreigenmode belegen. In einem Ring 

mit einem Durchmesser von 3 µm und 400 nm Ringbreite werden bei festem externem Ma- 

gnetfeld von einem Mikrowellenstrom mit konstanter Frequenz νRF Spinwellen angeregt. Die 

azimuthale Verteilung der Spinwellenintensität wird dann gemessen, indem an jedem Punkt 

entlang des Ringumfangs ein BLS-Spektrum aufgenommen und die Intensität der Spinwel- 

len mit einer Frequenz ν = νRF gemessen wird. Die blaue Kurve in Abb. 4.5 wurde bei ei- 

nem externen Magnetfeld von 150 Oe und einer konstanten Anregungsfrequenz von 2,4 GHz 

aufgenommen. Diese Mikrowellenfrequenz entspricht genau der in Abb. 4.6 ermittelten Reso- 

nanzfrequenz am Pol. Das Ergebnis in Abb. 4.5 zeigt, dass dann auch nur Spinwellen angeregt 

werden, welche am Pol lokalisiert sind. Der Name „Poleigenmode“ ist damit berechtigt. Ent- 

45


Abbildung 4.4 Verteilung des internen Magnetfeldes Hint entlang eines Weges um den Ring 

mit dem Radius r = D/2 − w/2 für Ringdurchmesser D = 1, 2 und 3 µm und einer konstanten 

Ringbreite von w= 400 nm. Die Streufelder in den Polregionen bewirken eine Verringerung 

des internen Feldes in den Polregionen, wo sich aufgrund der Inhomogenität von Hint Potenzialtöpfe 

ausbilden. Quelle: [10] 

sprechend zeigt die rote Kurve in Abb. 4.5, dass bei einem Mikrowellenstrom von 4,9 GHz 

auch nur am Äquator eine Spinwellenintensität gemessen wird, weil die Mikrowellenfrequenz 

gleich der in der Äquatorregion gemessenen Resonanzfrequenz ist. Bei Pol- und Äquatormo- 

de handelt es sich offensichtlich um zwei verschiedene Eigenmoden des Ringes, die nicht nur 

eine unterschiedliche Eigenfrequenz besitzen, sondern auch räumlich voneinander getrennt 

sind. 

Bei genauer Betrachtung ist in Abb. 4.3 für die Messung der Resonanzfrequenz am Äquator 

(rot) auch ein Peak von geringer Intensität bei νRF = 2, 7 GHz erkennbar. Entgegen allen 

oben getätigten Aussagen tritt er bei kleinen Frequenzen auf. Die Erklärung hierfür ist in einer 

Kopplung der Äquatormode mit der am Pol lokalisierten Mode zu finden. Ein Mikrowellenstrom 

der Frequenz νRF = 2, 7 GHz kann nämlich am Pol Spinwellen erzeugen, weil dort für diese 

Frequenz eine Resonanz vorhanden ist (Abb. 4.3 links). Durch die Kopplung würde indirekt 

die Äquatormode angeregt. Die dadurch erzeugten Spinwellen am Äquator hätten dann die 

Frequenz 2νRF = 5, 4 GHz, was der Resonanzfrequenz am Äquator entsprechen würde. Da 

der Peak bei νRF = 2, 7 GHz die Summe aller Spinwellenintensitäten zwischen 2 und 6 GHz 

darstellt, können also auch die am Äquator indirekt angeregten Spinwellen der doppelten Fre- 

quenz in der Messung der Resonanzfrequenz enthalten sein. Dass es sich hierbei tatsächlich 

um eine indirekte Anregung der Äquatormode handelt, wird in Kap. 4.2.2 deutlich. 

Die erste Indikation für eine Kopplung von Pol- und Äquatormode tritt somit schon in der Mes- 

sung der Resonanzfrequenz am Äquator auf. Das indirekt erzeugte Signal am Äquator ist in 

Abb. 4.3 nicht sehr intensiv. Jedoch geschieht auch die Anregung der Polmode nicht bei der 

Resonanzfrequenz am Pol sondern irgendwo innerhalb der relativ breiten Anregungskurve. 

46


Abbildung 4.5 Räumliche Verteilung der Spinwellen-Intensität im Ring. Dargestellt ist die gemessene 

BLS-Intensität als Funktion der azimuthalen Position des BLS-Laserfokus auf dem 

Ring, angegeben durch den links unten definierten Winkel α. Die blaue Kurve zeigt dabei die 

Spinwellenverteilung der Pol-Eigenmode, welche durch einen Mikrowellenstrom mit der Frequenz 

ν = 2, 4 GHz angeregt werden kann. Sie nimmt in den Polregionen (α = 0 ◦ , 180 ◦ ) ihre 

maximale Intensität an. In rot dargestellt ist die von der Äquatormode gemessene Spinwellenintensität. 

Bei direkter Anregung mit ν = 4, 9 GHz liegen ihre Maxima in den Äquatorregionen 

bei α = 90 ◦ , 270 ◦ . Das externe Magnetfeld beträgt Hext = 150 Oe, der Ringdurchmesser ist 

3 µm bei einer Breite von 400 nm. 

Die Kopplung ist effektiver und das indirekt erzeugte Spinwellensignal intensiver, wenn das 

Verhältnis der Resonanzfrequenz am Äquator zu der des Pols genau 2:1 beträgt. Dann regt 

ein Mikrowellenstrom der Frequenz νRF die Poleigenmode mit ihrer Eigenfrequenz νPol = νRF 

zum Schwingen an. Durch die Modenkopplung werden dann Spinwellen der Äquatormode bei 

der doppelten Frequenz 2νRF = 2νPol erzeugt, was genau der Resonanzfrequenz ν Äq am 

Äquator entspricht. 

Um die Kopplung, d.h. die indirekte Anregung von Magnonen zu maximieren, müssen die 

Eigenfrequenzen von Äquatormode und Polmode verschoben werden, bis sich ein Frequenz- 

verhältnis von 2:1 einstellt. Dies wird durch eine Änderung des externen Magnetfeldes Hext er- 

möglicht. Ein größerer Wert von Hext erhöht das interne Feld Hint im Ring. Dadurch verschiebt 

sich die Resonanzfrequenz zu größeren Werten. Diese Frequenzverschiebung ist sowohl für 

die Polmoden als auch für Moden in der Äquatorregion in der gleichen Größenordnung, da 

das externe Feld durch seine Homogenität in beiden Regionen Hint um einen Offset erhöht. 

Es ändert sich dadurch aber das Frequenzverhältnis der Eigenmoden von Pol und Äquator. 

Die Abhängigkeit der Resonanzfrequenz vom externen Magnetfeld Hext wird in Abb. 4.6 klar. 

An einem Ring mit 3 µm Durchmesser und einer Ringbreite von 400 nm sind hier für vier 

47


Abbildung 4.6 Messungen der Resonanzfrequenz an Pol und Äquator für verschiedene Werte 

des externen Magnetfeldes Hext an einem Permalloy-Ring mit 3 µm Durchmesser und 400 nm 

Breite. Dargestellt ist die der Spinwellen-Intensität proportionale gemessene BLS-Intensität als 

Funktion der Mikrowellen-Anregungsfrequenz νRF. Am Pol tritt der Resonanzfall bei kleineren 

Anregungsfrequenzen als am Äquator auf. Die Änderung des externen Magnetfeldes bewirkt 

eine unterschiedlich starke Verschiebung beider Resonanzfrequenzen. Für Hext = 150 Oe 

liegt die Resonanzfrequenz am Äquator (rot) bei 4,9 GHz und ist in etwa doppelt so groß 

wie die am Pol (blau) gemessene Resonanzfrequenz von 2,4 GHz. Im Einschub sind für die 

Messung am Pol (blau) und am Äquator (rot) die Positionen des BLS-Laserfokus auf dem Ring 

durch farbige Kreise gekennzeichnet. 

verschiedene Werte des externen Magnetfeldes Hext Resonanzmessungen am Pol und am 

Äquator durchgeführt worden. Im Schaubild sind die am Pol gemessenen Resonanzen bei 

kleinen Frequenzen deutlich von den höherfrequenten Resonanzen in den Äquatorregionen zu 

unterscheiden. Auch die Verschiebung der Resonanzfrequenz mit Hext ist erkennbar. Sowohl 

die Eigenfrequenz am Pol als auch die des Äquators steigen mit größer werdendem externem 

Magnetfeld. Für ein äußeres Feld von Hext = 150 Oe beträgt die Resonanzfrequenz am Äqua- 

tor 4,9 GHz während sie am Pol für 2,4 GHz erreicht ist. Das Frequenzverhältnis von 2:1, bei 

dem die Äquatormode am effektivsten durch die Kopplung mit der Polmode angeregt werden 

kann, ist somit hergestellt. Da dieses Verhältnis eine notwendige Bedingung zum Auftreten 

der Modenkopplung ist, wird hier im folgenden auch vom Erreichen der Kopplungsbedingung 

gesprochen. 

Eine wichtige Erkenntnis aus Abb. 4.6 kann aus der Betrachtung der Intensitäten im Reso- 

nanzfall gezogen werden. Mit sinkendem externem Magnetfeld steigt die Spinwellenintensität 

am Äquator im Resonanzfall, während am Pol der umgekehrte Fall eintritt. Hier sinkt die An- 

zahl der erzeugten Magnonen mit Hext. Weiter ist zu beobachten, dass am Äquator für alle 

betrachteten Feldwerte eine größere Spinwellenintensität erzeugt werden kann als am Pol. Es 

ist offensichtlich, dass das absolute Maximum der Intensität bei der Resonanzfrequenz bezüg- 

lich verschiedener Werte von Hext bei den hier betrachteten Werten noch nicht erreicht ist. Die 

Modenkopplung wäre aber am effektivsten, wenn beim Erreichen der Kopplungsbedingung 

48


auch das absolute Maximum der Spinwellenintensität bei der Resonanzfrequenz für Pol- und 

Äquatormoden angenommen würde. Dazu müssten jedoch Ringparameter wie Durchmesser, 

Breite und Dicke entsprechend angepasst werden. Ein Vergleich von Ringen verschiedener 

Durchmesser und Breiten hinsichtlich ihrer Kopplungseigenschaften wird in Kap. 4.4 vorge- 

nommen. 

4.2.2 Nachweis der Modenkopplung 

Im vorherigen Kapitel wurde gezeigt, dass in den Messungen der Resonanzfrequenz am 

Äquator eines Ringes mit Magnetisierung im Onion-Zustand bereits erste Anzeichen für ei- 

ne Kopplung zwischen Pol- und Äquatoreigenmoden gefunden werden können. Ist die Anre- 

gungsfrequenz halb so groß wie die Resonanzfrequenz, so werden hier Spinwellen detektiert. 

