Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Grundlagen der Logik und
Logikprogrammierung
Vorlesung von Prof. Schröder im Sommersemester 2012 an der FAU Erlangen
19. November 2012
In L A TEX gesetzt von
Johannes Schilling (dario@zerties.org)
Dominik Paulus (dominik@d-paulus.de)
Ulrich Rabenstein (ulrich.rabenstein@studium.uni-erlangen.de)
Tobias Polzer
Über dieses Skript
Wir haben uns entschlossen, für die Vorlesung Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung (GLoLoP),
die wir dieses Semester bei Professor Schröder hören, mangels eines existierenden Skripts selbst eines
zu erstellen.
Das vor Ihnen befindliche Schriftstück erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit, auch können wir
nicht ausschließen, dass sich inhaltliche Fehler eingeschlichen haben. Für entdeckte Fehler und inhaltliche
Verbesserungen sind wir jederzeit dankbar und aufgeschlossen
1

Inhaltsverzeichnis
0.1. Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2. Logik in der Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Aussagenlogik 5
1.0.1. Typische Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Vorbemerkung: Backus-Naur-Form zur Notation einer Grammatik . . . . . . . 5
1.1.2. Inhalt der Grammatik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Semantik der logischen Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Der Erfülltheitsoperator ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Definition: Erfülltheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Logische Konsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Definition: logische Konsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Definition: Gültigkeit einer Formel ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Definition: Erfüllbarkeit einer Menge von Formeln Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Definition: Logische Äquivalenz zweier Formeln ϕ und ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Wahrheitstafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Definition: Atome einer Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Logische Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1. Negationsnormalform (NNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Definition: Negationsnormalform NNF von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2. Konjunktive Normalformen (CNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Definition: CNF C einer Formel ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Definition: Resolutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.1. Syntax und Semantik der Regeln natürlichen Schließens . . . . . . . . . . . . . 13
Definition: Resolutionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Prolog 15
2.1. Version 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Definition: definite Klausel, Zielklausel, Hornklausel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Schreibweise: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Definition: Programm, Anfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Version 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Semantik per Reduktion auf Version 0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Version 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Unifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Definition: Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Definition: Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Definition: Unifikator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Definition: Allgemeine Unifikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1. Unifikationsalgorithmus von Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Definition: Unifizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Prädikatenlogik erster Stufe 23
3.0.2. Terminologie, Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Definition: Syntax der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2

Definition: Semantik der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Definition: Σ-Modell M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Definition: Erfülltheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Definition: Freie Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Definition: Satz, universeller Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1. Substitutionslemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1. Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Herbrand-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Definition: Herbrand-Universum, Herbrand-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Definition: Herbrand-Σ-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Definition: Ground Instance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1. Approximation des kleinsten H-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. SLD-Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Definition: SLD-Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Definition: P-Beweisbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Formale Deduktion in Aussagenlogik 39
4.1. Natürliches Schließen mit Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. @- und D-Quantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. Vollständigkeit der Prädikatenogik erster Stufe 45
5.1. Beweise der drei Behauptungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A. Regeln für natürliches Schließen im Fitchkalkül 48
A.1. Regeln für ^ und _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2. Regeln für K und ␣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.3. Regeln für @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.4. Regeln für D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3

0.1. Literatur
U. Schöning Logik für Informatiker, Spektrum akademischer Verlag, 2000;
kostengünstiges Basiswerk
J. Barwise, J. Etchemendy Language, Proof & Logic, CSLI, 2000
englisch, mit Software; allgemeiner, teilweise gar Philosophisch
M. Huth, M. Ryan Logic in Computer Science, CUP, 2000
für Informatiker geschrieben
0.2. Logik in der Informatik
Motivation der Vorlesung, warum sollte uns als Informatiker die Logik interessieren?
• Logik als Problem für Informatiker
– SAT
– Automatischer/Halbautomatischer Theorembeweis
• Logik als Programmierparadigma
– Prolog
– Mercury
• Logik als Abfrageformalismus
– SQL
– Datalog
• Logik als (Wissens-) Repräsentationsformalismus
– Ontologie
– Semantic Web
– OWL
• Logik als Entwicklungsmethode
Spezifikation (Logik)
Implementierung
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1. Aussagenlogik
Redet über atomare Aussagen A, B, C, . . . ohne Rücksicht auf deren innere Struktur.
(z. B. EsRegnet Ñ HabeSchirm _ WerdeNass)
und deren Wahrheitswerte, hier klassisch: tlomon
K , lomon J u
falsch wahr
1.0.1. Typische Vorgehensweise
1. Definiere Syntax: „Was kann ich hinschreiben“
2. Definiere Semantik: „Was bedeutet das“
3. Beweise, Algorithmen auf dem jetzt definierten Raum
1.1. Syntax
1.1.1. Vorbemerkung: Backus-Naur-Form zur Notation einer Grammatik
Die Backus-Naur-Form (BNF) ist eine verbreitete Art, die Syntax von formalen Sprachen darzustellen.
Eine Beschreibung in BNF besteht aus mehreren Klauseln, jede Klausel beschreibt eine Beziehung der
Form a besteht aus B oder C, in der Schreibweise
a :– B | C
Die rechte Seite besteht aus beliebig vielen Alternativen, durch die die linke ersetzt werden kann,
jeweils durch einen senkrechten Strich getrennt. In der so beschriebenen Grammatik sind genau die
Terme enthalten, die durch die Ersetzungsregeln der BNF erzeugt werden können. Konventionsgemäß
schreibt man Terme, die nicht weiter ersetzt (reduziert) werden können groß, alle anderen klein.
1.1.2. Inhalt der Grammatik der Aussagenlogik
Die Menge F der Formeln, die in der Grammatik enthalten sind, ist die kleinste Menge X mit
1. A Ď X
2. ϕ, ψ P X ñ ϕ ^ ψ P X
3. ϕ P X ñ ␣ϕ P X
Sprich: F bzw. X ist die kleinste bezüglich ^ und ␣ abgeschlossene Obermenge von A .
Anders gesagt: Alle Atome sind Formeln, also P X, und die Operatoren ␣ und ^ bilden nur von
Formeln zu Formeln ab (Abgeschlossenheit).
1.1.3. Syntax der Aussagenlogik
ϕ, ψ ::“ A | ϕ ^ ψ | ␣ ϕ
Dabei ist A P A ein Atom, d.h. eine nicht weiter unterteilbare Aussage mit A ‰ H. Es gilt im übrigen:
• ␣ bindet am stärksten
5

