Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Anwendung: Harmonischer Oszillator Seite 29/47
• Potenzielle Energie E pot
= 1⁄2 D x 2
• Rücktreibende Kraft ⃗F = ⃗ ∇ E pot
=D x (Hookesches Gesetz)
• Schwingungsfrequenz ω = D ⁄ m
Die eindimensionale stationäre Schrödingergleichung mit der potenziellen Energie des
harmonischen Oszillators eingesetzt lautet:
d 2 π
d ξ 2 (C ξ 2 ) = 0
mit:
ξ = x⋅ m ω
ħ
, C = 2 E
ħ ω ;
Für C = 1 lautet die Lösung:
ψ 0
(ξ ) = A⋅e ξ2 ⁄ 2 ,
der allgemeine Lösungsansatz lautet:
ψ (ξ ) = H (ξ )⋅e ξ2 ⁄ 2 .
[Definition hermitesche DGL]
Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ein (d.h. entsprechend differenzieren):
d 2 H
2 ξ d H
d ξ 2 d ξ (C 1) H = 0 (*)
⇒ das ist eine Hermitesche Differenzialgleichung; ihre Lösungsfunktionen sind die
Hermiteschen Polynome H v
(ξ ) vom Grad v :
)
H v
(ξ ) =(1) v ⋅e ξ2 ⋅ dv
(e ξ2
d ξ v
( v ∈ , C 1 = 2 v )
Bei den Hermiteschen Polynomen muss man den Normierungsfaktor so wählen, dass gilt:
∞
∫
x =∞
|ψ ( x )| 2 = 1 .
Diese Hermitesche Polynome lassen sich durch endliche Potenzreihen darstellen:
v
H (ξ ) = ∑ a i ξ i
i = 0
Wenn man diese Potenzreihe in die DGL (*) einsetzt und einen Koeffizientenvergleich durchführt,
erhält man eine Rekursionsformel:
( i 2)⋅( i 1) a i 2 =[2 i (C 1)] a i .
Wegen a v 2 = 0 (ist der Fall, wenn die Potenzreihe bis v geht) erhält man v = 1 ⁄ 2 (C 1) , und
damit:
E ( v) =( v 1 2) ⋅ħ ω
Schwingungsenergie
v : Schwingungsquantenzahl
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