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Numerische Apertur, Immersion und förd
Bild 1:
Zur Invarianz der numerischen
Apertur gegenüber
der Brechung an einer
planparallelen Glasplatte
(z. B. Deckglas).
n 1 = 1,518 ,
1 = 40° ,
n 2 = 1,0 ,
2 = 77,4° ,
n 1 sin 1 = n 2 sin 2
Bild 2:
Hochaperturiges Trockenobjektiv:
Die Sinusbedingung
ist erfüllt (Erklärung
im Text).
Bild 3:
Gleicher Objektivtyp:
Die Sinusbedingung ist
nicht erfüllt; außeraxiale
Bildpunkte werden stark
komabehaftet abgebildet
(Erklärung im Text).
(Die Abbildungen 2 und 3
wurden freundlicherweise
von Herrn Dipl.-Ing.
M. Matthä, Göttingen,
zur Verfügung gestellt).
1) (R.W. Pohl bezeichnete
die sphärische Aberration
treffend als
„...schlechte Vereinigung
achsensymmetrischer
Lichtbündel
großer Öffnung...“)
n 2 = 1,0 (Luft)
Deckglas,
n 1 = 1,518
Objekt(punkt) der
Brechzahl n O
Die Kausalität von
numerischer Apertur
und Auflösung
Die wichtigste Kenngröße eines
Mikroskopes ist bekanntlich nicht die
Vergrößerung, sondern sein Vermögen,
kleinste Objektdetails auch aufgelöst
darstellen zu können. Zur Definition
des Auflösungsvermögens bzw.
seinem reziproken Wert, der Auflösungsgrenze,
führte Ernst Abbe den
Begriff der numerischen Apertur des
Objektives (Apertura [lat]: = Öffnung,
numerische Apertur = „zahlenmäßige“,
also dimensionslose Apertur)
ein. Diese stellt das Produkt aus der
Brechzahl n OR und dem Sinus des
halben Öffnungswinkels im Objektraum
dar und hat im Gegensatz zur
alleinigen Verwendung der Größe
„Öffnungswinkel = 2” einen entscheidenden
Vorteil: Gegenüber Brechungen
an planparallelen Flächen
(z. B. Deckgläsern) verhält sich die
numerische Apertur invariant.
Mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes
(1)
sin 1
= n 2
sin 2 n 1
lässt sich diese Invarianz leicht beweisen
(Bild 1):
(2)
n 1 · sin 1 = n 2 · sin 2 = ... = n i sin i
2 2
2 1
OP
1
Den mathematisch interessierten Leser
mag es zunächst verwundern,
dass Abbe den Sinus und nicht den
Tangens des halben Öffnungswinkels
verwendete, so wie es z. B. die Gaußsche
Abbildung verlangt. Bei letzterer
hat man es aber nur mit sehr engen
Strahlenbüscheln zu tun, so dass die
Sinus und Tangens der Öffnungswinkel
vertauscht werden können. Abbe
erkannte nach anfänglichen Fehlschlägen
sehr rasch, dass bei der
mikroskopischen Abbildung eine ganz
besondere Bedingung, nämlich die
Sinusbedingung, eingehalten werden
muss: Sollen Flächenelemente mittels
weit geöffneter Strahlenbüschel fehlerfrei
abgebildet werden, muss das
Verhältnis von objektseitiger zu bildseitiger
numerischer Apertur gleich
dem Abbildungsmaßstab sein und
sich konstant verhalten. Ist diese Bedingung
erfüllt und die sphärische
Aberration 1) (Aberratio [lat] = Abirrung)
korrigiert, nennt man die Abbildung
„aplanatisch” ( –
[gr] = nicht – abirren); außeraxiale
Bildpunkte werden komafrei abgebildet.
In Bild 2 wird das dreidimensionale,
nahezu fehlerfreie Beugungsbild
eines beleuchteten außeraxialen
Punktes (Sterntest) gezeigt, das mit
einem die Sinusbedingung erfüllenden
Objektives aufgenommen wurde.
Ist die Sinusbedingung hingegen
nicht erfüllt, kann die Abbildung
nicht aplanatisch sein und das Objekt
wird stark komabehaftet dargestellt
(Bild 3).
2 3
Zwischen der Sinusbedingung und
dem Auflösungsvermögen besteht ein
tiefgreifender Zusammenhang: Der
Winkelabstand 2 min zweier getrennt
sichtbarer Objektpunkte (die „Gewichte“
am hantelförmigen Objekt
2∆y min in Bild 4) muss mindestens
(3a)
sin2 min = 1,22 ·
d
betragen, weil erst dann das Beugungsmaximum
des einen Objektpunktes
in das Beugungsminimum
des anderen fällt und somit die beiden
Objektpunkte gerade noch getrennt
voneinander gesehen werden
können (Beugung an einer kreisrunden
Lochblende bzw. Linsenbegrenzung;
die Zahl 1,22 hängt mit der
Nullstelle der Bessel-Funktion zusammen).
Beim Mikroskop ist aber die Auflösungsgrenze
2∆y min (Längendimension)
und nicht die Winkelauflösung
von vorrangigem Interesse. Eine verblüffend
einfache Herleitung der
mikroskopischen Auflösungsgrenze
aus der Sinusbedingung gibt R. W.
Pohl an:
Formel (3a) kann man gemäß Bild
4 auch als
(3b)
2∆y’ min
= 1,22 ·
b d
schreiben.
12
Innovation 15, Carl Zeiss AG, 2005