Das wird mit einer indirekten Anregung der Äquatoreigenmode über die Polmode erklärt. Ma- 

gnonen am Äquator haben dann eine Frequenz, die doppelt so groß ist wie die Anregungsfre- 

quenz. Da in den Resonanzfrequenzmessungen im letzten Kapitel jedoch über die Frequenz 

integriert wird, geht dort die Frequenzinformation verloren. In diesem Kapitel werden daher 

frequenz- und ortsaufgelöste Messungen der Spinwellenintensität gezeigt, in welchen die in- 

direkte Anregung von Spinwellen am Äquator der doppelten Mikrowellenfrequenz sichtbar ge- 

macht wird. Die Brillouin-Lichtstreumikroskopie ist hierzu bestens geeignet. 

Ein Ring mit einem Durchmesser von 3 µm und einer Ringbreite von 400 nm wird durch ein 

äußeres Magnetfeld Hext = 150 Oe in der Magnetisierungskonfiguration des Onion-Zustands 

gehalten. Bei diesem Magnetfeldwert ist die Kopplungsbedingung erfüllt (siehe Kap. 4.2.1). 

Ein Mikrowellenstrom erzeugt Spinwellen im Ring. Für jede Position entlang des Ringumfangs 

wird nun ein BLS-Spektrum aufgenommen. Die so gewonnene spektrale und räumliche Vertei- 

lung der Spinwellenintensität kann am besten in einem Intensitätsgraphen analysiert werden, 

wie er in Abb. 4.7 gezeigt ist. Für jede azimuthale Position auf dem Ring (x-Achse) und je- 

de mögliche Spinwellenfrequenz (y-Achse) ist die gemessene Spinwellenintensität durch die 

Farbgebung gekennzeichnet. Hierbei bedeutet rot eine hohe Intensität und schwarz eine gerin- 

ge Intensität. Die y-Achse gibt die Frequenzverschiebung eines Photons an, das inelastische 

Streuung mit einem Magnon eingegangen ist. Eine negative Frequenzachse sagt aus, dass 

Stokes-Prozesse betrachtet werden. Aufgrund der in Kap. 3.1 gezeigten Energieerhaltung bei 

der Brillouin-Lichtstreuung kann die BLS-Frequenz der jeweiligen Spinwellenfrequenz gleich- 

gesetzt werden, wobei im hier gezeigten Fall noch der Betrag gebildet werden muss. 

Für die Messung in Abb. 4.7 ist die Anregungsfrequenz νRF gleich der Resonanzfrequenz 

am Pol, νPol = 2, 4 GHz, gewählt. Da die am Äquator lokalisierte Eigenmode eine andere 

Resonanzfrequenz besitzt, werden durch den Strom also nur in den Polregionen Magnonen 

49


Abbildung 4.7 Ringscan zum Nachweis der Modenkopplung. An jedem Ort entlang des Ringumfangs 

wird ein BLS-Spektrum aufgenommen. Dargestellt ist ein Intensitätsgraph, in dem 

für jeden Ort und für jede Spinwellenfrequenz die Spinwellenintensität farbig dargestellt ist. 

Rot bedeutet dabei hohe Spinwellenintensität, schwarz steht für geringe Intensität. Die Intensitätsachse 

ist dabei logarithmisch skaliert. Die negativen Frequenzwerte kommen aus der 

Beschränkung auf die Stokes-Seite des BLS-Spektrums. Die Messung wurde bei einem externen 

Magnetfeld von Hext = 150 Oe (Kopplungsbedingung erfüllt) und einem Mikrowellenstrom 

der Frequenz νRF = 2, 4 GHz durchgeführt. Entsprechend ist ein starkes Signal von Spinwellen 

zu sehen, deren Frequenz der Anregungsfrequenz gleicht. Sie sind an den Polen (0 ◦ , 180 ◦ , 

360 ◦ ) lokalisiert. Durch den Mikrowellenstrom wird also die Poleigenmode resonant angeregt. 

Zusätzlich dazu wird ein deutliches Spinwellensignal in den Äquatorregionen (90 ◦ , 270 ◦ ) gemessen, 

das bei der doppelten Mikrowellenfrequenz auftritt. Die Äquatormode kann somit 

nicht direkt durch den Mikrowellenstrom induziert worden sein. Vielmehr bedingt die Kopplung 

von Pol- und Äquatormode (durch rote Pfeile angedeutet) eine Dissipation von Spinwellen der 

Polmode in die Äquatormode. Mit einem Stern gekennzeichnet ist die am Pol auftretende erste 

höhere Ordnung der Poleigenmode bei doppelter Anregungsfrequenz. 

50


der Frequenz ν = νRF erzeugt. Dies sind in Abb. 4.7 die intensiven roten Signale bei einer 

Position von 0 ◦ , 180 ◦ und 360 ◦ und ν = 2, 4 GHz. An denselben Positionen sind auch bei dop- 

pelter Frequenz schwache Signale sichtbar, welche durch einen Stern gekennzeichnet sind. 

Ihr Ursprung liegt in den höheren Ordnungen der Landau-Lifshitz-Gleichung, welche bei hohen 

Intensitäten immer berücksichtigt werden sollten. Da die Anregung durch einen Mikrowellen- 

strom eine starke Spinwellenintensität hervorruft, ist ein Auftreten der höheren Ordnungen am 

Pol also nicht verwunderlich. Zusätzlich dazu tritt aber auch in den Äquatorregionen bei 90 ◦ 

und 270 ◦ ein starkes Spinwellensignal auf, dessen Frequenz zu ν = 2νRF bestimmt wird. Of- 

fensichtlich kann der Ursprung dieses Signals wegen der unterschiedlichen Frequenzen nicht 

primär durch den Mikrowellenstrom verursacht worden sein. Weiterhin schließt die Lokalisa- 

tion der Spinwellen in den Äquatorregionen aus, dass es sich hierbei um höhere Ordnungen 

der Polmode handeln könnte. Es liegt also eine indirekte Anregung der Äquatormode vor. 

Dieses Phänomen ist durch die Kopplung der Eigenmoden an Pol und Äquator zu erklären. 

Wie in Abb. 4.7 durch rote Pfeile angedeutet, kann dann eine Dissipation von Spinwellen aus 

den Polregionen in die Äquatormode stattfinden. Die Modenkopplung stellt somit einen wei- 

teren Dissipationskanal dar, durch den die am Pol lokalisierte Eigenmode Energie verlieren 

kann. Verwunderlich ist die Tatsache, dass sich beim Übergang aus der Polmode in die Äqua- 

tormode die Frequenz der Spinwellen um den Faktor 2 ändert. Außerdem ist zu beachten, dass 

es sich in diesem Fall um eine nicht-lokale Kopplung zweier Eigenmoden handelt. Mögliche 

Kopplungsmechanismen müssen sowohl die Frequenzänderung als auch die Nicht-Lokalität 

erklären können. Kap. 4.2.3 wird darauf genauer eingehen. 

Zur quantitativen Betrachtung der Spinwellenintensitäten wird in Abb. 4.8 eine andere Darstel- 

lung der Ergebnisse aus Abb. 4.7 gewählt. Allein die bei der Anregungsfrequenz gemessene 

Spinwellenintensität wird als Funktion der azimuthalen Position auf dem Ring aufgetragen. 

Dies ist durch die gestrichelte Linie gekennzeichnet. Das Spinwellensignal bei der doppelten 

Mikrowellenfrequenz ist als durchgezogene Linie gezeigt. Berücksichtigt man die logarithmi- 

sche Skalierung der Intensitätsskala, so sind die Unterschiede zwischen den Spinwellen mit 

doppelter Anregungsfrequenz an Pol und Äquator deutlich sichtbar. Die höhere Ordnung der 

Poleigenmode ist um einen Faktor von bis zu 30 gegenüber der direkt angeregten Spinwel- 

lenintensität am Pol verringert. Die am Äquator gemessene Intensität ist demgegenüber le- 

diglich um einen Faktor von bis zu 10 kleiner. Sie ist intensiver als die höhere Ordnung der 

Poleigenmode. Die Modenkopplung ist somit effizienter als die nichtlineare Anregung höherer 

Ordnungen einer Eigenmode. 

Die in diesem Unterkapitel behandelte Methode der frequenz- und ortsaufgelösten Brillouin- 

Lichtstreumikroskopie in Verbindung mit der Darstellung der Ergebnisse wie in Abb. 4.7 ist 

eine geeignete Methode zur Sichtbarmachung der Modenkopplung, indem die indirekte Anre- 

51


Abbildung 4.8 Quantitative Auswertung der Messung aus Abb. 4.7. Dargestellt ist die gemessene 

Spinwellenintensität (logarithmische Skalierung) als Funktion der azimuthalen Position 

auf dem Ring. Dabei ist die Intensität der durch den Mikrowellenstrom direkt erzeugten Spinwellen 

mit einer Frequenz ν = νRF als gestrichelte Linie dargestellt. Sie hat ihre Maxima in den 

Polregionen bei 0 ◦ und 180 ◦ . Die Intensität der bei der doppelten Anregungsfrequenz gemessenen 

Spinwellen (durchgezogene Linie) hat ebenfalls Maxima am Pol, die um einen Faktor 

15-30 kleiner sind als das direkt angeregte Spinwellensignal am Pol. Es handelt sich hierbei 

um die höhere Ordnung der Poleigenmode. Weiterhin wird bei ν = 2νRF auch die Äquatormode 

angeregt. Ihre Intensität ist um einen Faktor 5-10 kleiner als die der direkt angeregten 

Polmode. Sie ist aber wesentlich intensiver als die höhere Ordnung der Polmode. 

gung der Äquatoreigenmode betrachtet wird. In den folgenden Kapiteln wird die Abhängigkeit 

der Kopplungsstärke von äußeren Parametern, wie z.B. Hext, daher immer mithilfe dieser Me- 

thode untersucht. Die Aussagen über den Aufbau und die Skalierung von Schaubildern wie in 

Abb. 4.7 behalten ihre Gültigkeit. 

4.2.3 Mögliche Kopplungsmechanismen 

Bisher ist gezeigt worden, dass die resonante Anregung von Spinwellen der am Pol lokali- 

sierten Eigenmode eines Permalloy-Ringes im Onion-Zustand auch zur Erzeugung von Spin- 

wellen der doppelten Frequenz führt, die jedoch am Äquator lokalisiert sind. Dies ist darauf 

zurückgeführt worden, dass Pol- und Äquatoreigenmode gekoppelt sind. Die indirekte Anre- 

gung der Äquatormode tritt jedoch nur auf, wenn die Resonanzfrequenzen von Äquatormode 

und Polmode ein Frequenzverhältnis von 2:1 aufweisen. Dieses Kapitel befasst sich mit den 

möglichen Mechanismen, die der Kopplung zugrunde liegen können. Zum einen führt die Be- 

trachtung der Vorgänge im Teilchenbild zu dem Begriff der Magnon-Magnon-Streuung. Zum 

andern sind in der nicht-linearisierten Landau-Lifshitz-Gleichung Erklärungsansätze für den 

Effekt der Modenkopplung enthalten. 

52


Um den Teilchencharakter von Spinwellen zu unterstreichen, spricht man im Teilchenbild von 

einem Magnon, dem Quant einer Spinwelle. Hiermit lassen sich besonders Streuprozesse 

mit Spinwellenbeteiligung durch Magnonen-Erzeugungs- und Vernichtungsprozesse erklären. 

