Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Statistische Deutung der Wellenfunktion, Unschärferelation Seite 20/47
Statistische Deutung der Wellenfunktion, Unschärferelation
Wenn man ein Teilchen als Wellenpaket sieht, wirft das folgende Probleme auf:
• Die Wellenfunktion kann komplexe und auch negative Werte annehmen. Wie hängen diese mit
realen Messergebnissen zusammen?
• Materiewellen weisen Dispersion auf, d.h. die Wellenpakete laufen mit der Zeit auseinander. Das
beobachtet man bei klassischen Teilchen nicht.
Grund für das Auseinanderlaufen: Aus der Impulsunschärfe (s.u.) folgt eine
Geschwindigkeitsunschärfe (bezüglich der Gruppengeschwindigkeit); und das heißt, das sich
nicht alle Bereiche des Wellenpakets gleich schnell bewegen, sondern manche Teilwellen
schneller als andere. Für das Wellenpaket bedeutet das, dass es auseinanderläuft, also flacher und
breiter wird.
• Wellen kann man beliebig teilen, z.B. im Strahlteiler. Dagegen erweisen sich manche Teilchen
wie z.B. Elektronen als unteilbar (auch wenn sie aus kleineren Teilchen aufgebaut sind –
existieren können sie nur als Ganzes).
Daher schlug Max Born eine statistische Deutung vor:
• Die Wellenfunktion stellt demnach nicht das Teilchen selbst dar. Sie beschreibt jedoch die
Bewegung des Teilchens in Raum und Zeit.
• Das Absolutquadrat der Wellenfunktion ist quasi die „Intensität“ der Teilchenwelle, es gibt also
die Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit an:
Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen zur Zeit t im Ortsintervall x
bis x d x ist:
W ( x , t ) d x =|ψ ( x , t )| 2 d x
bzw. (für 3D)
W ( x , t ) d x d y d z =|ψ ( x , t )| 2 d x d y d z
Damit die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 ist, muss die Wellenfunktion normierbar sein (d.h.
die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu finden, muss 1 sein – ansonsten dürfte das
Teilchen nicht existieren). Das bedeutet: der Koeffizient C der Wellenfunktion muss die
Bedingung der Quadrat-Integrabilität erfüllen, d.h. das Integral über |C| 2 von ∞ bis ∞ muss
endlich
∞
sein. Dann kann man nämlich die Normierung durchführen:
|ψ ( x , t )| 2 d x : = 1 .
∫∞
Als Breite ∆ x = a eines Wellenpakets definiert man üblicherweise den Bereich, in dem die
Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ ( x , 0)| 2 größer als 1 ⁄ e ihres Maximalwerts ist. Ist die
Amplitudenverteilung C ( k ) die Gauß-Verteilung (Glockenkurve, aus der Stochastik bekannt),
dann ergibt sich für |C ( k 1 , 2
)| 2 = C 0
⁄ e , dass ∆ k = k 1
k 2
= 1 ⁄ a ist – zusammengefasst also
∆ x⋅∆ k = a⋅1 ⁄ a = 1 . Wenn man für k die de-Broglie-Beziehung p x
= ħ k einsetzt, erhält
man ∆ x⋅∆ p x = ħ . Das ist das minimale Produkt, man kann zeigen, dass es für andere
Amplitudenverteilungen größer ist.
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