Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

5. Selbstadjungierte und Adjungierte Operatoren Seite 47/47
Lemma 5.6: Die Wirkung der Leiteroperatoren auf die normierten Hermite-Funktionen
e n ist:
A e n = 2 n e n 1 , S e n = 2 n 2 e n 1 .
Beweisidee: Einsetzen der Eigenschaften der Leiteroperatoren ( S n = n 1 usw.) in die
Gleichung 〈 A n
, m
〉 = 〈 n
, S m
〉 mit n = m 1 , das Skalarprodukt durch die Norm
ausdrücken (mit ∥ n
∥= 〈 n
, n
〉 ), schließlich n
⁄∥ n
∥= e n einsetzen (d.h. die Norm
durch die normierten Hermite-Funktionen e n ausdrücken).
Definition: Ein Operator L heißt selbstadjungiert, wenn gilt:
1. D ( L ) = D ( L t ) (d.h. Definitionsmengen sind gleich)
2. L x = L t x ∀ x ∈ D ( L )
Theorem 5.9: Hat ein selbstadjungierter Operator Eigenwerte, dann sind diese reell. Eigenvektoren
zu verschiedenen Eigenwerten sind paarweise orthogonal.
Bemerkung: Daraus folgt, dass alle Eigenvektoren des Operators H paarweise orthogonal
sind, weil sie die Hermite-Funktionen sind.
Insgesamt tritt an die Stelle des symmetrischen Operators bei beschränkten Operatoren
das Konzept des selbstadjungierten Operators bei unbeschränkten Operatoren.
6. Die Hilbertraum-Struktur der Quantenmechanik
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