So wird zum Beispiel die Brillouin-Lichtstreuung als die inelastische Streuung eines Photons 

an einem Magnon angesehen, wobei entweder ein Magnon vernichtet oder erzeugt wird. Je- 

doch können Magnonen auch untereinander Streuprozesse eingehen. Man spricht hierbei von 

Magnon-Magnon-Streuung. Es gelten die für Streuprozesse üblichen Erhaltungssätze für Im- 

puls und Energie 

n 

¯hki = 

i=1 

n 

¯hΩi = 

i=1 

m 

¯hkj Impulserhaltung (4.1) 

j=1 

m 

¯hΩj Energieerhaltung. (4.2) 

j=1 

Hierbei läuft die Summation auf der linken Seite des Gleichheitszeichens über alle am Streu- 

prozess beteiligten Magnonen, die vor der Streuung existiert haben, während auf der rechten 

Seite über alle Magnonen summiert wird, die aus dem Streuprozess hervorgehen. Somit an- 

nihilieren bei dem Streuprozess n Magnonen und erzeugen dabei m Magnonen. Man spricht 

dann von einem q-Magnonen-Prozess, wobei q = m + n. 

Einige Magnon-Magnon-Streuprozesse sind in Abb. 4.9 aufgeführt. Der einfachste Prozess ist 

die Zwei-Magnonen-Streuung. Ein Magnon streut an einer Fehlstelle im Kristall, wodurch es 

einen anderen Impuls annehmen kann. Seine Energie bleibt dabei erhalten. Die weniger wahr- 

scheinliche Drei-Magnonen-Streuung benötigt bereits zwei miteinander streuende Magnonen, 

die sich zu einem Magnon mit größerer Energie verbinden. Auch der umgekehrte Prozess 

ist möglich, d.h. der Zerfall eines Magnons in zwei Magnonen kleinerer Frequenz. Weiter- 

hin existieren Streuprozesse höherer Ordnungen. Wie im Fall der Vier-Magnonen-Streuung 

in Abb. 4.9c zu erkennen ist, sind in diesen Streuprozessen zunehmends mehr Magnonen 

beteiligt. Jedoch sinkt die Wahrscheinlichkeit eines Streuprozesses mit der Anzahl der darin 

beteiligten Magnonen, so dass Streuprozesse höherer Ordnung vernachlässigbar sind. 

Speziell die Drei-Magnonen-Streuung liefert für den Fall der Modenkopplung in Ringen mit 

einer Magnetisierung im Onion-Zustand eine passende Erklärung der beobachteten Effekte. 

Man betrachte den in Abb. 4.10a dargestellten Fall der Streuung von zwei Magnonen glei- 

cher Frequenz Ω1. Während des Streuprozesses annihilieren die beiden Magnonen unter der 

Erzeugung eines dritten Magnons, das nun die Summe der beiden Ausgangsenergien mit 

sich trägt und somit die Frequenz Ω2 = 2Ω1 besitzt. Dieser Vorgang ist nun auf die Rin- 

ge übertragbar (Abb. 4.10b). Ein Mikrowellenstrom erzeugt Magnonen in der am Pol lokali- 

sierten Eigenmode. Jeweils zwei Magnonen der Polmode mit Frequenz ΩPol annihilieren bei 

der Drei-Magnonen-Streuung unter der Erzeugung eines dritten Magnons, dessen Frequenz 

53


Abbildung 4.9 Magnon-Magnon-Streuprozesse bis zur dritten Ordnung. a) Zwei-Magnonen- 

Streuung (mit Fehlstelle in schwarz), b) Drei-Magnonen-Streuung, c) Vier-Magnonen- 

Streuung. 

ΩStreu = 2 · ΩPol aufgrund des Energieerhaltungssatzes (Gl. 4.2) doppelt so groß ist wie die 

Frequenz eines Magnons der Polmode. ΩStreu liegt nun mit großer Wahrscheinlichkeit nicht 

mehr innerhalb der Resonanz am Pol. Die Lokalisation zum Pol wird aufgehoben, das Ma- 

gnon ist nicht mehr in einem Zustand der Poleigenmode. Existiert aber am Äquator des Rings 

eine Resonanzfrequenz derart, dass ΩStreu innerhalb dessen Resonanz liegt, wird das Ma- 

gnon dort wesentlich langlebiger sein. Erreicht das freie Magnon also den Äquator, so wird 

es einen Zustand der Äquatoreigenmode besetzen und dadurch am Pol lokalisiert sein. Die- 

ser Fall ist für ν Äq = ΩStreu = 2 · νPol erfüllt. Das ist die in den vorherigen Kapiteln erwähnte 

Kopplungsbedingung. Sie folgt somit als Bedingung aus der Energieerhaltung bei der Drei- 

Magnonen-Streuung. 

Im Teilchenbild ist die Wahrscheinlichkeit für den Prozess der Streuung von zwei Magnonen 

der Polmode zu einem Magnon in der Äquatormode proportional zum Produkt der Zustands- 

dichten am Äquator und am Pol. Als Maß für die Zustandsdichte kann die potenziell anregbare 

Spinwellenintensität an der jeweiligen Position herangezogen werden, d.h. die Zustandsdichte 

an einem Punkt ist proportional zu der Anzahl von Magnonen, die ein Mikrowellenstrom mit 

gleicher Frequenz erzeugen würde. Diese Überlegungen zeigen, dass die Modenkopplung 

nicht exakt erfüllt sein muss. Es genügt, dass die Frequenz der am Pol annihilierenden Ma- 

gnonen innerhalb der Resonanzbreite am Pol liegen und dass das erzeugte Magnon innerhalb 

der Resonanzbreite des Äquators liegt. Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen, nicht exakt 

resonanten Prozess ist jedoch wesentlich kleiner. 

Im Umkehrschluss folgt aus der Betrachtung der möglichen Drei-Magnonen-Streuprozesse 

aber auch, dass die Modenkopplung in beide Richtungen stattfinden sollte. Der in Abb. 4.9b 

unten gezeigte Prozess des Zerfalls eines Magnons in zwei Magnonen der halben Frequenz 

sollte als Mechanismus der Dissipation von Spinwellen der Äquatoreigenmode in die Polm- 

54


Abbildung 4.10 Schematische Darstellung der Drei-Magnonen-Streuung als Kopplungsmechanismus. 

a) Prinzip: zwei Magnonen der Frequenz Ω annihilieren und erzeugen unter 

Impuls- und Energieerhaltung ein drittes Magnon, das folglich eine Frequenz 2Ω hat. b) Übertragung 

auf Ringsystem: zwei Magnonen der Poleigenmode mit Frequenz νPol annihilieren und 

erzeugen ein Magnon der doppelten Frequenz ν = νÄq , das seine maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit 

in der Äquatorregion hat und folglich zur Äquatoreigenmode gezählt wird. 

ode wirken. Falls also nur die Äquatormode durch einen Mikrowellenstrom resonant angeregt 

wird, sollten auch am Pol Magnonen der halben Frequenz gemessen werden können, falls 

die Kopplungsbedingung erfüllt ist. In Abb. 4.11 ist ein solches Experiment aufgeführt. An ei- 

nem Ring mit 3 µm Durchmesser und 400 nm Breite wird bei einem externen Magnetfeld von 

150 Oe die Äquatormode resonant angeregt. Dazu wird ein Mikrowellenstrom der Frequenz 

νRF = 4, 9 GHz benötigt. Wie aus dem Intensitätsgraphen ersichtlich, werden für diesen Fall 

jedoch keine Spinwellen am Pol gemessen. Die Modenkopplung kann in dieser Richtung nicht 

beobachtet werden. Die Lösung dieses Problems liegt hier in der Tatsache, dass für den Zer- 

fall eines Magnons in zwei Magnonen der halben Frequenz eine Schwellleistung existiert. 

Unterhalb dieser Leistung tritt der Zerfall nicht auf [53]. 

Somit kann die Drei-Magnonen-Streuung als möglicher Mechanismus der beobachteten Mo- 

denkopplung angesehen werden. Die Erklärung muss aber nicht zwangsläufig im Teilchenbild 

sein. Die Modenkopplung kann auch aus der Landau-Lifshitz-Gleichung abgelesen werden. 

Sie ist eine nichtlineare Differenzialgleichung, deren Lösung die Frequenzen der möglichen 

Spinwellen eines Systems beinhalten. Analytisch ist eine Lösung aber nur dann möglich, wenn 

die Gleichung linearisiert wird (siehe Kap. 2.3.1). Diese lineare Näherung hat dann Gültigkeit, 

wenn von kleinen Auslenkungen α der Magnetisierung aus ihrer Ruhelage gesprochen wird. 

Für große Winkel müssen die nichtlinearen Terme der Magnetisierung und des Magnetfel- 

des in der Landau-Lifshitz-Gleichung (2.4) berücksichtigt werden. Das führt dazu, dass ne- 

ben den eigentlichen Spinwellen mit Frequenz Ω0 auch höhere Harmonische mit Frequenzen 

Ωn = n · Ω0 (n = 2, 3,...) existieren [53]. 

Im vorliegenden Fall der resonanten Anregung von Spinwellen in einem Ring durch das dy- 

55


Abbildung 4.11 Ringscan zum Nachweis der Unidirektionalität der Dissipation durch Modenkopplung. 

Bei einem externen Magnetfeld von 150 Oe wird mit einer Mikrowellenfrequenz von 

νRF = 4, 9 GHz die in den Äquatorregionen lokalisierte Eigenmode direkt angeregt. Folglich 

wird bei dieser Frequenz eine hohe Spinwellenintensität am Äquator (90 ◦ , 270 ◦ ) gemessen. 

Trotz erfüllter Kopplungsbedingung werden jedoch am Pol keine Spinwellen der halben Anregungsfrequenz 

detektiert. 

namische Oersted-Feld eines Mikrowellenstromes werden sehr hohe Spinwellenintensitäten in 

den Polregionen erzeugt. Dadurch ist dort die lineare Näherung der Landau-Lifshitz-Gleichung 

nicht mehr anwendbar. Die nichtlinearen Effekte rücken in den Vordergrund. Dies wirkt sich 

dadurch aus, dass bei der Anregung der Poleigenmode durch eine Mikrowellenfrequenz νRF 

auch gleichzeitig ein Spinwellensignal am Pol detektiert wird, welches die Frequenz Ω = 2νRF 

aufweist. Es handelt sich hierbei um die zweite Harmonische der Poleigenmode. Sie ist, wie 

die resonant erzeugte Eigenmode auch, am Pol lokalisiert. 