• K “ A ^ ␣A
• J “ ␣K
• pϕ _ ψq “ ␣p␣ϕ ^ ␣ψq
• ϕ Ñ ψ “ ␣ϕ _ ψ
• ϕ Ø ψ “ pϕ Ñ ψq ^ pψ Ñ ϕq
1.2. Semantik
1.2.1. Semantik der logischen Operatoren
Die Sprechweisen und Bedeutungen der logischen Operatoren, für zwei beliebige Aussagenlogische
Terme ϕ und ψ sind
ϕ ^ ψ „ϕ und ψ gelten beide“
␣ϕ „ϕ gilt nicht“
ϕ _ ψ „mindestens eines der beiden gilt“
ϕ Ñ ψ „wenn ϕ gilt, dann gilt auch ψ“
ϕ Ø ψ „ϕ gilt genau dann, wenn ψ gilt“ (beide Ausdrücke haben die gleiche Wahrheitstabelle)
J „Top“, „Wahr“
K „Bottom“, „Falsch“
1.2.2. Der Erfülltheitsoperator (
Definition: Erfülltheit
Wahrheitsbelegung κ : A Ñ 2 lomon
tJ,Ku
κ erfüllt ϕ: κ ( ϕ bzw. ( ϕrκs, rekursiv definiert durch
(i) κ ( A ô κpAq “ J
(ii) κ ( ϕ ^ ψ ô κ ( ϕ und κ ( ψ
(iii) κ ( ␣ϕ ô κ * ϕ
definiert Wahrheitswert einzelner Atome
κ erfüllt also ein Atom A, wenn eben im „Welt-Zustand“ A erfüllt – also wahr – ist, ansonsten nicht.
Die Und-Verknüpfung zweier Formeln ϕ und ψ ist erfüllt, wenn beide erfüllt sind, die Negation
einer Formel ist erfüllt, wenn die Formel in κ nicht erfüllt ist.
Im Prinzip schauen wir also immer nur im „Welt-Zustand“ nach, ob eine Formel bzw. die Atome
aus denen sie aufgebaut ist, erfüllt sind.
Wir können zusätzlich zu obiger Definition feststellen, dass κ ( J stets und κ ( K nie wahr sind.
Die Oder- und die Folgerungs-Verknüpfungen, die nicht Teil der Definition sondern daraus abgeleitet
sind, verhalten sich bzgl. κ ebenfalls erwartungsgemäß:
κ ( ϕ _ ψ ô pκ ( ϕ oder κ ( ψq
κ ( ϕ Ñ ψ ô pFalls κ ( ϕ, so auch κ ( ψq
κ ( ϕ Ø ψ ô pκ ( ϕ genau dann wenn κ ( ψq
Die Definition soll am Beispiel der Formel pA _ ␣Bq Ñ B verdeutlicht werden
6

Beispiel: pA _ ␣Bq Ñ B
κ ordne den Atomen A und B die Werte κpAq “ J und κpBq “ K zu; man könnte auch
kurz schreiben: κ “ rA ÞÑ J, B ÞÑ Ks
κ ( ppA _ ␣Bq Ñ Bq ô pFalls κ ( pA _ ␣Bq, so auch κ ( Bq
Es gilt κ ( A _ ␣B ô pκ ( A oder κ ( ␣Bq
Nun gilt κpAq “ J, also κ ( A, also κ ( A _ ␣B.
Es gilt aber κ * B (da κpBq “ K), also
κ * pA _ ␣Bq Ñ B
Eine andere Wahrheitsbelegung κ 2 , die den Atomen andere Wahrheitswerte zuordnet,
kann die Formel aber erfüllen, z. B. mit κ 2 “ tA ñ J, B ñ Ju gilt κ 2 ( pA _ ␣Bq Ñ B.
Die Definition von ( stellt sicher, dass die Menge X:
X “ tϕ P F |„κ ( ϕ ist wohldefiniert “u 1 - 3 erfüllt. Da F die kleinste solche Menge ist, ist F eine
Teilmenge (oder gleich) jeder anderen Menge, die diese Bedingungen erfüllt, also insbesondere auch
F Ď X.
1.3. Logische Konsequenz
Eine logische Konsequenz oder logische Folgerung ist die korrekte Ableitung einer neuen Formel aus
einer Menge als gültig vorausgesetzter Formeln.
Für die formale Definition definieren wir zunächst die Erfülltheit einer Menge Φ Ď F von Formeln
durch die Erfülltheit aller Elemente. Eine Wahrheitsbelegung κ erfüllt die Menge Φ genau dann, wenn
κ alle Formeln ϕ erfüllt, die in Φ enthalten sind:
κ ( Φ :ô @ϕ P Φ : κ ( ϕ
Definition: logische Konsequenz
Sei Φ Ď F eine Menge von Formeln. Eine Formel ψ P F ist eine logische Konsequenz von Φ, wenn
für alle Wahrheitsbelegungen κ : A Ñ 2 gilt, dass, falls κ ( Φ, so auch κ ( ψ. Man schreibt für
„ψ ist logische Konsequenz von Φ“ auch Φ ( ψ. In Symbolen:
Φ ( ψ :ô @κ : κ ( Φ Ñ κ ( ψ.
Daraus lassen sich nun einige neue Begriffe und Definitionen ableiten.
Definition: Gültigkeit einer Formel ψ
7

