Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Mathematische Methoden der Quantenmechanik Seite 44/47
Mathematische Methoden der Quantenmechanik
1. Die Schrödingergleichung als Eigenwertproblem
In der Quantenmechanik spielen parzielle DGLs eine große Rolle:
• Schrödingergleichung (nichtrelativistisch, ohne Spin)
• Pauli-Gleichung (nichtrelativistisch, mit Spin)
• Klein-Gordon-Gleichung (relativistisch, ohne Spin)
• Dirac-Gleichung (relativistisch, mit Spin)
Mathematische Fragestellung: Wie repräsentiert man die Quantisierung?
Lemma 1.2: = ψ ( x , y , z ) e i E t ist genau dann Lösung der Schrödingergleichung,
wenn diese Wellengleichung Eigenfunktion zum Hamilton-Operator ist.
Die Energie E ist dann der Eigenwert, und der Hamilton-Operator stellt eine
lineare Abbildung dar.
2. Einige Begriffe aus der Funktionalanalysis
Definition: Ein Vektorraum (d.h. erfüllt die Vektorraum-Axiome) mit einem
Skalarprodukt (das eine lineare Abbildung ist) heißt Hilbertraum, falls er mit der
Norm ∥*∥ = 〈* , *〉 vollständig ist (d.h. ein Banachraum ist).
Definition: Eine lineare Abbildung A (ist die Abbildungsmatrix) heißt symmetrisch,
wenn gilt:
〈 A u , v〉 = 〈u , A v〉 .
[Theorem 2.3 Spektralsatz symmetrischer linearer Abbildungen]
Spektrale Darstellungssätze haben den Vorteil, dass man damit die analytischen Eigenschaften einer
Abbildung durch die Eigenwerte charakterisieren kann. Dabei stellt sich die Frage, wie die Situation
im Unendlichdimensionalen ist.
Definition: Eine lineare Abbildung, die einen Unterraum eines Hilbertraums auf seinen
zugehörigen Hilbertraum abgebildet wird, nennt man einen linearen Operator.
Ist der Unterraum der Hilbertraum selbst, dann handelt es sich um einen
Hilbertraum-Endomorphismus.
Bemerkung: Der Begriff symmetrisch ist für lineare Operatoren genauso definiert wie für
lineare Abbildungen. Handelt es sich bei dem linearen Operator nicht um einen
Hilbertraum-Endomorphismus, dann heißt er symmetrisch auf dem Unterraum.
Definition: Ein linearer Operator A heißt stetig oder beschränkt auf seinen Unterraum
(= Definitionsmenge des Operators), wenn es eine Zahl γ ∈ + gibt, so dass
∥A u∥ ≤ γ ∥u∥ gilt.
Bemerkung: Die Hintereinanderausführung zweier stetiger Operatoren ist wieder stetig. Es gilt
das Assoziativgesetz, d.h. Klammern können beliebig gesetzt werden: ( A B ) x = A ( B x )
.
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