Eine mögliche Erklärung der Kopplung zwischen Pol- und Äquatoreigenmode kann dann auf 

der Erzeugung der zweiten Harmonischen der Polmode basieren. Die resonante Anregung 

der Poleigenmode führt gleichzeitig zur Erzeugung der zweiten Harmonischen, welche über 

die langreichweitige dipolare Wechselwirkung mit der Äquatormode koppelt und dadurch Spin- 

wellen in der Äquatormode anregt. Diese These wird dadurch bekräftigt, dass die zweite Har- 

monische in den vorliegenden Messungen beobachtet wird. In Abb. 4.7 ist sie mit einem Stern 

markiert. Widersprüchlich ist jedoch die Tatsache, dass die Intensität der zweiten Harmoni- 

schen am Pol in Abb. 4.7 kleiner ist als das durch die Modenkopplung am Äquator bewirkte 

Signal. Außerdem wird in Kap. 4.4 nachgewiesen, dass der Ringdurchmesser keinen Einfluss 

auf die Kopplungsstärke hat. Falls der Modenkopplung jedoch die dipolare Wechselwirkung 

zwischen Spinwellen am Pol und am Äquator zugrunde liegen sollte, dann müsste diese bei 

56

Abhängigkeit der Modenkopplungsstärke vom äußeren Magnetfeld 

kleineren Abständen zwischen Pol und Äquator stärker werden. Somit würde eigentlich ein 

Anstieg der Modenkopplungsstärke mit sinkendem Ringdurchmesser erwartet. 

Der Versuch, die Modenkopplung durch die nichtlinearen Terme der Landau-Lifshitz-Gleichung 

zu erklären, führt somit zu einigen Widersprüchen. Daher scheint der Ansatz der Drei-Magno- 

nen-Streuung besser dazu geeignet zu sein, die Modenkopplung anschaulich zu beschreiben. 

Das Teilchenbild wird auch in den folgenden Kapiteln immer wieder dazu verwendet werden, 

die auftretenden Effekte zu beschreiben. 

4.3 Abhängigkeit der Modenkopplungsstärke vom äußeren 

Magnetfeld 

Die Modenkopplung kann erreicht werden, indem durch geeignete Wahl des externen Magnet- 

feldes Hext die Kopplungsbedingung hergestellt wird. Wann der geeignete Wert von Hext er- 

reicht ist, kann aus den Messungen der Spinwellen-Resonanzfrequenzen an Pol und Äquator 

abgelesen werden. Im Fall der Modenkopplung weisen Äquatoreigenmode und Poleigenmo- 

de ein Resonanzfrequenz-Verhältnis von 2:1 auf. Dann kann in frequenz- und ortsabhängi- 

gen Messungen mittels Brillouin-Lichtstreumikroskopie die Modenkopplung beobachtet wer- 

den. Wird in einem Ring nur die Polmode von außen angeregt, so können bei Kopplung von 

Pol- und Äquatoreigenmode trotzdem Spinwellen am Äquator mit doppelt so großer Frequenz 

gemessen werden. 

Diese Vorgehensweise wurde in Kap. 4.2 dargestellt. Es ist auch die schnellste Methode, 

wenn die Modenkopplung bei einem unbekannten Ring erreicht werden soll. Allerdings ist es 

intuitiver, das Auftreten und Verschwinden der Modenkopplung bei Variation des äußeren Ma- 

gnetfeldes direkt zu beobachten. In diesem Kapitel wird diese Abhängigkeit des indirekt ange- 

regten Spinwellensignals am Äquator vom externen Magnetfeld Hext direkt untersucht. Dazu 

wird Hext über die Kopplungsbedingung eines Ringes variiert. Bei jedem Magnetfeldwert wird 

dabei mittels frequenz- und ortsaufgelöster Brillouin-Lichtstreumikroskopie die Modenkopp- 

lungsstärke ermittelt und mit dem aktuellen Verhältnis der beiden Eigenfrequenzen von Pol- 

und Äquatormode verglichen. Es ist somit der nachträgliche Beweis, dass die Modenkopplung 

tatsächlich nur bei einem Verhältnis von 2:1 der beiden Resonanzfrequenzen auftritt. 

Die Messungen werden an einem Ring mit dem Durchmesser D = 3 µm und einer Ringbreite 

von w = 400 nm durchgeführt. Für diesen Ring wurde bereits im vorherigen Kapitel die Kopp- 

lungsbedingung bei einem Magnetfeld von 150 Oe erreicht. Folglich wird für Werte von Hext in 

einem Bereich zwischen 210 und 120 Oe im Abstand von 15 Oe jeweils das indirekt angeregte 

Spinwellensignal am Äquator gemessen. Die Resultate zeigt Abb. 4.12. 

57


Abbildung 4.12 Beobachtung der Modenkopplung bei Veränderung des äußeren Magnetfelds 

Hext über die Kopplungsbedingung hinweg. Der mittlere Graph zeigt für jeden Wert von Hext 

die Messung der Resonanzfrequenz an Pol (gestrichelte Linie, obere x-Achse) und Äquator 

(durchgezogene Linie, untere x-Achse). Die x-Achsen sind im Verhältnis von 2:1 skaliert. Damit 

ist die Kopplungsbedingung erfüllt, wenn beide Resonanzpeaks übereinander liegen. Dies 

trifft für Hext = 165 Oe am besten zu. Zur Übersichtlichkeit sind die Messungen für verschiedenes 

Hext um einen Offset nach oben verschoben. Die seitlich angefügten frequenz- und 

ortsaufgelösten BLS-Messungen lassen eine Aussage über die Kopplungsstärke zu. Ein Mikrowellenstrom 

von νRF = 2, 6 GHz regt die Polmode bei α = 0 ◦ , 180 ◦ und 360 ◦ an. Das 

indirekt erzeugte Spinwellensignal in den Äquatorregionen (α = 90 ◦ , 270 ◦ ) bei einer Frequenz 

von 5,2 GHz ist ein Maß für die Kopplungsstärke. Alle Intensitätsgraphen haben eine logarithmisch 

skalierte Intensitätsachse und sind auf die Polmode normiert. 

58


In den Intensitätsgraphen von Abb. 4.12 ist für jeden Wert des externen Magnetfeldes die 

Modenkopplungsstärke abzulesen. Durch das Oersted-Feld eines Mikrowellenstroms der Fre- 

quenz νRF = 2, 6 GHz wird nur die Poleigenmode angeregt. Folglich sind in den Intensi- 

tätsgraphen große Spinwellenintensitäten in den Polregionen (α = 0 ◦ , 180 ◦ , 360 ◦ ) bei einer 

BLS-Frequenz von 2,6 GHz zu erkennen. Die Spinwellen am Pol werden also direkt durch 

den Strom erzeugt. Ist die Poleigenmode mit der Äquatoreigenmode gekoppelt, dann wird die 

Äquatormode durch die Polmode ebenfalls angeregt und in den Äquatorregionen (α = 90 ◦ 

und 270 ◦ ) sind Spinwellen zu beobachten, deren Frequenz doppelt so groß ist wie die An- 

regungsfrequenz. Die Stärke der Modenkopplung ist also durch die Intensität der Spinwellen 

am Äquator mit Ω = 5, 2 GHz gegeben. Die Intensitätsgraphen in Abb. 4.12 sind von oben 

nach unten bei kleiner werdendem externem Magnetfeld aufgenommen. Für Hext = 210 Oe 

(oben links) ist ein recht schwaches Spinwellensignal mit einer Frequenz von 5,2 GHz im Ring 

erkennbar. Dies sind zum einen Spinwellen der höheren Harmonischen der Poleigenmode. 

Zum andern ist ein räumlich sehr breites Signal zu sehen, dass nicht am Pol lokalisiert ist und 

daher keine höhere Harmonische darstellt. Das Signal ist jedoch auch noch nicht am Äquator, 

sondern vielmehr in der Region um den Äquator herum lokalisiert. Die Polmode kann also 

noch nicht als mit der Äquatormode gekoppelt angesehen werden. Mit sinkendem äußerem 

Magnetfeld werden die Intensitäten der Spinwellen bei Ω = 5, 2 GHz jedoch immer größer und 

schärfer zum Äquator lokalisiert. Die Modenkopplung hat schließlich für Hext = 165 Oe (Mitte 

rechts) ihr Maximum erreicht. Vor allem bei α = 90 ◦ ist ein intensives und scharf am Äquator 

lokalisiertes Spinwellensignal erkennbar. Wird Hext noch weiter verringert, so wird das Äqua- 

torsignal schwächer. Für ein äußeres Magnetfeld von 120 Oe (unten links) ist die Äquatormode 

gänzlich verschwunden. Es ist nur noch ein kleines Signal der höheren Harmonischen am Pol 

bei α = 0 ◦ vorhanden. In den abgebildeten Intensitätsgraphen ist das Auftreten und Abklin- 

gen der Modenkopplung bei Veränderung des Magnetfelds somit deutlich sichtbar gemacht 

worden. 

Es sollte erwähnt werden, dass die vorliegende Messung Unterschiede in den Anregungsfre- 

quenzen und in der gemessenen Spinwellenintensität am Äquator gegenüber anderen Mes- 

sungen dieser Arbeit aufweist. Auch die Kopplungsbedingung wird für einen leicht unterschied- 

lichen Magnetfeldwert von 165 Oe (gegenüber den üblichen 150 Oe) erreicht. Dies liegt zum 

einen daran, dass die Messungen nicht zur gleichen Zeit durchgeführt worden sind. Ein Ab- 

und Wiederaufbau der Probe auf der BLS bedeutet aber auch immer, dass sich die Eigen- 

schaften der Probe verändert haben können. Trotz achtsamer Handhabung ist nicht auszu- 

schließen, dass die Ringe modifiziert werden. Auch die Kalibrierung der Spulen, durch die 

das äußere Magnetfeld eingestellt werden kann, verändert sich von Zeit zu Zeit. Ein Fehler 

von ∆Hext ≈ 10 Oe zwischen zwei Kalibrierungen ist vorstellbar. Eine längere Zeit auf der 

Messapparatur bedeutet für die Probe auch, dass sie Luft ausgesetzt ist. Dies bewirkt eine 

59

Modenkopplung in Ringen unterschiedlicher Größe 

Verschlechterung der magnetischen Eigenschaften der Probe durch Oxidation und dürfte der 

Hauptgrund für die geringen Spinwellenintensitäten sein. 

Durch die geringen Intensitäten treten zusätzliche Störeffekte auf, die bei großen BLS-Intensi- 

täten nicht auffallen. So treten in den Intensitätsgraphen in periodischen Frequenzabständen 

Spinwellensignale auf, die sich für eine Frequenz über den gesamten Ring erstrecken. Das ist 

z.B. für Ω = 3, 4 GHz der Fall. Es handelt sich hierbei um höhere longitudinale Moden des 

Festkörperlasers, welcher die Lichtquelle für die BLS-Streuung an Magnonen ist. Weiterhin 

werden in den Graphen Spinwellensignale in Halbkreisform beobachtet, die sich jeweils von 

einem Pol über einen Äquator zum nächsten Pol erstrecken. Dies sind thermisch angeregte 

Spinwellen im Ring. Ihre Behandlung ist in Ref. [10] durchgeführt worden. 

