Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Anwendung: Das freie Teilchen Seite 24/47
ψ ( x , t ) =
k 0 ∆ k ⁄ 2
∫
k 0 ∆ k ⁄ 2
A ( k ) e i (k x ω t ) d k .
Die Ortsunschärfe hängt dabei von der anfänglichen Impulsunschärfe ab:
∆ x ≥ ħ ⁄(2 ∆ p x
) = 1⁄(2 ∆ k ) .
Die Geschwindigkeitsunschärfe kann man aus der Ortsunschärfe berechnen:
d (∆ x ( t ))⁄ d t = ∆ v ( t = 0) .
Anwendung: Potenzialstufe
Eine Potenzialstufe trennt zwei Gebiete mit unterschiedlichen, konstanten Potenzialen. Das könnte
in der klassischen Wellenoptik z.B. eine Grenzfläche zwischen Vakuum und Materie sein. Als
Ortsnullpunkt x = 0 wählt man die Potenzialgrenze, und setzt eines der Potenziale gleich 0. Dann
hat man folgende Situation:
• Gebiet I ( ∞ < x < 0 ): E pot = 0 , d.h. man hat die gleiche Situation wie vorher beim freien
Teilchen:
ψ I
( x ) = A⋅e i k x B⋅e i k x
• Gebiet II ( 0 ≤ x < ∞ ): E pot = const ≠ 0 ; es gilt für die stationäre Schrödinger-Gleichung:
ħ 2
∂ 2 ψ
2 m ∂ x E 2 pot
ψ ( x ) = E ψ ( x ) ;
ħ 2
∂ 2 ψ
2 m ∂ x ( E E ) ψ ( x ) = 0 ;
2 pot
∂ 2 ψ
∂ x 2 m ( E E 2
ħ 2 pot
) ψ ( x ) = 0 ;
α : = 2 m ( E pot
E )
ħ
Und somit gilt für die Lösung:
ψ II
( x ) = C⋅e α x D⋅e α x
;
∞ < x < ∞ ) stetig differenzierbar sein, damit die
Die gesamte Lösung muss überall (also
zweite Ableitung, die in der Schrödinger-Gleichung vorkommt, definiert ist.
An der Potenzialstufe muss die Wellenfunktion stetig sein:
ψ I
( x = 0) = ψ II
( x = 0) ⇒ A B = C D .
Ebenso die Ableitung:
[
d ψ i
d x ]0
Folgerungen:
=[ d ψ II
d x ]0
⇒ i k ( A B ) =α (C D )
• E < E pot : Hier ist α reell, und C muss 0 sein, weil sonst ψ II
( x ) für x → ∞ unendlich
würde – dann kann man es nicht mehr normieren. B und D kann man noch ausrechnen, in
Abhängigkeit von A :
B = i k α
i k α A und D =
2 i k
i k α A .
Der Bruchteil R der reflektierten Teilchen (der Reflexionskoeffizient) ist:
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