Eine Formel ψ ist gültig, wenn sie aus der leeren Menge von Annahmen folgt:
|ù ψ : ðñ H ( ψ ðñ @κ : κ ( ψ,
d.h. also wenn alle Wahrheitsbelegungen ψ erfüllen. Wir nennen ψ in diesem Fall auch tautologisch/eine
Tautologie.
Definition: Erfüllbarkeit einer Menge von Formeln Φ
Eine Formelmenge Φ ist unerfüllbar, wenn sich aus ihr ein Widerspruch herleiten lässt, d.h. wenn
Falsum eine logische Konsequenz von Φ ist: Φ ( K. Dies ist gleichbedeutend damit, dass keine
Wahrheitsbelegung Φ erfüllt: @κ : κ * Φ.
Andernfalls, d.h. wenn Dκ : κ ( Φ, heißt Φ erfüllbar.
Definition: Logische Äquivalenz zweier Formeln ϕ und ψ
Zwei Formeln ϕ, ψ sind logisch äquivalent (ϕ ” ψ), wenn ϕ Ø ψ gültig ist:
ϕ ” ψ : ðñ |ù φ Ø ψ.
Lemma 1. ψ ist genau dann logische Konsequenz von Φ, wenn die Vereinigung von Φ und der Negation
von ψ unerfüllbar ist:
Φ ( ψ ô pΦ Y t␣ψuq ( K
(Das obige Lemma kann als eine Formulierung des Prinzips des Widerspruchsbeweises angesehen werden)
Beispiel: Erfüllbarkeit und logische Konsequenz
erfüllbar A Ñ ␣A (Für die Belegung κpAq “ K)
unerfüllbar A ^ ␣A
gültig A _ ␣A , pA ^ Bq Ñ A
logische Konsequenz tA Ñ B, Au ( B (diesen Schluss nennt man „modus ponens“)
1.4. Wahrheitstafeln
Eine Wahrheitstafel ist die Betrachtung der (endlich vielen!) in konkreten Formeln vorkommenden
Atome in tabellarischer Form. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln kann z.B. die Äquivalenz zweier Formeln
bewiesen werden.
Zunächst definieren wir formal, was die Atome einer Formel ϕ sind.
8

Definition: Atome einer Formel
Atome(ϕ) = Atpϕq := Menge der in ϕ vorkommenden Atome, formal:
• At(A) = tAu
• At(␣ϕ) = At(ϕ)
• At(ϕ ^ ψ) = At(ϕ) Y At(ψ)
Beispiel:
AtppA ^ Bq ^ ␣Aq “ AtpA ^ BqY At(␣A) = AtpAqY At(B) Y At(A) = tAu Y tBu Y tAu “ tA, Bu.
Das folgende Lemma ist die formale Legitimation dafür, dass Wahrheitstafeln sich auf die in ϕ vorkommenden
Atome beschränken dürfen und nicht alle in A vorkommenden Atome berücksichtigen
müssen.
Lemma 2. Die Erfülltheit κ ( ϕ hängt nur von den Belegungen der Atome von ϕ, also von den Werten
κpAq für A P Atpϕq ab; d.h. wenn κ 1 sich bezüglich aller Atome Atpϕq gleich verhält wie κ, so erfüllt
κ 1 ϕ genau dann wenn κ dies tut. Formal: Wenn κ, κ 1 : A Ñ 2 mit κpAq “ κ 1 pAq für alle A P Atpϕq,
dann gilt
κ ( ϕ ô κ 1 ( ϕ.
Beweis: Unabhängigkeit von unerwähnten Atomen
wir erinnern uns: die Menge aller Formeln F ist definiert als die kleinste Menge, die die Bildungsgesetze
1 - 3 erfüllt. Wir zeigen nun per Induktion über ϕ, genauer über die Struktur der Definition der
Grammatik, dass die Menge X aller ϕ, die die Behauptung erfüllen, ebenfalls 1 - 3 erfüllt und damit
F Ď X, d.h. das Lemma gilt für alle Formeln.
(1) κ ( A ô κpAq “ J ðùùùùñ
APAtpAq κ1 pAq “ J
ô κ 1 ( A
(2) κ ( ␣ϕ ô κ * ϕ ðùùùùùùùùùùùùñ
IV mit Atp␣ϕq“Atpϕq κ1 * ϕ
ô κ 1 ( ␣ϕ
(3) κ ( ϕ ^ ψ ô pκ ( ϕ und κ ( ψq ðùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùñ
IV mit Atpϕq,AtpψqĎAtpϕqYAtpψq“Atpϕ^ψq pκ1 ( ϕ und κ 1 ( ψq
ô κ 1 ( ϕ ^ ψ
ù Semantik von ϕ bestimmt durch endliche Tabellierung von κ ( ϕ für alle κ : A 0 Ñ 2 mit A 0 Ď A
endlich, At(ϕ) Ď A 0 . Dass κ nicht nur auf Atpϕq definiert ist, sondern auf A 0 , von dem Atpϕq eine
Teilmenge ist, liegt daran, dass in der Wahrheitstafel auch noch andere Einträge stehen dürfen.
Beispiel:
Wahrheitstafel von ϕ
A B A Ñ B
K K J
K J J
J K K
J J J
9