Im mittleren Teil der Abb. 4.12 sind für jeden Wert des äußeren Magnetfeldes die Messung 

der Resonanzfrequenz am Pol durch eine gestrichelte Linie und am Äquator durch eine durch- 

gezogene Linie dargestellt. Es ist jeweils die mittels BLS gemessene Spinwellenintensität als 

Funktion der angelegten Mikrowellenfrequenz dargestellt. Dabei beziehen sich die Messun- 

gen am Pol auf die x-Achse am oberen Rand des Graphen, während die untere x-Achse für 

die Messung am Äquator gültig ist. Letztere ist jedoch durch zwei geteilt. Durch diese Art der 

Skalierung ist es einfacher, die Kopplungsbedingung darzustellen. Ist die Resonanzfrequenz 

am Äquator nämlich doppelt so groß wie die des Pols, d.h. ist die Kopplungsbedingung erfüllt, 

so liegen beide Resonanzpeaks genau übereinander. 

Ein Vergleich der Messungen der Resonanzfrequenzen an Pol und Äquator mit der Intensität 

der am Äquator detektierten Spinwellen aus den Intensitätsgraphen zeigt nun gute Überein- 

stimmung mit den Erwartungen. Während für Hext = 210 Oe entsprechend dem geringen 

Spinwellensignal am Äquator eine große Differenz beider Resonanzen besteht, liegt die halbe 

Resonanzfrequenz des Äquators für Hext = 165 Oe nahe der Resonanz am Pol, verbunden 

mit großen Intensitäten im Resonanzfall. Zwar weist die Resonanz am Pol für 150 Oe eine 

größere Intensität auf, die Äquatormode kann dort jedoch weniger effizient angeregt werden. 

Es ist auch zu bemerken, dass das Frequenzverhältnis von 2:1 nie exakt erreicht wird. 

Zusammenfassend kann bestätigt werden, was im vorherigen Kapitel behauptet wurde. Das 

Erreichen eines 2:1-Verhältnisses von der Resonanzfrequenz am Äquator zu der am Pol ist 

notwendig, um die indirekte Anregung der Äquatormode beobachten zu können. 

4.4 Modenkopplung in Ringen unterschiedlicher Größe 

Die Modenkopplung zwischen der Poleigenmode und der Äquatoreigenmode kann nur unter 

der Voraussetzung beobachtet werden, dass die Kopplungsbedingung erfüllt ist. Dazu müssen 

60


die Resonanzfrequenz am Äquator und die am Pol ein Frequenzverhältnis von 2:1 aufweisen. 

Letzteres kann durch das von außen angelegte Magnetfeld Hext beeinflusst werden. Das be- 

deutet, dass die Kopplungsbedingung für jeden Ring mit einer Magnetisierungskonfiguration 

im Onion-Zustand erreicht werden kann. Für Ringe unterschiedlicher Größe müssen dann 

lediglich andere Feldwerte gewählt werden. In Kap. 4.2.1 zeigen die Messungen der Reso- 

nanzfrequenz bei unterschiedlichen Feldwerten bereits unterschiedlich große Intensitäten von 

Spinwellen im Resonanzfall. Ins Teilchenbild übersetzt bedeutet dies, dass sich dadurch die 

Zustandsdichten für Magnonen an Pol und Äquator verändern. Es kann also vermutet wer- 

den, dass Ringe verschiedener Größe sich in ihrer Eignung bezüglich der Beobachtung von 

Modenkopplung unterscheiden. In diesem Kapitel wird untersucht, welche Parameter eines 

Ringes dabei eine Rolle spielen und wie damit die Modenkopplung optimiert werden kann. 

Zwei wichtige Parameter eines Ringes sind sein Außendurchmesser D und die Ringbreite 

w, welche durch die Differenz zwischen Außen- und Innendurchmesser gegeben ist (siehe 

Abb. 4.13 links unten). Für die Untersuchungen werden Ringe mit Durchmessern von D = 1, 2 

und 3 µm herangezogen. Für jeden Wert von D existieren Ringbreiten von w = 100, 200 und 

400 nm. Die Vorgehensweise ist für jeden Ring immer gleich. Analog zu den Beschreibun- 

gen in Kap. 4.2 wird in Messungen der Resonanzfrequenz zunächst die Kopplungsbedingung 

gesucht. Dazu wird der Wert des externen Magnetfeldes Hext gesucht, bei dem die Reso- 

nanzfrequenzen am Äquator und am Pol ein Verhältnis von 2:1 aufweisen. Anschließend wird 

alleine die Poleigenmode des jeweiligen Ringes durch einen Mikrowellenstrom angeregt, die 

Verteilung der Spinwellenintensität entlang des Ringumfangs durch frequenz- und ortsaufge- 

löste BLS-Mikroskopie ermittelt und in einem Intensitätsgraphen dargestellt. Die Ergebnisse 

für alle untersuchten Ringe zeigt Abb. 4.13. 

Die durch den Mikrowellenstrom erzeugten Spinwellen der Poleigenmode sind klar zu erken- 

nen. Sie sind in den Polregionen bei α = 0 ◦ , 180 ◦ und 360 ◦ lokalisiert und ihre Frequenzen 

liegen je nach Ringgröße zwischen 2,4 und 3,6 GHz. Um die Beobachtung der Modenkopp- 

lung vergleichbarer zu machen, sind alle Intensitätsgraphen in Abb. 4.13 so skaliert, dass die 

Poleigenmode immer dieselbe Intensität hat. So ist es möglich, Unterschiede in der Kopp- 

lungsstärke zu untersuchen, indem man die Intensitäten der indirekt angeregten Äquatormode 

miteinander vergleicht. Die logarithmische Skalierung der Intensitätsachse ist zu beachten. 

Vergleicht man nun Ringe mit gleicher Breite w aber unterschiedlichem Durchmesser D, so 

sind keine großen Unterschiede in der Intensität des Äquatorsignals zu erkennen. Die Mo- 

denkopplung ist somit für gleiche Ringbreiten ähnlich stark. Nur die Form der angeregten 

Eigenmoden ändert sich. Dies ist sowohl bei den direkt angeregten Polmoden als auch bei 

den Äquatormoden zu sehen. Mit zunehmendem Durchmesser eines Ringes verringert sich 

die azimuthale Breite der Eigenmode, die Spinwellen werden stärker lokalisiert. Das fällt be- 

61


Abbildung 4.13 Frequenz- und ortsabhängige Messung der Spinwellenintensität von 

Permalloy-Ringen verschiedener Durchmesser D und Ringbreiten w. Mit größerer Ringbreite 

steigt auch die Intensität des indirekt angeregten Äquatorsignals. Eine Abhängigkeit der 

Kopplungsstärke vom Ringdurchmesser ist nicht zu erkennen. Die azimuthalen Breiten der Eigenmoden 

nehmen jedoch mit zunehmendem D ab. Analog zu Abb. 4.7 wird bei der Messung 

an jedem Punkt entlang des Ringumfangs ein BLS-Spektrum aufgenommen. Man beachte die 

logarithmische Skalierung der Intensitätsachse. Hohe Intensitäten sind rot, geringe Intensitäten 

sind schwarz dargestellt. Ein Mikrowellenstrom regt in jedem Ring nur die Poleigenmode 

resonant an. Diese liegt bei kleineren Spinwellenfrequenzen, je nach Ringdurchmesser zwischen 

2,4 und 3,6 GHz. Die Graphen sind derart skaliert, dass die Polmode in allen Ringen 

die gleiche Intensität aufweist. Die durch die Modenkopplung indirekt angeregte Äquatormode 

ist jeweils bei der doppelten Frequenz zu finden. Für jeden Ring ist die Kopplungsbedingung 

erfüllt. Bei den schwach sichtbaren Parabeln, die sich jeweils von einem Polsignal über ein 

Äquatorsignal zum nächsten Polsignal ziehen, handelt es sich um thermisch angeregte Spinwellen. 

Sie existieren überall im Ring, wobei ihre Frequenz dem internen Feld aus Abb. 4.4 

angepasst ist. 

62


sonders beim Übergang von einem Ring mit D = 1 µm zu D = 2 µm auf. Da dieser Effekt 

jedoch bei den direkt und den indirekt angeregten Moden auftritt, ist ein Zusammenhang mit 

der Modenkopplung auszuschließen. Der Ringdurchmesser hat also auf die Stärke der Mo- 

denkopplung keinen Einfluss. 

Die Abweichungen der Spinwellensignale bei Ringen unterschiedlicher Ringbreite sind offen- 

sichtlicher. Bei Ringen mit großer Breite w = 400 nm ist ein klares Spinwellensignal in den 

Äquatorregionen (α = 90 ◦ , 270 ◦ ) auszumachen. Die Frequenzen dieser Spinwellen liegen bei 

5 GHz und sind doppelt so groß wie die Frequenzen der direkt angeregten Poleigenmoden. 

Mit kleiner werdender Ringbreite nimmt die Intensität der Äquatormode ab. Für w = 200 nm 

sind noch eindeutige Signale im Frequenzintervall ν = 5 −6 GHz erkennbar. Bei der kleinsten 

Ringbreite ist die Äquatormode jedoch ganz verschwunden. Die Modenkopplung hängt also 

stark von der Breite w eines Ringes ab. Die Stärke der Kopplung steigt mit der Ringbreite. 

Um diesen Effekt verstehen zu können, sind in Abb. 4.14 die Messungen für Ringe mit dem- 

selben Durchmesser D = 3 µm aber unterschiedlicher Ringbreite in der linken Spalte zusam- 

mengefasst. Die Schaubilder in der rechten Spalte zeigen die zugehörigen Messungen der 

Resonanzfrequenz an den Pol- und Äquatorregionen für ein äußeres Magnetfeld Hext, das 

der Kopplungsbedingung genügt. Mit zunehmender Ringbreite steigt die Spinwellenintensität 

bei der Resonanzfrequenz. Dies ist sowohl für die Poleigenmode als auch für die am Äquator 

lokalisierte Eigenmode der Fall, wobei am Äquator ein ungleich stärkerer Anstieg gemessen 

wird. Im Teilchenbild betrachtet steigt also insgesamt die Zustandsdichte für Magnonen am 

Pol und am Äquator. Der Anstieg der Kopplungsstärke ist damit konsistent. 

Der Anstieg der Spinwellenintensität im Resonanzfall für größere Ringbreiten kann bei der Be- 

trachtung der für die Kopplung nötigen externen Magnetfelder verstanden werden. Offenbar 

genügt zum Einstellen der Kopplungsbedingung bei großer Ringbreite ein kleineres Magnet- 

feld von 150 Oe, währen für den schmalsten Ring noch 350 Oe notwendig waren. Bei der 

Betrachtung des effektiven Magnetfeldes (siehe Abb. 4.15) wird klar, dass das externe Ma- 

gnetfeld bei einer konstanten Amplitude des dynamischen Oerstedfeldes eine entscheidende 

Rolle für die Intensität der erzeugten Spinwelle spielt. Stellt man sich die vereinfachte Situation 

vor, dass sich das gesamte Feld nur aus externem und dynamischem Feld zusammensetzt, so 

bildet die Vektorsumme von Hext und hdyn das effektive Feld. Das vom Mikrowellenstrom ver- 

ursachte dynamische Oerstedfeld hdyn bewirkt dann eine periodische Änderung der Richtung 

des effektiven Feldes Heff und regt dadurch die Magnetisierung zum Oszillieren an. Im Fall 

eines kleinen äußeren Magnetfeldes (Abb. 4.15 links) hat hdyn aber eine größere Auswirkung 

auf den Winkel α zwischen M und Heff als bei einem großen externen Feld (Abb. 4.15 rechts). 

