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14 5 6 Die wellenmasige Darstellung mechanischer Vorgange Die Schrodinger-Gleichung. Die Quantenzahlen 15
Quantelung, die dem Atom innewohnt, etwa wie im Falle einer gcspannten
schwingenden Saite, die, wenn sie an 2 Enden festgehalten
wird, nicht beliebig, sondern in ganz bestimmten Frequenzen
(Grundton und Obertone) schwingt. Ihre Schwingungszustande
sind nicht kontinuierlich, sondern diskontinuierlich diskret aufeinanderfolgende,
sie sind ,,gequantelt."
Ein Elektronenstrahl konstanter Geschwindigkeit entspricht
nach der Auffassung de Broglies einem monochromatischen Wellenzug.
In ihm schwingt gewisses Etwas", das wir mit y
bezeichnen wollen. Dieses y hangt sowohl vom Raum, als auch von
der Zeit ab, d. h. es ist eine Funktion der Ortskoordinaten und der
Zeit, was geschrieben wird :
Y (X, Y, 2, t) - (14)
Wir beschranken uns zunachst der Einfachheit halber auf ein
eindimensionales Beispiel, etwa auf eine gespannte, schwingungsfahige
Saite. Die Differentialgleichung fur ein solches System
lautet :
d2y 4 n2
P
d x2 A2 (15)
d. h. die Krummung des y (in diesem Falle die
Amplitude der schwingenden Saite) ist proportional dem y selbst,
4 n2
wobei der Proportionalitatsfaktor gleich -7 ist. Wenn wir jetzt
den gedanklichenUbergang von den Wellen der schwingenden Saite
zu den Phasenwellen der bewegten Elektronen vornehmen, so hat
man fur il das durch die de Brogliesche Gleichung
gegebene einzusetzen, indem die kinetische Energie 112 mv2 durch
die Differenz von totaler Energie E und potentieller Energie V
ersetzt wird. Damit erhalt G1. (15) das Aussehen
Das ist die wellenmechanische Gleichung fur den eindimensionalen
Fall, etwa den linearen Oscillator. Will man nun diese Gleichung
losen, d. h. die Energiewerte E des Systems ermitteln, die mit diesem
wellenmechanischen Ansatz vertraglich sind, so mus man vor
allem die potentielle Energie V als Funktion des Ortes fur das
System kennen und in die Gleichung einsetzen. Es stellt sich heraus,
das die Schrodingersche Differentialgleichung nur dann endliche,
stetige und eindeutige Losungen liefert, wenn die Energie E bestimmte
diskrete, sprunghaft aufeinanderfolgende Werte annimmt.
Diese Werte werden Eigenwerte und die zugehorigen Wellenfunktionen
Eigenfunktionen genannt. Sie stellen die gesuchte automatische
Quantelung des Systems dar.
Man kann sich eine anschauliche Vorstellung vom Auftreten
dieser Eigenwerte durch die der Differentialgleichung auferlegte
Bedingung, Losungen zu liefern, die endlich, stetig und eindeutig
sind, dadurch machen, das man an die gespannte Saite denkt.
Ist die Saite nach beiden Seiten unendlich ausgedehnt, d. h. wird
sie nirgends festgehalten, so kann sie mit allen sich kontinuierlich
andernden Frequenzen schwingen. Sobald jedoch ihre Lange durch
Festhalten an 2 Stellen festgelegt ist, kann die Saite nur in bestimmten
Wellenlangen il, die in ganzzahliger Beziehung zu der Saitenlange
L stehen,
A
L = n worin n= 1,2.3;..
2 (18)
schwingen. In analoger Weise liefert die Schrodingersche Differentialgleichung
eine unendliche Reihe von Losungen mit den zugehorigen
Energiewerten bzw. Schwingungszahlen V, wenn ihr
keine ,,Randbedingungen" auferlegt werden. Aus dieser unendlichen
Zahl von Losungen werden jedoch, durch die genannten
3 Bedingungen, gewisse Losungen und Energiewerte als die moglichen,
d. h. erlaubten Eigenwerte herausgewahlt1.
Wir wollen das Gesagte an Hand eines konkreten Beispiels erlautern.
Das mathematisch einfachste schwingungsfahige System
ist der lineare Oscillator, der in einem zweiatomigen Molekul wie
0% N2 usw., bei dem die beiden Kerne gegeneinander schwingen,
annaherungsweise realisiert ist. Im harmonischen Oscillator
ist die zur Gleichgewichtslage rucktreibende Kraft proportional
der Entfernung X der schwingenden Masse von der Gleichgewichtslage,
d. h. - kz (Hookesches Gesetz) .Die potentielle Energie V des
Auf die Zulassung von kontinuierlichen Energietermen je nach der
Form der Potentialkurve kann hier nicht eingegangen werden. Vgl. Pamwa
L., and E. B. WILSON: Introduction to Quantum Mechanics. 5.64 (1936).