A B C A _ B ␣A _ C pA _ Bq Ñ p␣A _ Cq
K K K K J J
K K J K J J
K J K J J J
K J J J J J
J K K J K K
J K J J J J
J J K J K K
J J J J J J
Lemma 3. ϕ ” ψ genau dann wenn ϕ, ψ identische Wahrheitstafeln über Atpϕq Y Atpψq haben.
Beispiel: Wahrheitstafel-Äquivalenz
B _ ␣B ” A _ ␣A
Hier sieht man wie es dazu kommen kann, dass zwei Formeln trotz unterschiedlicher verwendeter
Atome äquivalent sein können.
1.5. Logische Äquivalenzen
Im folgenden geben wir eine Übersicht wichtiger logischer Äquivalenzen.
• ␣␣ϕ ” ϕ (Doppelnegationselimination)
+
␣pϕ ^ ψq ” p␣ϕ _ ␣ψq
• (De Morgansche Gesetze)
␣pϕ _ ψq ” p␣ϕ ^ ␣ψq
+
ϕ ^ pψ _ χq ” pϕ ^ ψq _ pϕ ^ χq
• (Distributiv-Gesetze)
ϕ _ pψ ^ χq ” pϕ _ ψq ^ pϕ _ χq
+
pϕ ^ ψq ^ χ ” ϕ ^ pψ ^ χq
• (Assoziativ-Gesetze)
ϕ _ pψ _ χq ” pϕ _ ψq _ χ
• χ ^ J ” χ
+
(Neutrale Elemente)
χ _ K ” χ
1.6. Normalformen
1.6.1. Negationsnormalform (NNF)
Definition: Negationsnormalform NNF von ϕ
Eine aus Atomen sowie ␣, ^, _ gebildete Formel ϕ ist genau dann in NNF, wenn die Negation ␣
in ϕ nur direkt vor Atomen vorkommt.
π ist NNF von ϕ, wenn π in NNF und π ” ϕ.
Wir werden sehen, dass jeder Term eine NNF hat. Atome sind in NNF.
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Beispiel: Terme in NNF
␣A _ pB _ ␣Cq ist in NNF;
␣pA _ ␣Bq nicht (␣ vor der Klammer, Klammer kein Atom)
NNFpϕq ist rekursiv definiert durch
$
NNF pAq “ A
NNF pϕ ^ πq “ NNF pϕq ^ NNF pπq
NNF pϕ _ πq “ NNF pϕq _ NNF pπq
’&
NNF pϕq “ NNF p␣Aq “ ␣A
NNF p␣␣ϕq “ NNF pϕq
NNF p␣pϕ ^ πqq “ NNF p␣ϕq _ NNF p␣πq
’% NNF p␣pϕ _ πqq “ NNF p␣ϕq ^ NNF p␣πq
Es lässt sich induktiv zeigen, dass NNFpϕq ” ϕ.
Beispiel: ϕ – ␣p␣pA _ ␣Bq ^ Cq
NNFp␣p␣pA _ ␣Bq ^ Cqq = NNFp␣␣pA _ ␣Bqq_ NNFp␣Cq =
NNFpA _ ␣Bq _ ␣C = A _ ␣B _ ␣C
1.6.2. Konjunktive Normalformen (CNF)
Eine Formel in Konjunktiver Normalform ist eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen. Sie
hat also die allgemeine Form
ľ
Lq
DPCp ł LPD
Die Menge aller konjunktiven Normalformen ist formal definiert durch die folgende Grammatik:
Literale L ::“ A | ␣A
Klauseln C ::“ K | L | L _ C
CNFs ϕ ::“ J | ϕ | C ^ ϕ.
A P A
Meistens, insbesondere zum Zwecke der Repräsentation im Rechner, verwenden wir eine alternative
Darstellung von CNFs als Mengen:
Klauseln sind endliche Mengen von Literalen, d. h. die Disjunktion L 1 _ ¨ ¨ ¨ _L n wird repräsentiert als
die Menge tL 1 , . . . , L n u (was von der Reihenfolge und eventuellen Wiederholungen abstrahiert!).
Die leere Klausel repräsentiert K und wird als ✷ notiert.
CNFs sind endliche Mengen von Klauseln, wobei die leere Menge J repräsentiert: J “ ^
H; D 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^
^
D n “ tD 1 , . . . , D n u
Genau wie die NNF ist die CNF nur eine andere Repräsentation für die gleiche Aussage, was uns zu
folgender Definition der CNF einer Formel bringt:
Definition: CNF C einer Formel ϕ
Sei ϕ eine Formel. Eine CNF ϕ 1 heißt CNF von ϕ, wenn ϕ ” ϕ 1 .
11