Für großes Hext wird α kleiner und somit die Amplitude der Präzession kleiner. Folglich ver- 

ringert sich auch die Intensität der Spinwelle. 

63


Abbildung 4.14 Zur Abhängigkeit der Modenkopplung von der Ringbreite bei einem Ring mit 

3 µm Durchmesser. Zum Vergleich sind in der linken Spalte die Ergebnisse für D = 3 µm und 

w = 100, 200 und 400 nm (von oben nach unten) aus Abb. 4.13 nochmals aufgeführt. Die 

rechte Spalte zeigt die entsprechenden Ergebnisse der Messungen der Resonanzfrequenz 

bei direkter (!) Anregung von Pol- und Äquatormode bei erfüllter Kopplungsbedingung. Die 

Intensitäten von Pol- und Äquatormode bei der Resonanzfrequenz steigen mit der Ringbreite. 

Dies entspricht der Tatsache, dass die Kopplungsbedingung für kleinere Werte von Hext erfüllt 

wird, wenn die Ringbreite zunimmt. 

Die große Abhängigkeit der Modenkopplungsstärke von der Breite eines Ringes kann sich so- 

mit durch elementare Überlegungen erklären lassen. Um den Effekt der Modenkopplung so 

groß wie möglich zu machen, müsste man ihn in noch breiteren Ringen realisieren. Dann wür- 

de die Kopplungsbedingung für noch kleinere Werte von Hext erreicht und die Zustandsdichte 

in den Pol- und Äquatorregionen noch höher. Diesen Gedanken ist jedoch dadurch eine Gren- 

ze gesetzt, dass sich zur Beobachtung der Modenkopplung die Magnetisierung des Rings im 

Onion-Zustand befinden muss. Verringert man jedoch das externe Magnetfeld, so besteht die 

Möglichkeit, dass durch die nun relativ starken dynamischen Felder ein Umschaltprozess ein- 

setzt. Die Magnetisierung des Rings könnte aus dem Onion-Zustand in den Vortex-Zustand 

übergehen. Dann verschwinden die Spinwellentröge an den Polen, welche die Grundlage für 

die Existenz der Poleigenmoden waren. Eine Modenkopplung ist dann nicht mehr möglich. Für 

64

Änderung der Zerfallsdauer von Spinwellen bei Modenkopplung 

Abbildung 4.15 Zur Erklärung der Intensitätsdifferenzen bei variierender Ringbreite. Das 

gleichbleibende dynamische Oerstedfeld hdyn trägt mit unterschiedlicher Gewichtung zum effektiven 

Magnetfeld Heff bei, wenn sich die Größe des äußeren Magnetfeldes Hext ändert. 

Insbesondere ändert sich der Winkel zwischen Heff und Hext. Dadurch ändert sich auch die 

Amplitude der Oszillation des Magnetisierungsvektors M um Heff, da der Betrag von M immer 

gleich bleibt. Für ein kleineres externes Feld können also größere Spinwellenamplituden 

angeregt werden. 

den Ring mit D = 1 µm und w = 400 nm war dies in den vorliegenden Messungen der Fall. 

Folglich fehlt dieser Ring in Abb. 4.13. Man sieht daran, dass die in den vorherigen Kapiteln 

gewählten Parameter eines Durchmessers von 3 µm und einer Breite von 400 nm bereits nah 

an den für die Modenkopplung optimalen Parametern liegen. 

4.5 Änderung der Zerfallsdauer von Spinwellen bei Moden- 

kopplung 

Zur Beobachtung der Modenkopplung ist die gezielte Anregung von Spinwellen unumgänglich. 

Im Rahmen dieser Arbeit wird dies durch einen Mikrowellenstrom erreicht, dessen dynami- 

sches Oersted-Feld als Quelle der Spinwellen in den Permalloy-Ringen dient. Die Mikrowellen 

werden von einem Synthesizer geliefert. Ein solcher Synthesizer besitzt mehrere interne Refe- 

renzoszillatoren, die als Frequenznormal dienen. Zur Ausgabe eines Stromes von bestimmter 

Frequenz mischt der Synthesizer die gewünschte Frequenz aus seinen Frequenznormalen. 

Damit kann ein breiter Frequenzbereich abgedeckt werden. Der im Experiment vorhandene 

Mikrowellensynthesizer macht eine Anregung von Spinwellen zwischen 2 und 18 GHz mit ei- 

ner Schrittweite von einigen Hertz prinzipiell möglich. 

Die Verwendung eines Synthesizers kann zu Nachteilen führen, wenn durch das Mischen ver- 

65


schiedener Frequenzen sogenannte Obertöne auftreten. In diesem Fall werden zusätzlich zur 

gewünschten Mikrowellenfrequenz νRF auch die höheren Harmonischen ausgegeben, wel- 

che die Frequenzen n · νRF besitzen (n = 2, 3,...). Zur Untersuchung der Modenkopplung 

in magnetischen Ringen hätte insbesondere die Erzeugung einer zweiten Harmonischen eine 

verheerende Wirkung. Durch die Kopplung der Poleigenmode mit der Äquatoreigenmode in ei- 

nem Ring im Onion-Zustand kann eine indirekte Anregung von Spinwellen am Äquator nämlich 

genau dann stattfinden, wenn die Resonanzfrequenzen am Äquator und am Pol ein Verhält- 

nis von 2:1 aufweisen. Bei einer resonanten Anregung der Polmode mit der Frequenz νPol ist 

dann die Resonanzfrequenz des Äquators ν Äq = 2 · νPol und es werden durch Drei-Magnon- 

Streuprozesse Spinwellen der doppelten Anregungsfrequenz am Äquator erzeugt. Gibt der 

Synthesizer jedoch neben der gewünschten Frequenz νRF auch eine zweite Harmonische mit 

ν = 2 · νRF aus, so kann nicht mehr unterschieden werden, ob die Anregung der Äquatormo- 

de durch die Kopplung von Pol- und Äquatormode verursacht wird oder ob hier vielmehr eine 

direkte Anregung der Äquatoreigenmode durch die zweite Harmonische des Synthesizers vor- 

liegt. Bei der Verwendung eines Mikrowellenverstärkers ist diese Gefahr ebenfalls gegeben. 

Als Nebeneffekt der Verstärkung eines Mikrowellenstroms mit der Frequenz νRF kann ein zu- 

sätzliches Mikrowellensignal mit der Frequenz 2 · νRF durch den Verstärker erzeugt werden. 

Die Überprüfung des Mikrowellensynthesizers hinsichtlich seines Ausgangsspektrums ist mit 

einem Netzwerkanalysator möglich. Es zeigt sich, dass der im Versuchsaufbau verwende- 

te Synthesizer höhere Harmonische im Ausgangsprofil aufweist. Diese sind in ihrer Intensität 

schwach. Selbst die Überprüfung des Mikrowellenspektrums am Ausgang des Mikrowellenver- 

stärkers (siehe Versuchsaufbau Abb. 3.7) zeigt, dass zwar neben der eigentlichen Mikrowel- 

lenfrequenz auch höhere Harmonische die Probe erreichen. Jedoch belegen die Messungen 

mit dem Netzwerkanalysator auch, dass die Intensität dieser höheren Ordnungen so klein ist, 

dass dieses nichtlineare Signal des Mikrowellengenerators niemals die alleinige Ursache des 

am Äquator erzeugten Spinwellensignals sein kann. 

Dennoch werden durch diese Erkenntnisse der statischen Brillouin-Lichtstreumikroskopie ih- 

re Grenzen aufgewiesen. Allein durch die Beobachtung des indirekt erzeugten Spinwellensi- 

gnals am Äquator ist kein zweifelsfreier Beleg der Modenkopplung gewonnen. An dieser Stelle 

hilft die Einbeziehung der zeitaufgelösten Brillouin-Lichtstreumikroskopie in die Experimente 

weiter. Ihr Prinzip und der Versuchsaufbau sind in Kap. 3.3 beschrieben. Anhand der zeitauf- 

gelösten BLS kann das Zeitverhalten der Eigenmoden am Pol und am Äquator ermittelt und 

verglichen werden. Unterschiede in der Zerfallskonstante von direkt angeregter und indirekt 

angeregter Äquatoreigenmode beweisen dann die Existenz der Modenkopplung in magneti- 

schen Ringen. 

Zeitaufgelöste Brillouin-Lichtstreumikroskopie, also die frequenz-, orts- und zeitaufgelöste Er- 

66


Abbildung 4.16 Zur zeitaufgelösten Messung der Spinwellenintensität. In einem Ring mit 

3 µm Durchmesser und 400 nm Ringbreite werden durch Mikrowellenpulse mit 90 ns Pulsdauer 

Spinwellen angeregt. Bei einem äußeren Magnetfeld Hext = 150 Oe und einer Mikrowellenfrequenz 

von 2,3 GHz wird dabei die Poleigenmode im Ring resonant angeregt. a) Die 

mittels zeitaufgelöster Brillouin-Lichtstreumikroskopie in der Polregion gemessene Spinwellenintensität 

wird als Funktion der Zeit aufgetragen. Gemittelt über 2000 BLS-Spektren ist ein 

deutlicher Spinwellenpuls zu erkennen, der ebenfalls eine Zeitdauer von 90 ns aufweist. b) 

Fallende Flanke des Spinwellenpulses aus a). Mit dem Ende des Mikrowellenpulses fällt auch 

die Spinwellenintensität rapide ab. Nach t = 120 ns ist der Abfall der Intensität exponentiell. 

Durch die logarithmische Skalierung des Graphen ergibt sich eine Gerade mit negativer 

Steigung. Diese ist proportional zur reziproken Zerfallskonstante τ. 

mittlung der Spinwellenintensität, ermöglicht die Messung des zeitlichen Verhaltens einer Ei- 

genmode in einem Permalloy-Ring. Fokussiert man den Laserstrahl der BLS-Apparatur zum 

Beispiel in die Polregion des Ringes und integriert man über die Spinwellenintensität, die in 

einem Frequenzintervall um die Resonanzfrequenz herum gemessen worden ist, so kann man 

die Intensität der Poleigenmode als Funktion der Zeit in einem Diagramm abbilden. Eine sol- 

che Messung ist beispielhaft in Abb. 4.16 dargestellt. 

