Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Erwartungswerte und Operatoren Seite 31/47
〈E pot 〉 =e⋅∫∫∫ψ * ( ⃗r ) φ ( ⃗r ) ψ ( ⃗r )⋅d x d y d z .
Observablen und Operatoren
Definition: Eine physikalische Messgröße heißt Observable. Sie wird in der
Quantenmechanik durch eine hermitesche Matrix dargestellt.
Allgemein ist der Erwartungswert einer Observable A :
〈 A〉 =∫∫∫ψ * Â ψ⋅d x d y d z .
Definition: Durch 〈 A〉 =∫∫∫ψ *  ψ⋅d x d y d z wird  definiert.  heißt der
A zugeordnete Operator.
Ein Operator bewirkt eine bestimmte Operation an ψ . Welche Operation das ist, kann man aus der
Definition des Operators bestimmen, indem man den passenden Erwartungswert einsetzt. Es ergibt
sich (für den Ortsraum, d.h. die Wellenfunktionen sind Funktionen des Orts):
• Ortsoperator: ˆr = ⃗r
• Operator der kinetischen Energie:
Eˆ
kin
= ħ
2 m ∆
(ergibt sich aus:
〈E kin
〉 = ħ
∫∫∫ ψ * ∆ ψ d x d y d z ,
2 m
∆ ist der Laplace-Operator)
• Operator der potenziellen Energie:
ˆ E pot
= V ( ⃗r )
• Operator der Gesamtenergie:
Ĥ = Eˆ
kin ˆ
E pot
• Impulsoperator: ˆp = i ħ ∇
• Drehimpulsoperator: ˆL = i ħ ( ⃗r × ∇ )
z-Komponente des Drehimpulses: Lˆ
z =i ħ ∂⁄( ∂ )
• Einsoperator: ˆ1⋅ψ = ψ
• Nulloperator: ˆ0 ψ = 0
Bemerkung:
• Die Zeit ist in der Quantenmechanik kein Operator, sondern ein Parameter der
Wellenfunktion.
• Handelt es sich um ein freies Teilchen, dann spielt die potenzielle Energie keine Rolle,
man lässt sie weg.
Wenn man die ortsabhängigen Wellenfunktionen Fourier-transformiert, dann sind sie
impulsabhängig. Im Impulsraum gilt ˆp = ⃗p (analog zu ˆr = ⃗r im Ortsraum).
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