Lemma 4 (Berechnung einer CNF von ϕ in NNF). Sei ϕ eine Formel. Dann hat ϕ eine CNF
CNFpϕq.
Beweis. Wir können nach obigem annehmen, dass ϕ bereits in NNF ist. Wir definieren dann CNFpϕq
rekursiv:
CNFpϕ ^ ψq “ CNFpϕq ^ CNFpψq
CNFpLq “ L
kľ
CNFpϕ _ ψq “
j“1 i“1
nľ
pD i _ E j q mit CNFpϕq “
nľ
D i und CNFpψq “
i“1
kľ
E i .
Man zeigt durch Indukion über ϕ, dass ϕ ” CNFpϕq und dass CNFpϕq in der Tat eine CNF ist.
Der einzig interessante Teil der Induktion ist der Induktionsschritt für ϕ _ ψ, der auf wiederholtem
Anwenden des Distributivgesetzes („Ausmultiplizieren“) beruht:
nľ
kľ
ϕ _ ψ ” p D i q _ p E j q
Distr.
”
Dist.
”
i“1
j“1
j“1
kľ nľ
pp D i q _ E j q
kľ
j“1 i“1
i“1
nľ
pD i _ E j q “ CNFpϕ _ ψq.
i“1
Problem an CNFpϕ _ ψq: n ¨ k Klauseln, z.B. CNFppA 1 ^ B 1 q _ ¨ ¨ ¨ _ pA n ^ B n qq hat 2 n Klauseln.
Durch Einführung zusätzlicher Atome lässt sich der Blowup 1 polynomiell halten, dann aber CNFpϕq
nur noch erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ (CNFpϕq erfüllbar ô ϕ erfüllbar).
1.7. Resolution
Das Resolutionsverfahren ist ein Algorithmus zur Entscheidung der Erfüllbarkeit einer CNF (Klauselmenge
C). Er basiert auf der Resolutionsregel.
Definition: Resolutionsregel
D 1 Y tAu D 2 Y t␣Au
(Res)
(1)
D 1 Y D 2
Diese Regel wird im Resolutionsverfahren auf die Menge der Klauseln in einer CNF angewendet.
Regeln dieser Form werden so interpretiert, dass, wenn in der Menge alle Elemente über dem Strich
enthalten sind, das Element unter dem Strich zur Menge hinzugefügt werden darf. D 1 Y D 2 hat hier
den Namen Resolvente.
1 Als Blowup bezeichnet man das Verhältnis zwischen Größe der Eingabe und Größe der Ausgabe eines Algorithmus.
Oft verwendet bei Algorithmen, die ein Problem in ein anderes Transformieren.
12

1.7.1. Syntax und Semantik der Regeln natürlichen Schließens
Die hier verwendete Syntax werden wir später – in Kapitel 4 – wiedersehen. Sie funktioniert so, dass
Regeln als Voraussetzungen (Prämissen) und daraus möglichem Schluss (Konsequenz) notiert werden.
Die Prämissen stehen dabei über einer waagrechten Linie, die einem Bruchstrich nicht unähnlich sieht,
die Konsequenz darunter. Sobald die Prämissen erfüllt sind, darf die Konsequenz geschlossen werden –
die Regel wurde angewendet. Typischerweise werden die Regeln benannt, der Name wird in Klammern
auf Höhe des ”Bruchstrichs” vor die Regel geschrieben.
(Und)
A B
A ^ B
Die Anwendung der Resolutionsregel hat keinen Einfluss auf die Erfüllbarkeit der Formel. Der Beweis
dafür folgt umgehend nach der formalisierten Aussage.
Lemma 5. Sei D 1 Y tAu, D 2 Y t␣Au P C.
Dann gilt: C ist erfüllbar ô C Y tD 1 Y D 2 u ist erfüllbar
Beweis:
„ð“ trivial, da links Teilmenge der Klauseln der rechten Seite
„ñ“ Sei κ ( C, dann κ ( D 1 Y tAu, κ ( D 2 Y t␣Au
Fall 1: κpAq “ J ñ κ ( D 2 ñ κ ( D 1 Y D 2
Fall 2: κpAq “ K ñ κ ( D 1 ñ κ ( D 1 Y D 2
Basierend auf obigem Lemma und obiger Regel können wir den folgenden Algorithmus definieren, der
eine Aussage über die Erfüllbarkeit einer Formel, die in konjunktiver Normalform vorliegt, trifft:
Definition: Resolutionsverfahren
1. Falls P C, ist C nicht erfüllbar, Schluss.
2. Suche D 1 Y tAu, D 2 Y t␣Au P C, D 1 Y D 2 R C. Falls keine solchen D 1 , D 2 existieren, ist C
erfüllbar, Schluss.
3. C Ð C Y tD 1 Y D 2 u, gehe zu Schritt 1.
Wir beweisen die totale Korrektheit des Algorithmus:
Beweis: Terminierung
Der Algorithmus arbeitet ausschließlich auf der Menge der Atome in C. Es gibt es nur endlich viele
unterschiedliche Klauseln über AtpCq
In Mengendarstellung sind es 4 | AtpCq| (Jedes Atom kann entweder positiv, negativ, beides oder gar
nicht vorkommen).
Beweis: Korrektheit (Antwort „unerfüllbar“ ist richtig)
Klar per Lemma 5.
13

