Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

4. Grundlagen der Quantenmechanik Seite 22/47
4. Grundlagen der Quantenmechanik
Die klassische Mechanik ist jedoch als Spezialfall (de-Broglie-Wellenlänge 0) in der
Quantenmechanik enthalten.
[...]
Voraussetzungen:
De-Broglie-Beziehung: ⃗p = ħ ⃗k (empirisch)
Energiesatz (empirisch)
Die Schrödinger-Gleichung
Ansatz:
∂
∂ t ψ = γ
∂2
∂ x ψ 2
Dort setzt man die Funktion der ebenen Welle ein: ψ ( x , t ) = C e i (k x ω t ) . Weil durch das
Differenzieren die Exponentialfunktion erhalten bleibt, drückt man sie wieder durch ψ ( x , t ) aus,
und erhält:
i ħ
∂
∂ t ψ ( x , t ) = ħ 2
∂ 2
2 m ∂ x ψ ( x , t ) .
2
Nimmt man die potenzielle Energie dazu, ergibt sich die Schrödingergleichung:
ħ 2
∂ 2
2 m ∂ x ψ E 2 pot
ψ = E ψ ( = i ħ
∂
∂ t ψ)
Eindimensionale stationäre (d.h. zeitunabhängige) Schrödinger-
Gleichung
Stationär bedeutet: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem Ort hängt nicht von der Zeit ab.
Analog:
i ħ
∂
ħ2
ψ ( ⃗r , t ) =
∂ t 2 m ∆ ψ ( ⃗r , t )
Dreidimensionale stationäre Schrödinger-Gleichung
Auf beiden Seiten der Gleichung stehen Energien. Man sieht also aus der linken Seite, dass die
Energie folgendermaßen geschrieben werden kann:
i ħ
∂
∂ t = E .
Auf der rechten Seite steht die kinetische Energie 1 ⁄ 2 m v 2 = 1 ⁄ 2 p 2 ⁄ m , aus dem Vergleich
ergibt sich:
ħ 2 ∆ = ( i ħ ∇ ) 2 , d.h. i ħ ∇ = p .
Energie und Impuls können also durch Operatoren ausgedrückt werden. Später wird sich zeigen,
dass man alle Messgrößen durch Operatoren ausdrücken kann.
Die Schrödinger-Gleichungen sind lineare homogene DGLs. Daher gilt das Superpositionsprinzip:
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