Hierbei handelt es sich um das Zeitverhalten der Poleigenmode in einem Ring mit dem Durch- 

messer D = 3µm und einer Ringbreite w = 400 nm. Das externe Magnetfeld beträgt Hext = 

150 Oe. Die Spinwellen werden durch einen Mikrowellenpuls mit 90 ns Pulsdauer angeregt. 

Eine Frequenz von νRF = 2, 3 GHz ist eingestellt. Die gepulste Anregung liefert zum einen die 

benötigte Zeitreferenz, weil die Zeit eines Ereignisses, wie z.B. die Detektion eines inelastisch 

gestreuten Photons, jeweils relativ zum Anfang eines Pulses gegeben ist. Zum andern wird die 

wiederholte Anregung durch Mikrowellenpulse dazu benötigt, den geringen Streuquerschnitt 

der BLS zu kompensieren. Im Laufe einer Messung muss somit über einige Millionen von Pul- 

sen gemittelt werden. Schon allein die Aufnahme eines BLS-Spektrums, d.h. das einmalige 

Scannen über den gewünschten Frequenzbereich, dauert ca. eine Millisekunde und bedarf 

daher zehntausender Pulse. Die Darstellung des Pulsverlaufs in Abb. 4.16 ist das Ergebnis 

einer Summation über 2, 5 · 10 9 Spinwellenpulse. In Abb. 4.16a ist deutlich zu sehen, dass 

67


die Spinwellenintensität instantan mit dem Mikrowellenstrom ansteigt und für die Dauer des 

Mikrowellenpulses nahezu konstant bleibt. Kleine Oszillationen um den Maximalwert sind er- 

kennbar, die aufgrund der Mittelung über viele Pulse eine Eigenschaft der Mikrowellenpulse 

sein müssen. Da der Pulsgenerator nach eingehender Prüfung Pulse ohne Oszillationen er- 

zeugt, scheinen die Oszillationen vom Mikrowellensynthesizer verursacht zu sein. Die genaue 

Ursache dieses überlagerten Störsignals konnte bislang jedoch nicht ermittelt werden. Mit dem 

Abfallen des Mikrowellenpulses stoppt die Anregung von Spinwellen. Folglich sinkt die Spin- 

wellenintensität wieder auf ihren ursprünglichen Wert vor der Anregung zurück. Dieser Zerfall 

der Spinwellen nach dem Ende des Mikrowellenpulses verläuft exponentiell, wie eine Vergrö- 

ßerung der abfallenden Flanke des Pulses in Abb. 4.16 zeigt. Aufgrund der logarithmischen 

Skalierung bildet die Spinwellenintensität für Zeiten t > 120 ns eine Gerade mit negativer 

Steigung, wenn man einen Zerfall gemäß 

t 

− 

I(t) = I0 · e τ (4.3) 

annimmt. τ stellt hier die Zerfallskonstante dar. Sie ist die Zeit, nach der die Spinwellenintensi- 

tät auf den 1/e-ten Teil ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist. Die Zeitkonstante ist somit 

ein Maß für die Lebensdauer einer Spinwellen-Eigenmode des Ringes. Es ist zu beachten, 

dass die Skalierungen in den Abbildungen dieses Kapitels logarithmisch zur Basis 10 gewählt 

sind, um die Intensitätsachse übersichtlicher zu machen. Die Auswertung der Daten und die 

Ermittlung der Zerfallskonstanten ist jedoch bei einer Skalierung bezüglich des natürlichen 

Logarithmus erfolgt. 

Im Folgenden werden nun die Zerfallszeiten der beiden Eigenmoden eines Ringes mit Magne- 

tisierungskonfiguration im Onion-Zustand gemessen und miteinander verglichen. Dabei wird 

die in den Polregionen lokalisierte Eigenmode durch einen Mikrowellenstrom direkt angeregt 

und der Verlauf der Spinwellenintensität mit der Zeit festgehalten. Gleichzeitig kann man aber 

auch bei direkter Anregung der Poleigenmode die dadurch indirekt angeregte Äquatoreigen- 

mode beobachten und deren zeitliches Verhalten analysieren. Das Ergebnis ist in Abb. 4.17a 

dargestellt. Die Polmode ist hierbei durch blaue Kreise, die Äquatormode durch rote Quadra- 

te gekennzeichnet. Analog zu Abb. 4.16 ist nur die abfallende Flanke des Spinwellenpulses 

abgebildet, um den Spinwellenzerfall besser sichtbar machen zu können. Die beiden Pulse 

weisen offensichtlich unterschiedlich große Maximalintensitäten auf. Dies liegt daran, dass die 

indirekte Anregung der Äquatormode durch die Kopplung mit der Polmode zustande kommt 

und daher wesentlich ineffizienter ist als die direkte Anregung durch einen Mikrowellenstrom. 

Zum besseren Vergleich der negativen Steigung am Ende der beiden Pulse sind diese auf 

ihr Intensitätsmaximum normiert. Das ist durch Multiplikation der Daten mit dem inversen In- 

tensitätsmaximum möglich, ohne die Information über die Zerfallskonstante zu verlieren. Mul- 

68


Abbildung 4.17 Vergleich des zeitlichen Verhaltens der indirekt angeregten Spinwellenintensität 

am Äquator mit dem direkt angeregten Spinwellensignal der Poleigenmode a) sowie der 

direkt angeregten Äquatoreigenmode b). Die Zerfallskonstante ist analog zu den Erklärungen 

in Abb. 4.16 und im Text ermittelt worden. Die Spinwellen der direkt angeregten Eigenmoden 

weisen das gleiche zeitliche Verhalten auf und differieren stark vom Zeitverhalten der indirekt 

angeregten Äquatormode, die mit τ = 28, 6 ns eine sehr viel größere Lebensdauer hat. 

Die Daten stammen von Messungen an einem Ring mit dem Durchmesser D = 3µm und 

einer Ringbreite w = 400 nm. Das externe Magnetfeld beträgt 150 Oe. Die direkte Anregung 

der Äquatormode wurde durch einen Mikrowellenstrom der Frequenz νRF = 4, 6 GHz erzielt. 

Die direkte Anregung der Poleigenmode bei νRF = 2, 3 GHz führt gleichzeitig zur indirekten 

Anregung der Äquatoreigenmode. 

tiplikation einer Funktion wie in Gl. 4.3 mit einem Faktor c ergibt nämlich bei logarithmischer 

Skalierung der y-Achse 

ln I(t) = ln 

c · I0 · e 

t 

− τ 

= ln (c · I0) + 

 

− 1 

 

· t 

τ 

und resultiert somit nur in einem zusätzlichen Offset. Die Steigung −1/τ bleibt unverändert. 

In Abb. 4.17 sind die Pulse der direkt angeregten Poleigenmode und der indirekt angeregten 

Äquatormode also von gleicher Intensität. Unmittelbar am Beginn der abfallenden Flanke ist 

das Verhalten beider Signale ebenfalls dasselbe. Entscheidende Unterschiede sind jedoch im 

Zeitintervall zwischen t = 118 ns und t = 133 ns erkennbar. Dieser Bereich ist in der Abbildung 

durch die beiden schwarzen, gestrichelten Linien gekennzeichnet. Man kann sagen, dass hier 

der Mikrowellenpuls gänzlich abgebaut ist und die restliche gemessene Spinwellenintensität 

lediglich durch die Lebensdauer der Eigenmoden zustande kommt. Folglich fällt die blaue Kur- 

ve der direkt angeregten Poleigenmode bei logarithmischer Skalierung mit einer Steigung von 

−0, 101±0, 005 1 

auf ihren ursprünglichen Wert der thermischen Spinwellenintensität zurück. 

ns 

Daraus resultiert eine Zerfallskonstante von τ = 9, 9 ± 0, 5 ns. Die rot dargestellte Spinwel- 

lenintensität der indirekt angeregten Äquatormode hat dagegen eine kleinere Steigung von 

−0, 035 ± 0, 006 1 

und weist somit eine größere Zerfallskonstante von τ = 28, 6 ± 4, 9 ns auf. 

ns 

(4.4) 

69


Dieser wesentlich größere Wert der Zerfallskonstante beinhaltet, dass die indirekt angeregte 

Äquatormode langlebiger ist als die Polmode. Dies ist konsistent mit den Überlegungen der 

Modenkopplung. Werden Spinwellen am Äquator durch die Existenz einer Spinwellenintensi- 

tät am Pol hervorgerufen, so ist die Quelle der äquatorialen Spinwellen nicht der Mikrowellen- 

strom selbst sondern vielmehr die Poleigenmode. Das Ende des Mikrowellenpulses ist also 

gleichbedeutend mit dem Versiegen der Spinwellenanregung am Pol, nicht aber der Spinwel- 

lenanregung am Äquator. Dadurch, dass am Pol immer noch ein Teil der Spinwellen existiert, 

werden am Äquator auch weiterhin Spinwellen erzeugt. Diese Anregung wird mit zunehmen- 

der Zeitdauer wegen des Zerfalls der Spinwellen in der Polregion schließlich auch abklingen. 

Der Einfluss auf die Gesamtlebensdauer der Äquatormode ist offensichtlich. 

Die längere Lebensdauer der Äquatoreigenmode relativ zur direkt angeregten Poleigenmo- 

de ist zwar durch das Bild der Kopplung beider Moden gut zu erklären. Jedoch ist immer 

noch nicht auszuschließen, dass die Äquatormode durch eine höhere Harmonische des Mi- 

krowellengenerators direkt angeregt worden ist. Die unterschiedlichen Lebensdauern von Pol- 

und Äquatormode müssen nämlich nicht durch die Kopplung bedingt sein, sondern könnten 

durchaus auch ringspezifisch sein. Daher wird im folgenden die Lebensdauer der am Äquator 

lokalisierten Mode für die beiden Fälle einer direkten Anregung durch den Mikrowellenstrom 

und der oben bereits untersuchten indirekten Anregung gemessen. Abb. 4.17b lässt einen 

Vergleich der gewonnenen Ergebnisse zu. Wie oben erwähnt, wird die indirekte Anregung der 

Äquatormode (rote Quadrate) bei einem externen Feld von Hext = 150 Oe und einer Mikro- 

wellenfrequenz von νRF = 2, 3 GHz über die Polmode erreicht. Die direkte Anregung (grüne 

Kreise) erfolgt beim selben Feldwert und einer Anregungsfrequenz von νRF = 4, 6 GHz. Die 

Pulslänge beträgt 90 ns. Die Zerfallskonstanten wurden wiederum aus der negativen Steigung 

der Geraden gewonnen, die bei logarithmischer Skalierung der Intensitätsachse im Zeitfenster 

zwischen den beiden gestrichelten Linien entsteht. In Abb. 4.17b wird klar, dass die Äquator- 

mode bei direkter und indirekter Anregung Unterschiede hinsichtlich ihres zeitlichen Verhaltens 

aufweist. Bei direkter Anregung von Spinwellen durch den Mikrowellenstrom wird eine Stei- 

gung von −0, 129 ±0, 004 1 

ermittelt. Dies ergibt eine Zerfallskonstante von τ = 7, 8 ±0, 2 ns. 

ns 

Im Vergleich zur oben bereits berechneten Zerfallskonstanten der indirekt angeregten Äquator- 

mode, τ = 28, 6 ± 4, 9 ns, läuft der Zerfall bei der direkten Anregung also wesentlich schneller 

ab. Tatsächlich liegt τ für die direkt angeregte Äquatormode in derselben Größenordnung wie 

im Fall der direkt angeregten Polmode. Ähnliche Zerfallskonstanten wurden bereits in Ref. [11] 

gemessen. Das bei der indirekten Anregung gemessene τ weicht von den übrigen Werten ab. 