Aus dem Abbruch nach Regel 2 folgt die Abgeschlossenheit von C unter der Resolution (1). Daraus
baut der folgende Beweis auf:
Beweis: Vollständigkeit (Antwort „erfüllbar“ ist richtig)
Sei C abgeschlossen unter Resolution, R C.
zZ: C erfüllbar.
Induktion über |AtpCq| “ #AtpCq:
Induktionsanfang:
Ohne Atome kann die Klauselmenge nur leer oder t
anderen P C (widerspricht Annahme).
u sein, im einen Fall ist C per Definition J, im
Induktionsschritt:
Wähle A P AtpCq. Sei
C{A – t Dzt␣Au | A R D P C u sowie
C{␣A – t DztAu | ␣A R D P C u
(Das Ergebnis ist der noch als erfüllbar zu zeigende Rest wenn wir A als J bzw. K annehmen. Es gilt
AtpC{Aq S A R AtpC{␣Aq).
Dann ist entweder R C{A oder R C{␣A, denn sonst t␣Au P C Q tAu. Da C abgeschlossen unter
(Res), würde folgen P C, Widerspruch!
Ohne Einschränkung 2 wählen wir den Fall
Dann ist auch C{A abgeschlossen unter (1):
D 1 zt␣Au Y tBu, D 2 zt␣Au Y t␣Bu P C{A
ñ D 1 Y D 2 P C ñ D looomooon 1 Y D 2 zt␣Au P C{A
AR
R C{A.
AtpC{Aq ist kleiner als AtpCq, C{A ist abgeschlossen über Resolution und
erfüllbar
IV
ñ Dκ ( C{A
Sei D P C, zZ: κrA Ñ Js ( D,
Fall 1: A P D ̌
Fall 2: A R D ñ Dzt␣Au P C{A ñ κ ( Dzt␣Au ñ κrA Ñ Js ( D
ñ κrA Ñ Js ( C
R C{A, also ist C{A
2 „ohne Einschränkung“ wird gleichbedeutend mit „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ verwendet, ist aber kürzer.
Konkret heißt es hier, dass der Beweis mit dem Fall P C{␣A ganz genauso geführt werden kann, und deshalb nur
die Hälfte der Fallunterscheidung aufgeführt wird.
14

2. Prolog
Programmieren durch Deklaration logischer Zusammenhänge und Anfragen nach deren Konsequenz.
Im folgenden werden schrittweise die Versionen von Prolog aufeinander aufbauend definiert.
2.1. Version 0
Die Version 0 ist im Prinzip eine Teilmenge der Aussagenlogik. Zunächst müssen wir definieren, wie
die Deklaration der logischen Zusammenhänge denn aussehen soll:
Definition: definite Klausel, Zielklausel, Hornklausel
Eine Klausel D (bestehend aus einer Menge von Literalen) ist definit, wenn D genau ein positives
Literal enthält. Enthält sie gar kein positives Literal, so ist sie eine Zielklausel. In beiden Fällen
spricht man auch von einer Hornklausel.
2.1.1. Schreibweise:
def. Klausel tA 0 , ␣A 1 , . . . , ␣A n u ” A 0 Ð A 1 , . . . , A n
Zielklausel t␣A 1 , . . . , ␣A n u ”Ð A 1 , . . . , A n
Beispiel: allgemeine Klausel
jľ
t␣A 1 , . . . , ␣A j , B 1 , . . . , B k u ” A p Ñ
kł
B i
p“1 i“1
Das schöne an den Horn-Klauseln ist, dass es für eine gegebene Menge von Voraussetzungen nur
eine Konsequenz gibt, nicht eine Menge von Konsequenzen von denen womöglich nur eine Wahr ist.
Sobald eine Konsequenz nicht mehr per Definition eindeutig sein muss, wird die Berechnung um einiges
aufwändiger. Dies ist der Kern warum das SAT-Problem NP-Hart ist.
Definition: Programm, Anfrage
Ein Programm ist eine endliche Menge P von definiten Klauseln (Regeln bzw. Fakten falls n=0).
Eine Anfrage ist eine Zielklausel Q “Ð A 1 , . . . , A n
Der Prolog-Interpreter versucht zu zeigen, dass P Y tQu unerfüllbar ist, d.h. dass P ( ␣Q.
Beispiel: Regenwetter
15

