Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Anwendung: Potenzialkasten Seite 28/47
E 1
= ħ 2 ⁄(2 m )⋅π ⁄ a 2
und umgekehrt proportional zur Breite des Potenzialkastens (d.h. die Höhe
der Nullpunktsenergie wird umso größer, je enger der Potenzialkasten ist – das ergibt sich übrigens
auch aus der Heisenbergschen Unschärferelation mit ∆ x = a ):
E n
= ħ 2
2 m k 2 n
= n 2 ⋅E 1
.
Der Abstand benachbarter Energieeigenwerte wächst mit der Anregungsenergie. Im Spektrum
aufeinander folgende Wellenfunktionen (d.h. Energieeigenfunktionen) haben jeweils
unterschiedliche Parität, der Grundzustand hat positive Parität.
Definition: n heißt Quantenzahl
Potenzialkasten mit endlich hohen Wänden
Sind die Wände nicht unendlich hoch, dann können die Materiewellen ein Stück weit in die Wände
eindringen. Dadurch ändern sich die Wellenfunktionen, weil die Randbedingungen nicht mehr
gelten (an den Wänden ist die Amplitude eben nicht mehr 0, sie wird erst in der Wand drinnen 0),
und die Energien werden etwas kleiner (weil die Wellen nicht mehr auf die Breite des
Potenzialkastens beschränkt sind, sondern sich auf eine etwas größere Breite erstrecken) – aber sie
sind immer noch gequantelt.
Man erhält:
k⋅tan( k⋅a 2) = α bzw. k⋅tan ( k⋅a 2) = α ,
daraus können die Eigenwerte k n
und die Energieeigenwerte berechnet werden.
Energien E > E pot sind nicht mehr gequantelt, weil das Teilchen dann nicht mehr auf das
Raumgebiet zwischen den Potenzialbarrieren beschränkt ist. Die Transmissionswahrscheinlichkeit
(d.h. die Wahrscheinlichkeit, den Potenzialkasten zu überqueren) ist aber trotzdem nicht 1: hier gibt
es ebenfalls destruktive Interferenz mit den an den Wänden des Potenzialkastens reflektierten
Wellen. Zur Berechnung setzt man hier das Potenzial der Wände auf 0, und das Potenzial des
Potenzialkastens auf E pot , dann kann man mit den Formeln des Tunneleffekts rechnen – mit dem
Unterschied, dass es sich hier um eine „negative Potenzialbarriere“ mit der Höhe E pot handelt.
Ramsauer-Effekt: Wenn bei dem Stoß zwischen zwei Teilchen bei den abgelenkten de-Broglie-
Wellen destruktive Interferenz auftritt, ergibt sich ein Minimum des Streuquerschnitts.
Wird ein Teilchen auf ein Raumgebiet ∆ x ≤ a eingeschränkt, sind
seine Energiewerte gequantelt.
Anders gesagt: Ist die Energie des Teilchens niedriger als die Wände
des Potenzialkastens, dann bilden die Energiewerte ein diskretes
Spektrum, ansonsten ein Kontinuum.
Achtung: Bei diesen Rechnungen wurde immer mit Wellen gearbeitet, korrekter müsste man
aber Wellenpakete verwenden. Das ist aber in den meisten Fällen nur numerisch möglich.
Anwendung: Harmonischer Oszillator
Der harmonische Oszillator kommt in sehr vielen Bereichen der Physik vor. Er ist durch folgende
Eigenschaften gekennzeichnet:
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