Damit können höhere Harmonische des Mikrowellengenerators nicht der Grund für das Auf- 

treten indirekt angeregter Spinwellen am Äquator sein. Die Abweichung der Zerfallskonstante 

könnte hier nicht erklärt werden. Im Bild der Modenkopplung ist die Erklärung einfach. Bei der 

direkten Anregung der Äquatoreigenmode ist der Mikrowellenstrom die Quelle der Spinwellen. 

70


Endet der Mikrowellenpuls, so zerfällt auch die Äquatormode und ihr Verhalten ähnelt dem 

der direkt angeregten Polmode. Bei der indirekten Anregung über die Polmode sind die Spin- 

wellen am Pol jedoch die Quelle der Äquatoreigenmode und das Abklingen der Spinwellen ist 

nicht direkt durch das Ende des Mikrowellenpulses sondern vielmehr durch das (langsamere) 

Zerfallen der Poleigenmode bedingt. Das ist die Ursache der großen Lebensdauer der indirekt 

angeregten Äquatormode. 

Die Zerfallskonstanten der direkt angeregten Äquatormode und der Polmode sind ungefähr 

gleich. Wie in [11] vermutet, müsste τ für die Äquatormode jedoch noch kleiner sein, um den 

Abfall der Zerfallskonstanten mit zunehmender Eigenfrequenz einer Eigenmode reproduzie- 

ren zu können. Dies ist nicht der Fall. In [11] wurde vermutet, dass die Modenkopplung einen 

zusätzlichen Dissipationskanal für die Polmode darstellt, welcher für die Äquatormode nicht 

vorhanden ist. Dies würde die Lebensdauer der Polmode verringern und dazu beitragen, dass 

sich die Werte an Pol und Äquator ähneln. Die Ergebnisse in diesem Kapitel belegen, dass 

dies tatsächlich der Fall ist. Dass für die direkt angeregte Äquatormode durch die Moden- 

kopplung in umgekehrter Richtung kein Dissipationskanal gegeben ist, wurde außerdem in 

Kap. 4.2.3 gezeigt. 

71

Kapitel 5 

Zusammenfassung und Ausblick 

Im Rahmen dieser Arbeit wurde Modenkopplung als möglicher Dissipationsmechanismus von 

Spinwellen-Eigenmoden identifiziert. Dies wurde am Beispiel von mikroskopischen Permalloy- 

Ringen mit einer Magnetisierung im Onion-Zustand gezeigt. Dazu wurde gezielt die am Pol 

lokalisierte Eigenmode des Rings durch das dynamische Oersted-Feld eines Mikrowellen- 

stroms angeregt. Messungen mit Hilfe von Brillouin-Lichtstreumikroskopie zeigen, dass bei 

einer direkten Anregung von Spinwellen der Poleigenmode auch eine indirekte Anregung der 

am Äquator lokalisierten Eigenmode bei doppelter Frequenz auftritt. Das Beachtliche ist, dass 

die gekoppelten Eigenmoden zum einen unterschiedliche Frequenzen aufweisen und zum 

andern räumlich voneinander getrennt sind. Es handelt sich also um eine nichtlokale Moden- 

kopplung. 

Weiter wurde beobachtet, dass die Kopplung von Pol- und Äquatormode nicht immer beob- 

achtet werden kann. Vielmehr muss dazu die Kopplungsbedingung erfüllt sein, dass die Re- 

sonanzfrequenzen von Äquator und Pol ein Verhältnis von 2:1 besitzen. Messungen der Re- 

sonanzfrequenz bei verschiedenen äußeren Magnetfeldern belegen die Abhängigkeit des Re- 

sonanzfrequenzverhältnisses vom äußeren Magnetfeld. Folglich konnte das Erscheinen und 

Verschwinden der Modenkopplung bei Variation des äußeren Feldes durch frequenz- und orts- 

aufgelöste BLS-Mikroskopie dargestellt werden. Nachfolgend konnte gezeigt werden, dass die 

Stärke der Modenkopplung von der Breite w des Ringes, nicht aber von dessen Durchmesser 

D abhängt. 

Es wurde erklärt, dass Drei-Magnonen-Streuung als Mechanismus der Modenkopplung in Fra- 

ge kommt. Im Teilchenbild streuen dann zwei Magnonen der Poleigenmode unter Erzeugung 

eines Magnons der doppelten Frequenz, welches freie Zustände der Äquatoreigenmode be- 

setzen kann. Die Kopplungsbedingung konnte somit als Folge der Energieerhaltung während 

des Streuprozesses abgeleitet werden. 

72

Schließlich zeigte sich, dass zum endgültigen Nachweis der Existenz der Modenkopplung die 

Anwendung der neu entwickelten zeitaufgelösten Brillouin-Lichtstreumikroskopie erforderlich 

war. Einer detaillierten Erläuterung des Aufbaus und der Funktionsweise dieser Methode in 

Kapitel 3.3 folgte in Kapitel 4.5 die Darstellung der Anwendung im Experiment. Für die Äqua- 

toreigenmode wurde die Zerfallsdauer bei direkter Anregung durch einen Mikrowellenstrom 

mit der Zerfallsdauer bei indirekter Anregung über Modenkopplung verglichen. Offensichtliche 

Unterschiede in der Zerfallsdauer bewiesen letztlich, dass andere denkbare Anregungsquellen 

wie höhere Harmonische des Mikrowellenstroms ausgeschlossen werden können. 

Somit bestätigen die vorliegenden Ergebnisse die Beobachtungen aus [11]. Hier wurde im 

sonst linearen Verlauf der Zerfallsdauer von Spinwellen als Funktion der Spinwellenfrequenz 

ein Offset zwischen Spinwellen der Poleigenmode und Spinwellen der Äquatoreigenmode fest- 

gestellt. Die in [11] angestellten Vermutungen, es könne für die Poleigenmode ein zusätzlicher 

Zerfallskanal durch Modenkopplung existieren, erweist sich in der vorliegenden Arbeit als rich- 

tig. 

Aufgrund der guten Anwendbarkeit der zeitaufgelösten BLS-Mikroskopie auf das vorliegende 

magnetische System und anhand der Erkenntnisse dieser Arbeit liegt es nahe, die Abhän- 

gigkeit der Zerfallsdauer der Poleigenmode vom äußeren Magnetfeld zu untersuchen. Wenn 

das Magnetfeld über die Kopplungsbedingung hinweg variiert wird, müsste die Poleigenmo- 

de bei Erreichen der Modenkopplung schneller zerfallen und für Werte weit außerhalb der 

Kopplungsbedingung müsste der Zerfall langsamer vonstatten gehen. Experimente dieser Art 

wurden bereits durchgeführt und eine Änderung der Zerfallskonstante bei Modenkopplung 

festgestellt. Jedoch traten in den Messungen unerwartete Effekte auf, deren Ursprung nicht 

ganz geklärt ist und deren Behandlung den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde. 

Eine Untersuchung anderer magnetischer Strukturen auf eine eventuell auftretende Kopplung 

von Eigenmoden wäre denkbar. Das Auftreten einer Modenopplung ist wahrscheinlich, wenn in 

einer Struktur mehrere Eigenmoden gleichzeitig existieren. Diese werden jedoch nicht immer 

räumlich voneinander getrennt sein. 

Die Entwicklung des Brillouin-Lichtstreumikroskops zu einem zeitaufgelösten Messverfahren 

erweitert den zugänglichen Parameterraum um eine Dimension. Der volle Frequenz-, Orts- 

und Zeitraum kann anhand des bestehenden Aufbaus mit hoher Genauigkeit und Stabilität 

untersucht werden. Die Mikro-BLS wird somit zu einer leistungsfähigen und vielseitigen Appa- 

ratur. Weitere Verbesserungen sind jedoch immer genauso möglich wie nötig. So würde die 

Ausstattung der Anlage mit einem Kerr-Mikroskop zusätzlich in-situ Informationen über die Do- 

mänenstruktur der betrachteten Proben liefern, so dass die ortsaufgelöst gemessenen Spek- 

tren eindeutig einer Spinwellen-Geometrie (siehe Kap. 2.3.2) zugeordnet werden könnten. Ein 

zusätzlicher Schritt für die mittlere Zukunft könnte durch die Verbesserung der Ortsauflösung 

73

getan werden. Ein Auflösungsvermögen in der Größenordnung von Nanometern durch die 

Ausnutzung von Plasmonen scheint nicht mehr ausgeschlossen. 

74

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Literaturverzeichnis 

[52] C. Sandweg, Spinwellen in Ni81Fe19-Nanostreifen mit kontrollierten Domänenwänden, 

Diplomarbeit, TU Kaiserslautern (2007). 

[53] A. Gurevich, G. Melkov, Magnetization Oscillations and Waves, CRC Press (1996). 

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Danksagung 

Zum Schluss möchte ich mich bei all denen bedanken, die mir zum Gelingen dieser Arbeit mit 

Rat oder Tat zur Seite gestanden haben: 

Prof. Dr. B. Hillebrands für die Möglichkeit, meine Diplomarbeit in einem hochinteressanten 

Themengebiet durchführen zu können, für die wissenschaftliche Förderung und Unterstützung 

sowie für das in mich gesetzte Vertrauen. 

Prof. Dr. H. C. Schneider für die freundliche Übernahme des Zweitgutachtens. 

Helmut Schultheiß für die Betreuung, die ständige Unterstützung und Förderung vor und 

während meiner Diplomarbeit. Es ist nicht selbstverständlich, einen herausragenden Wissen- 

schaftler und gleichzeitig einen immer loyalen und ehrlichen Menschen zur Seite zu haben. 

Ein besonderer Dank für die Einführung in LabView und für das große mir entgegengebrachte 

Vertrauen durch die Einbindung in das Projekt TFPDAS4. 

Christian Sandweg für die Herstellung der Probe und vor allem für die vielen gemeinsam 

besiegten Kilometer, welche auch die Zeit außerhalb der Diplomarbeit zu einer besonderen 

gemacht haben. 

Sebastian Hermsdörfer und Sebastian Schäfer und Georg Wolf für die stete Hilfe und Unter- 

stützung und für die geduldigen Antworten auf all die vielen Fragen. 

Dr. Britta Leven für die Betreuung und Unterstützung. 

Thomas Schneider und Andreas Beck für die Hilfe bei L AT E X. 

Christopher Rausch, Frederik Fohr, Katrin Vogt, Peter Clausen, Simon Trudel und allen ande- 

ren nicht namentlich erwähnten Mitgliedern der Arbeitsgruppe für die angenehme Zusammen- 

arbeit. 

Katja Obry für das Korrekturlesen dieser Arbeit. 

Anika-Maria Zimmermann für ihre Unterstützung und Geduld sowie für die Tatsache, immer 

für mich da zu sein. 

Meinen Eltern Christine und Franz Obry, die mich immer unterstützt haben und die mir dieses 

Studium letztendlich ermöglicht haben. 

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Untersuchung der Modenkopplung in magnetischen Ringen anhand ...

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