$
Wet Ð Rain, NoUmbrella
Rain Ð Monday
’&
P “ Confused Ð Monday
NoUmbrella Ð Confused
’%
Monday
Q “Ð Wet “ K Ð Wet
Antwort: ja, d.h. P ( ␣Q, d. h. P ( Wet
2.2. Version 1
In Version 1 werden Atome zu n-stelligen Prädikaten A – P pE 1 , . . . , E n q erweitert. E 1 , . . . , E n heißen
Terme, wobei ein Term E – X|c entweder eine Variable (X, groß geschrieben) oder eine Konstante (c,
klein geschrieben) ist.
Const(X) ist die Menge der in X vorkommenden Konstanten.
Vars(X) ist die Menge der in X vorkommenden Variablen.
Prolog funktioniert nach der sog. closed world assumption (CWA), d.h. wenn eine Aussage A aus einem
Programm P nicht explizit folgt, z.B. weil A überhaupt nicht erwähnt wird, so gilt A auch nicht.
Lies Klauseln als universellen Abschluss: Vars(D) = tX 1 , . . . , X n u : @tX 1 , . . . , X n u.D
Der universelle Abschluss ist also der „fancy-Begriff“ für die Tatsache, dass eine Klausel wahr ist, wenn
alle Terme in ihr wahr sind.
Beispiel: Verwandtschaften
$
Vater(Hans, Paula)
’& Mutter(Paula, Fritz)
P “
Großvater(X, Y) Ð Vater(X, Z), Vater(Z, Y)
’% Großvater(X, Y) Ð Vater(X, Z), Mutter(Z, Y)
Q 1 “Ð Großvater(Hans, Fritz): Ja
Q 2 “Ð Großvater(Hans, Paula): Nein, da sich diese Aussage nicht aus dem Programm ableiten
lässt (CWA).
2.2.1. Semantik per Reduktion auf Version 0:
Die Idee der Reduktion auf Version 0 (2.1) ist, alle Variablen auszusubstituieren durch die im Programm
vorkommenden – endlich vielen – Konstanten, und diese dann wie in Version 0 vorkommende
Konstanten zu behandeln.
Wir nennen ein Atom ApP, . . . q abgeschlossen (ground), wenn Vars(A) “ H, also wenn A keine Variablen
enthält.
Für die Substitution σ : V arspDq Ñ ConstpP q gilt: Dσ (engl. ground instance, deutsch: ??) ist die
Klausel, die aus D durch simultane Ersetzung aller X in D durch σpXq entsteht.
Wir schreiben rc 1 {X 1 , . . . , c n {X n s für die Substitution σ mit σpX i q “ c i @ i.
16

Beispiel: Verwandtschaft again
(Großvater(X, Y ) Ð Vater(X, Z), Mutter(Z, Y )) [Hans/X, Paula/Z, Fritz/Y]
= Großvater(Hans, Fritz) Ð Vater(Hans, Paula), Mutter(Paula, Fritz).
Übersetze dann eine einzelne Klausel D in eine Menge von Klauseln:
D “ tDσ|σ : V arspDq Ñ ConstspP qu
P “ ď DPP
D
Dann erfüllt ein Programm der Version 1 ␣Q genau dann, wenn Version 0 ␣Q auch erfüllt:
P ( 1 ␣Q ô P ( 0 ␣Q. Daraus folgt:
• Wir können alle Ground Instances der Regeln und Fakten verwenden
• ␣Q ” Ž σ:V arspQqÑConstspP q ␣Qσ
#
„no“ bei P * ␣Q
Antwort ist also
σ mit P ( ␣Qσ
Beispiel:
Wir verwenden das gleiche Programm wie oben.
Die Anfrage lautet Q “Ð GrovaterpX, Y q.
Es wird getestet, ob folgender Zusammenhang gilt:
@X, Y, Z.P looooomooooon
universeller Abschluss
hkikj D␣
( loooooooomoooooooon
␣@ X, Y : Q
DX,Y :GpX,Y q
Großvater(Hans, Fritz) Ð Vater(Hans, Paula), Mutter(Paula, Fritz) P P
Da Mutter(Paula, Fritz), Vater(Hans, Paula) P P
gilt P ( ␣QrHans/X, Fritz/Ys. Die Ausgabe von Prolog wäre also: X “ Hans, Y “Fritz.
2.3. Version 2
Damit lassen sich jetzt aber noch keine Datenstrukturen bauen, die wir für unsere fertige Programmiersprache
doch ganz gerne hätten. . .
Prolog mit „echten“ Termen:
Vorrat Σ (Signatur) an Funktionssymbolen f mit endlicher Stelligkeit (Anzahl „Funktionsparameter“)
n ě 0, Notation: f{n P Σ.
E :– X|fpE 1 , . . . , E n q
pF {n P Σq
Beispiel: Liste
Σ “ t
rs{0 lomon
leerer Konstruktor
, r_|_s{2 looomooon
Listenkonkatenation
, 0{0 lomon
Konstante 0
, 1{0 lomon
Konstante 1
Prolog hat keine Konzepte wie »Rückgabewerte« oder »Funktionsaufruf«, deshalb drücken wir
das Anhängen eines Elements an eine Liste und das Ergebnis in einem dreistelligen Prädikat aus:
append(rs, X, X) (lies: append([], X) = X)
append(rX|Y s, Z, rX|W s) Ð append(Y, Z, W )
u
17

