Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, Bra und Ket Seite 39/47
da Eigenwert
da selbstadjungiert
a 2
〈ψ 1
, ψ 2
〉 = 〈ψ 1
, Â ψ 2
〉 = 〈 Â ψ 1
, ψ 2
〉 = a * 2
〈ψ 1
, ψ 2
〉 .
Weil die beiden Eigenfunktionen ψ 1
, ψ 2 verschiedene Eigenwerte a 1
, a 2 haben, und diese
reell sind (d.h. Eigenwert und konjugierter Eigenwert sind gleich; da hermitesche Operatoren),
können sie nur 0 sein. Ein Skalarprodukt, das 0 ist, bedeutet Orthogonalität.
Rechenregeln für adjungierte Operatoren:
• ( Â ˆB ) t = Ât ˆB t
• ( Â ˆB ) t =
ˆB
t
Ât
• ( c Â) t = c * Ât
Definition: ˆN : = â t â heißt Besetzungszahl-Operator.
Eigenwertgleichung: Ĥ ψ ( x ) = E ψ ( x ) ; die Energie ist Eigenwert des Hamilton-Operators.
Man kann diese Gleichung auch abstrakt schreiben, indem man die Funktion ψ durch einen
abstrakten Vektor |v〉 ersetzt: ˆN |v 〉 = v |v 〉 .
Definition: In
Operator
Es gilt: 〈v| t ≡|v 〉 .
ˆN |v 〉 = v |v 〉 heißt |〉 Ket-Vektor. v ist dabei der Eigenwert zum
ˆN , und |v 〉 die entsprechende Eigenfunktion.
Definition: 〈| heißt Bra-Vektor.
Normierung: ||v 〉| : = |v 〉 t |v 〉 = 〈v|v 〉 : = 1
Bemerkung: 〈v|v 〉 ist das Skalarprodukt.
[Dreifach-“Skalarprodukt“ in Lindner-Skript?]
Lindner: Postulate der Quantenmechanik – Zusammenfassung
[Aus Lindner, Kapitel 4.3]
• Der Zustand eines Teilchens wird durch seine Wellenfunktion beschrieben.
• Den Observablen der klassischen Physik entsprechen in der Quantenphysik hermitesche
Operatoren. Zu jeder Observablen gibt es einen entsprechenden Operator.
[Liste der Operatoren]
• Der Erwartungswert eines Operators gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich die Observable
zur Zeit t im entsprechenden Intervall (zwischen x und x d x bzw. analog) befindet.
• Da die Operatoren hermitesch sind, ist ihr Erwartungswert reell.
[Beweis]
• Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird durch die Schrödingergleichung beschrieben.
• Vielteilchensysteme werden durch eine Wellenfunktion ψ ( ⃗r 1
, ⃗r 2
, … , r⃗
N
, t ) beschrieben;
der Erwartungswert dieser Wellenfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, die Teilchen zur Zeit
t an in den Intervallen (Volumenelementen) d ⃗r i um die jeweiligen Orte ⃗r i zu finden.
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