Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, Bra und Ket Seite 38/47
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, Bra und Ket
x 0
: = ħ ⁄( m ω) , p 0
: = ħ ⁄ x 0
= ħ m ω , ˆx = : x 0
⋅ ˆX , ˆp = : p 0
⋅ ˆP ;
[ ˆx , ˆp] = ˆx ˆp ˆp ˆx = x 0
ˆX p 0
ˆP p 0
ˆP x 0
ˆX = x 0
p 0
( ˆX ˆP ˆP ˆX ) = x 0
p 0
[ ˆX , ˆP] = ħ [ ˆX , ˆP
[...]
Definition: â : = 1 ⁄ 2 ( ˆX i ˆP ) Erzeugungsoperator (bzw. Aufsteigeoperator),
ˆ
a * : = 1 ⁄ 2 ( ˆX i ˆP ) Vernichtungsoperator (bzw. Absteigeoperator)
Für den Drehimpuls lauten die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
L ˆ + = Lˆ
x i Lˆ
y , ˆL - = Lˆ
x i Lˆ
y .
Es gilt:
[ L ˆ + , ˆL - ] =( Lˆ
2 x i Lˆ
x Lˆ
y i Lˆ
y Lˆ
x Lˆ
2 y ) ( Lˆ
2 x i Lˆ
x Lˆ
y i Lˆ
y Lˆ
x Lˆ
2 y ) =
= 2 i ( Lˆ
y Lˆ
x Lˆ
x Lˆ
y ) = 2 i (i ħ Lˆ
z ) = 2 ħ Lˆ
z ;
Analog:
[ Lˆ
z
, L ˆ
±
] =( Lˆ
z
Lˆ
x
± i Lˆ
z
Lˆ
y
) ( Lˆ
x
Lˆ
z
± i Lˆ
y
Lˆ
z
) =[ Lˆ
z
, Lˆ
x
] ∓ i [ Lˆ
y
, Lˆ
z
] =
= i ħ Lˆ
y
∓ i ( i ħ Lˆ
x
) = ħ ( i Lˆ
y
± Lˆ
x
) =±ħ L ˆ
± ;
[ L ˆ2
, L ˆ
±
] =( L ˆ2
Lˆ
ˆ
x
± i L 2
Lˆ
y
) ( Lˆ
x
ˆ L 2 ± i Lˆ
y
ˆ
) =[ L ˆ2
, Lˆ
x
] ± i [ L ˆ2
, Lˆ
y
] = 0 ;
ˆ
L 2 = L ˆ
+
ˆL -
ħ Lˆ
z
Lˆ
z2
;
Was bewirken Erzeugungs- und Vernichtungsoperator konkret?
Der Erzeugungs-/Vernichtungsoperator kommutiert mit ˆ
L2 (s.o.), daher hat er die gleiche
Eigenfunktion wie L ˆ2
:
ˆ
L 2 ( L ˆ
±
Y m l
) = L ˆ
±
( L ˆ2
Y m l
Y m l
) = a l
( L ˆ
±
Y m l
) .
Deshalb ändert er den Gesamtdrehimpuls nicht.
Der Eigenwert ist: a l
= ħ 2 l ( l 1) .
Aus der Normierung ergibt sich: 〈 L ˆ
±
Y m l
, L ˆ
±
Y m l
〉 = ħ 2 ( l ( l 1) m ( m ± 1)) , und daraus:
l ( l 1) ≥ m ( m 1) für m > 0
l ( l 1) ≥ m ( m 1) für m < 0 ,
also l ( l 1) ≥ m (|m| 1) bzw. |m|≤ l .
Definition: Gilt für das Skalarprodukt 〈φ , A
ˆ ψ〉 = 〈  φ , ψ〉 , dann heißen  und
A
ˆ zueinander adjungierte Operatoren.
Gilt  t =  , dann heißt der Operator hermitesch oder selbstadjungiert.
O t : =(O * ) T (d.h. komplex konjugiert und transponiert) bezeichnet man als
hermitesch konjugiert.
Bemerkung: Das Skalarprodukt wird auch geschrieben als (φ , ψ) oder auch 〈 φ|ψ〉 . Es ist
definiert durch:
〈φ , ψ〉 =∫d 3 ⃗r φ * ( ⃗r ) ψ ( ⃗r ) .
(Der Stern bedeutet, wie üblich, komplex konjugiert.)
[Lindner-Skript Kapitel 4.2: Eigenschaften von Skalarprodukten]
Beweis, dass Eigenfunktionen zu hermiteschen Operatoren orthogonal sind:
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