Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

Drehimpulsoperator und Quantenzahlen Seite 37/47
[Â , e i ħ Ĥ t ] = 0 .
Mit ψ ( ⃗r ) = R ( r )⋅Y l m ( ϑ , ) :
ˆL 2 ψ = ˆL 2 R ( r ) Y l m ( ϑ , ) = R ( r )⋅ ˆL 2 Y l m ( ϑ , ) = R ( r )⋅l ( l 1) ħ 2 Y l m ( ϑ , ) = l ( l 1) ħ
[Rechenweg???]
Daraus ergibt sich der Erwartungswert für den Betrag des Drehimpulses:
〈 ˆL 2 〉 =∫ ψ * ˆL 2 ψ d τ = l ( l 1) ħ 2 ,
und radiziert:
〈|L|〉 = l ( l 1)⋅ħ
Betrag des Drehimpulses
Definition: l : Drehimpulsquantenzahl ( l ∈ 0 ),
m : magnetische Quantenzahl ( l ≤ m ≤ l , m ∈ )
Bemerkung: Quantenzahlen nummerieren die Eigenfunktionen eines Operators. Die Drehimpulsquantenzahlen
legen den Betrag des Bahndrehimpulsvektors fest, die magnetischen
Quantenzahlen legen die möglichen Orientierungen des Bahndrehimpulsvektors bezüglich
der z -Achse (Quantisierungsachse), d.h. die möglichen Projektionen des
Bahndrehimpulsvektors auf die Quantisierungsachse, fest. Es gibt keine Funktion, die noch
zu einem weiteren Operator simultane Eigenfunktion ist, daher charakterisieren die beiden
Quantenzahlen l und m den Drehimpulszustand.
Für den Winkel zwischen dem Bahndrehimpulsvektor und der Quantisierungsachse gilt:
cos α = m ⁄ l (1) .
Legendre-Polynome:
ˆL 2 Y l m = l ( l 1) ħ 2 Y l
m
Macht man damit einen Separationsansatz Y l m (θ , ) = : Θ l m (θ) e i m , ergibt sich die
Legendresche Differenzialgleichung. Als Lösungsansatz wählt man Θ m l
(θ) = P m l
(cos ) , das
bedeutet: die Lösung der Legendreschen Differenzialgleichung ist das Legendre-Polynom:
P m l
(ξ ) = (1)m
m
(1 ξ 2 2 d l m
)
s l ⋅l! d ξ (ξ 2 1) l ; m ≥ 0 .
l m
Mit ψ = R ( r ) θ ( ϑ) φ () und φ () = e i m ⁄ 2 π :
Lˆ
z
ψ =i ħ
∂
( R ( r ) θ ( ϑ) φ ()) =i ħ R ( r ) θ ( ϑ)
∂
∂
die Eigenwerte von L z lauten also:
〈L z 〉 = m⋅ħ
∂ ei m = m ħ ψ ,
[Kapitel Pauli-Prinzip: C:\Program Files\Stöcker\DATEN\KAP_21\NODE30.HTM]
[Lindner 5.3: Operator der kinetischen Energie (Translations- und Rotationsbewegung), verglichen
mit klass. Energie]
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