III. Der Mond

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Will man sich ganz aus dem Einflussbereich der Erde entfernen, so braucht es eine Gesamtenergie E = 0 (Punkt 3), die benötigte kinetische Energie ist dann ½ m v 2 = G m Erde m / R und daraus v ≃ 11 200 m/s Dies wird als "2. kosmische Geschwindigkeit" bezeichnet. Solche Überlegungen sind fundamental in der Raketentechnik. Um die hohen Fluchtgeschwindigkeiten zu erreichen, hilft es auch, wenn man die Eigendrehung der Erde zur Hilfe nimmt. Der Vergleich von Fluchtgeschwindigkeit und (temperaturabhängiger) statistischer Molekülgeschwindigkeit in einem Gas entscheidet über die Zusammensetzung einer Atmosphäre eines Planeten. Die Gestirne im Sonnensystem (ebenso wie Satelliten um die Erde) bewegen sich zwar genau genommen auf Ellipsen, die aber fast kreisförmig sind, sodass im Folgenden näherungsweise eine Kreisbewegung angenommen wird. zur Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit ω = dφ / dt = zeitliche Änderung des Winkels (in rad/s) Die Periode der Kreisbewegung ist T = 2π/ω Dreht sich ein Vektor, so ist seine zeitliche Änderung = Betrag mal ω Also für die gleichförmige Kreisbewegung (Radius r): v = ω r Geschwindigkeit a = ω ( ω r) = ω 2 r (Normal-) Beschleunigung Im Folgenden wird m1 = M gesetzt und m2 = m Für die Bewegung von m: Mm 2 F = G = mω r also 2 r Diese Formeln sind äusserst nützlich. GM 4π T 2 3 = ω r = 2 2 3 r *) Betrachten wir z.B. 1. das System Erde-Mond mit T = 27 d und r = 384 400 km lässt sich sofort die Erdmasse ausrechnen! 2. das System Erde-Sonne mit T = 365.25 d und r = 150 Mio km erhält man die Sonnenmasse. 3. einen Satelliten, der um die Erde kreist Wenn T = 1 d , folgt r ≃ 42'300 km (mit Erdradius R = 6'380 km ist das 36'000 km über der Erdoberfläche): das ist die Entfernung für einen geostationären Satelliten. Solche Satellitenbahnen können nur über dem Äquator liegen. 4. GPS-Satelliten haben Bahnen 20'200 km über der Erdoberfläche. Wie gross sind ihre Bahnperioden? 5. Hat man GM für die Sonne einmal bestimmt, so lässt sich aus der Umlaufzeit eines Planeten sein Sonnenabstand berechnen.
Betrachten wir verschiedene Objekte, die um das selbe Gestirn kreisen, z.B. Planeten um die Sonne (M = Sonnenmasse) oder Mond und Satelliten um die Erde (M = Erdmasse). Für all diese Objekte ist die linke Seite der Gleichung *) immer gleich, also muss auch die rechte Seite immer gleich sein, d.h. T 2 ist proportional zu r 3 . Dies ist im wesentlichen das dritte Keplersche Gesetz. Es sagt aus: je weiter ein Objekt vom Anziehungszentrum entfernt ist, desto langsamer bewegt es sich auf seiner Kreisbahn. Aus dem Vergleich der Umlaufzeiten der Planeten lassen sich ihre Abstände von der Sonne bestimmen. (Das Gesetz gilt auch für Ellipsenbahnen, dann gilt T 2 prop. a 3 wo a = grosser Halbmesser der Ellipse). Keplers Gesetze waren bahnbrechend und ihre Formulierung nur möglich auf Grund der Präzisionsmessungen seines Vorgängers Tycho Brahe. 1. Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, die Sonne steht in einem Brennpunkt 2. Keplersches Gesetz Die Umlaufgeschwindigkeit ist auf der Ellipsenbahn nicht konstant. Sie ist höher, wenn der Planet näher an der Sonne steht und geringer, wenn er entfernter von ihr steht. Es gilt der Flächensatz: Der "Fahrstrahl" (Linie Planet-Sonne) überfährt in gleichen Zeiten immer gleiche Flächen. Das 2. Keplersche Gesetz gilt grundsätzlich, wenn die Anziehungskraft immer auf das gleiche Zentrum gerichtet ist. Es ist eine Folge der Drehimpulserhaltung Drehimpuls: L = m r x v (Vektorprodukt, Vektoren sind fett gedruckt statt mit Pfeil) Zentralkraft F // r (r zeigt vom Kraftzentrum zum bewegten Objekt=Planet) dL / dt = m dr / dt x v + m r x dv / dt = m v x v + r x ma = m v x v + r x F = 0 denn das Kreuzprodukt von parallelen Vektoren ist null. Also ist der Drehimpuls erhalten. Andererseits zeigt die Zeichnung, dass dL = |m r x v dt| = 2 dA / dt wo dA = eingeschlossene Fläche d.h. die überstrichene Fläche pro Zeiteinheit ist auch erhalten. Das ist der Flächensatz. Das 1. Keplersche Gesetz ist erheblich mühsamer zu beweisen. Man kann zeigen: Aus der 1/r 2 - Form des Gravitationsgesetzes folgt, dass alle möglichen Bahnen Kegelschnitte sind, das sind die Schnittkurven, die sich ergeben, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet. Wenn die Ebene die Basis des Kegels nicht berührt, sind das Ellipsen (Kreis als Spezialfall), wenn die Basis einbezogen wird, Hyperbeln (offene Kurve, Parabel und Gerade sind Grenzfälle). Hyperbelbahnen treten z.B. bei nicht-periodischen Kometen auf (die nie mehr zurückkehren).
Seite 1 und 2: 0. Vorbemerkung Skripten zu schreib
Seite 3 und 4: Sternbilder Die markantesten Sternb
Seite 5 und 6: Zur Orientierung auf offiziellen St
Seite 7 und 8: Die momentane Position eines Sterns
Seite 9 und 10: 4. Umrechnungen Der Stundenwinkel d
Seite 11 und 12: Dämmerung Dämmerung ist die Zeit
Seite 13 und 14: Quantitativ bezeichnet man den Wink
Seite 15 und 16: Störungen der Mondbahn Störungen
Seite 17 und 18: 3. Die Oberfläche des Monds Der Mo
Seite 19: IV. Gravitation - der Motor der Him
Seite 23 und 24: V. Die Planeten unseres Sonnensyste
Seite 25 und 26: Abstände im Sonnensystem werden me
Seite 27 und 28: Erdabstand zwischen 55 Mio km und 4
Seite 29 und 30: Meteoride, Meteoriten ca. 20-40 Mio

III. Der Mond

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?