KC GY Mathematik Arbeitsfassung_Implementierung - nline

Lernbereich: Änderungsraten
Intentionen
Grenzprozesse spielen auch bei der Untersuchung von Graphen und bei der Behandlung von
Sachproblemen häufig eine wesentliche Rolle.
Mittlere und lokale Änderungsraten werden in unterschiedlichen Sachkontexten bestimmt. Die Sekanten-
und Tangentensteigungen werden als mittlere und lokale Änderungsraten gedeutet. Ein
vertieftes Verständnis wird durch den Darstellungswechsel Gleichung – Graph – Tabelle gefördert.
Die bei der Bestimmung der lokalen Änderungsraten auftretenden Grenzprozesse wurden im Lernbereich
„Näherungsverfahren als Grenzprozesse“ vorbereitet; sie werden ohne Konvergenzkriterien
beschrieben. Ziel ist ein verständiger Umgang mit Grenzprozessen, der sich auf die Anschauung
gründet. Das spiegelt sich in der Fachsprache wider, die auch auf die im Lernbereich „Näherungsverfahren
als Grenzprozesse“ begründete Limes-Schreibweise zurückgreift.
Die Potenzfunktionen werden zu den Polynomfunktionen erweitert. Deren Graphen werden unter
Verwendung der Begriffe Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte beschrieben; graphisches
Ableiten und seine Umkehrung werden thematisiert.
Der kritische Umgang mit Graphen kann zu der Frage führen, ob der Graph wirklich den wesentlichen
Gehalt der Funktionsvorschrift wiedergibt und ob weitere Eigenschaften vorliegen; dies ist ein
Motiv, Null-, Extrem- und Wendestellen kriterienorientiert zu beschreiben.
Notwendige und hinreichende Kriterien für Extremstellen sowie das notwendige Kriterium für Wendestellen
werden anschaulich durch Betrachtung der Graphen zur Ausgangsfunktion und zu den
Ableitungsfunktionen gewonnen; die kritische Betrachtung der Kriterien erfolgt nicht mehr in diesem
Lernbereich. Extrempunkte finden ihre Anwendung bei Optimierungsproblemen.
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Die Funktion f mit f(x) = wird mit Hilfe des Differenzenquotienten abgeleitet. Die Begründung für
x
die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion kann graphisch erfolgen.
Kern
• mittlere und lokale Änderungsraten bestimmen
• Tangentensteigung als lokale Änderungsrate bestimmen
die Ableitung an einer Stelle
die Ableitung als Funktion
Ableitungsregeln
• Graphen zu Polynomfunktionen untersuchen
Aussagen über den globalen Verlauf und die Symmetrie
Erforderlichkeit von Untersuchungen möglicher Null-, Extrem- und Wendestellen
• Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Ableitungsfunktion klären
Graphen und Ableitungsgraphen graphisch auseinander entwickeln
Kriterien für Extrema und Wendepunkte
• Optimierungsprobleme
1
• die Funktionen f mit f(x) = und f(x) = sin(x) sowie f(x) = cos(x) ableiten
x
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche:
Funktionaler Zusammenhang
Fakultative Erweiterungen:
––
Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge:
DGS oder Tabellenkalkulation zur Exploration; CAS zur Berechnung, Kontrolle, Exploration oder als
Tutor
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