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18 3 6 Die welienmasige Darstellung mechanischer Vorgange Die Schrodinger-Gleichung. Die Quantenzahlen 19
Das y wird als Funktion des radialen Abstandes r vom Zentrum, das
man mit deni H-Kern zusammenfallen Iast, des azimutalen Winkels
O und des Winkels p, (Abb. 4) dargestellt. G1. (25) nimmt dann
die Form
3' + .--+
2ay 1 0
ar2 r ar rzsinO ao (sin @ i) +
an. Als zweiter Schritt wird eine Losung gesucht, in der y als Produkt
dreier Funktionen R(,), @9), @(,)
Y = . @,8) . @W (27)
dargestellt wird, bei denen R nur von r, @ nur von O und @ nur
von p, abhangen. Dies ist moglich, weil die G1. (26) in die 3 Variablen
r, O und p, trennbar ist.
Die Losungen dieser Funktionen lauten :
R(,)= e-ar. (2ar)l. L(2ar), (28)
2 (I+ m)! PtwL (COS 6) ,
Hierin bedeutet L eine Potenzreihe von (a . r), P eine Polynom-
--
reihe von cos 6, wahrend i = I- I und a = h
die reduzierte Masse von Elektron und Proton und E die Gesamtenergie
des Atoms bedeuten. Die auftretenden Parameter n, 1 und m
mussen entweder Null oder die ganzen Zahlen 1,2, 3, . . sein, wenn
die Eigenfunktionen annehmbare Werte haben, d. h. endlich, stetig
und eindeutig sein sollen. Sie werden mit den Quantenzahlen des
BohrschenAtommodellesidentifiziert mit demgrundlegendenunterschied,
das sie nicht kunstlich eingefuhrt wurden, sondern sich als
eine notwendige Folge der G1. (28), (29), (30) ergeben.
Die Hauptquantenzahl n kann nur die Werte 1,2,3 . . . annehmen
und bestimmt im wesentlichen den Energieinhalt des zugehorigen
Terms, wie aus Gleichung
die fur das H-Atom abgeleitet ist, ersichtlich ist.
Wahrend n nach der Quantenmechanik ein Mas fur den mittleren
Abstand des Elektrons vom Kerne ist, bestimmt die azimutale
Quantenzahl I den Drehimpuls der Elektronenbahn um
den Kern. Auch nach der neuen Quantenmechanik kann man von
der Bahn eines Elektrons sprechen, wenn man nur auf Kenntnis
und Angabe der prazisen Position des Elektrons in einem bestimmten
Zeitpunkt - verzichtet. Der Bahndrehimpuls durchlauft die
Werte I/ 1 (1 + 1) G,
worin die azimu-
tale Quantenzahl 1, bei gegebener Hauptquantenzahl
n, nur die Werte n-I, n-2,
n-3 . . . I, 0 annehmen kann.
Der Parameter m heist magnetische
Quantenzahl, weil er bei gegebenem 1 die
Projektion des Bahndrehimpulses, welcher
durch einen Vektorpfeil dargestellt werden m
kann, auf eine ausgezeichnete Richtung,
etwa die Richtung eines angelegten ause- 1
-
ren Magnetfeldes, bedeutet. Da diese Projektion
wiederum nur ganze vielfache Werte
h -3
I
I
von - aufweisen darf, stellt sich der
2 n
Abb. 5. Die magnetische
Richtunmqumtelung
genannte Drehimpulsvektor nur in bestimmte,
diskrete Winkel zu der Richtung
des magnetischen Feldes ein. Genauer gesehen fuhrt dieser Vektor
eine Prazessionsbewegung, um die Richtung des Magnetfeldes bei
Winkeln, die diskret aufeinander folgen, aus. Es hat den Anschein,
als ob der Raum gequantelt ware. Wie aus Abb. 5 zu entnehmen
ist, kann demnach die magnetische Quantenzahl m alle Werte
zwischen +1, 0 und -1 durchlaufen, wobei die negativen Zahlen
einer Einstellung des Drehimpulsvektors in eine zum auseren Felde
entgegengesetztenRichtung entsprechen. Die magnetische Quantenzahl
m, bei gegebenem 1 behalt ihre begrifflicheBedeutung auch nach
Aufhebung des magnetischen Feldes, d. h., wenn die ausgezeichnete
Richtung im Atom nicht mehr vorhanden ist. Allerdings bedeutet
sie bindungsmasig nichts mehr fur das Elektron, weil dann
die durch sie beschriebenen Zustande energetisch identisch werden.
In einem solchen Falle spricht man von einer Entartung dieser Zustande,
welche durch ein auseres Feld aufgehoben werden kann.
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