Theoretische Physik 2 Atom- und Quantenphysik - Skriptweb

2. Einige Begriffe aus der Funktionalanalysis Seite 45/47
Satz von Hellinger-Toeplitz: Ist ein linearer Operator ein symmetrischer Hilbertraum-
Endomorphismus, dann ist er stetig.
Im Endlichdimensionalen sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten paarweise orthogonal.
Das gilt auch für symmetrische lineare Operatoren eines Hilbertraums, falls sie mindestens zwei
verschiedene Eigenwerte besitzen.
Lemma 2.8: Falls ein symmetrischer Hilbertraum Eigenwerte besitzt, sind diese reell,
und die zugehörigen Eigenvektoren paarweise orthogonal.
Beweis: Voraussetzung: A u = λ u und A v = µ v (d.h. zwei Eigenwerte).
Wegen 〈 A u , v〉 = 〈λ u , v〉 = λ 〈u , v〉 (und entsprechend für A v : 〈u , A v〉 = µ * 〈u , v〉 )
gilt: falls u = v ist, ist 〈 A u , v〉 = 〈u , A v〉 und damit λ = µ = λ * = µ * . Falls dagegen die
beiden Vektoren ungleich sind, sind es auch die Eigenwerte (reell, s.o.), dann ergibt das
Skalarprodukt 0, d.h. die Vektoren sind orthogonal.
Definition: Die Menge aller Eigenwerte eines Operators A heißt Punktspektrum des
Operators σ P
( A) .
Eine Teilmenge des Punktspektrums heißt diskret, wenn sie abzählbar und nicht
leer ist.
Die eindimensionale Schrödingergleichung schreibt sich als Eigenwertproblem:
A ψ = λ ψ ,
das entspricht der Differenzialgleichung:
ψ (n ) ( x ) = λ ψ ( x ) .
3. Quadratische Potenziale und Leiteroperatoren
Theorem 3.4: Die linearen Operatoren A und S seien gegeben durch A : = D X und
S : =D X . Mit der identischen Abbildung I gelten dann folgende Relationen:
• D X X D = I
• A S S A = 2 I
• D 2 X 2 = S A I
Theorem 3.5: Funktionenfolge n
: =(D X ) n g ( x ) mit g ( x ) = e 1 ⁄ 2 x2 .
Die n sind Eigenvektoren des Operators H : =D 2 X 2 , erfüllen die Schrödingergleichung:
n
'' ( x ) x 2 n
( x ) =(2 n 1) n
( x ) mit dem quadratischen Potenzial V ( x ) = x 2 und
n 1
( x ) 2 x n
( x ) 2 n n 1
( x ) = 0 (Rekursionsformel) mit 0
( x ) = g ( x ) .
Die Elemente dieser Funktionenfolge n heißen Hermite-Funktionen. Die Funktionen:
H n
( x ) = ( x ) n
g ( x )
heißen Hermite-Polynome. Sie erfüllen obige Rekursionsformel für Hermite-Funktionen ebenfalls
(mit den Anfangsbedingungen H 0
= 1 , H 1
= 2 x ), dann heißt die Rekursionsformel Hermite-
Differenzialgleichung.
Hermite-Funktionen sind paarweise orthogonal (Skalarprodukt ist 0).
http://www.skriptweb.de