Notation
Zur vereinfachung der Schreibweise definieren wir folgende abkürzenden Schreibweisen:
ra 1 , a 2 , . . . , a n s “ ra 1 |ra 2 | . . . a n |rss . . . s
ra 1 , a 2 , . . . , a n |ls “ ra 1 |ra 2 | . . . a n |lss
Beispiel: Auswertung von logischen Ausdrücken durch Prolog
Q 1 : Ð appendpr0, 1s, r1, 0s, Xq
Antwort: X ÞÑ r0, 1, 1, 0s
Q 2 : Ð appendpr0, 1s, X, r0, 1, 1sq
Ð appendpr1s, X, r1, 1sq
Ð appendprs, X, r1sq
Antwort: X ÞÑ r1s
Hierbei wurde in Schritt 1 und 2 gegen die zweite Regel gematcht.
Ist die Ableitung nicht mehr eindeutig, oder werden beim Befolgen der Regeln tote Enden angetroffen,
so arbeitet das System mit Backtracking, z.B.
Q :Ð appendpX, Y, r0, 1sq
a) Ð appendprs, r0, 1s, r0, 1sqX ÞÑ rs, Y ÞÑ r0, 1s;
b) appendpr0|X 1 s, Y, r0, 1sqX ÞÑ r0|X 1 s
appendpX 1 , Y, r1sq
b.i) X 1 ÞÑ rs, Y ÞÑ r1s ù X ÞÑ r0s
b.ii) X 1 ÞÑ r1|X 2 s
Ð appendpX 2 , Y, rsqX 2 ÞÑ rs, Y ÞÑ rs ù X ÞÑ r0, 1s
2.4. Unifikation
Die Unifikation sagt uns, wie – und ob überhaupt – zwei Terme strukturell gleich gemacht, sprich
Unifiziert werden können.
Beispiel:
Die Anfrage
Ð appendpX, r0|Y s, r1 0 1|Zsq
soll mit der folgenden Regel gematcht werden
appendprX 1 |Y 1 s, Z 1 , rX 1 |W 1 sq Ð appendpY 1 , Z 1 , W 1 q
Wir suchen also für die ersten beiden Argumente eine Substitution σ mit rX 1 |Y 1 sσ “ σprX 1 |Y 1 sq ! “
X. Damit werden wir scheitern, denn rX 1 |Y 1 s ist ein zusammengesetzter Term, also nicht mit einer
einzelnen Variable unifizierbar.
Der funktionierende Weg ist, ein σ zu finden, das rX 1 |Y 1 sσ “ Xσ erfüllt, also sowohl auf die Liste
als auch auf X angewendet zwei gleiche Terme produziert.
18

Für die zweiten Argumente der beiden Terme muss unser σ erfüllen: Z 1 σ “ r0|Y sσ, und schließlich
für das dritte Argumentepaar: rX 1 |W 1 sσ “ r1 0 1|Zsσ
z.B.:
σ :“ tX 1 ÞÑ 1, X ÞÑ r1|Y 1 s, Z 1 ÞÑ r0 1s|Zs, Y ÞÑ r1|Zs, W 1 ÞÑ r0 1|Zsu
Zur „Gleichmachung“ wird ggf. Substitution angewendet, die wir jetzt formell definieren wollen:
Definition: Substitution
Eine Substitution ist eine Abbildung σ, die jeder Variable X einen Term σpXq zuordnet, so dass
die Menge
Dom σ “ tx|σpxq ‰ xu
endlich ist, d.h. σ verändert nur eine endliche Anzahl an Variablen. Dom σ („Domain“, „Bereich“
von σ) ist die Menge aller Variablen, mit denen σ „etwas tut“, d.h. denen σ einen anderen Wert
zuordnet.
rX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s ist die Substitution σ mit
#
σpXi q wenn X “ X i
σpXq “
X
sonst
Die Identität entspricht der leeren Substitution r s, also Φ r s ” Φ. Für Substitutionen σ, τ ist
Eσ die Anwendung von σ auf E. Dabei wird jede Variable wie in σ angegeben ersetzt; Xσ “
σpXq; fpE 1 , . . . , E n qσ “ fpE 1 σ, . . . , E n σq.
στ ist die Substitution mit pστqpXq “ σpXqτ “ τpσpXqq.
Es wird also erst mit σ und dann mit τ substituiert.
Definition: Gleichung
Eine Gleichung E . “ D ist ein Paar pE, Dq von Termen – die linke und die rechte Seite im Sprachgebrauch.
Definition: Unifikator
Eine Substitution σ ist ein Unifikator von E . “ D, wenn Eσ ” Dσ. Dreifaches Gleichheitszeichen
(”) meint syntaktische, nicht nur semantische Gleichheit.
σ ist ein Unifikator von S “ pE 1
. “ D1 , . . . , E n
. “ Dn q, wenn σ Unifikator von E i
. “ Di @1 ď i ď n
ist, d.h. wenn σ für alle Gleichungen in S ein Unifikator ist.
UnifpSq “ t σ | σ ist Unifikator von S u ist die Menge aller Unifikatoren von S.
19

Unifikatoren sind abgeschlossen über der Spezialisierung, d.h. eine Spezialisierung eines Unifikators ist
selbst wieder ein Unifikator.
σ P UnifpSq ñ στ P UnifpSq
Dies können wir nutzen, um alle Unifikatoren einer Gleichung zu finden, wenn wir einen allgemeinsten
Unifikator gefunden haben. Diesen allgemeinsten Unifikator müssen wir dann nur noch mit Spezialisierungen
versehen, und erhalten daraus alle Unifikatoren.
Definition: Allgemeine Unifikatoren
σ 1 ist allgemeiner als σ 2 , wenn eine Substitution τ existiert mit σ 1 τ “ σ 2 , also wenn σ 2 durch eine
Spezialisierung aus σ 1 hervorgeht.
»σ ist der allgemeinste Unifikator von S« sei definiert als: @σ 1 P Unif(S): σ ist allgemeiner als σ 1 .
Man schreibt: σ “ mgupSq („most general unifyer“).
Lemma 6.
σ “ mgupSq ñ UnifpSq “ tστ|τ Subst. u
Kennt man den allgemeinsten Unifikator von S, so kann man durch Spezialisierungen alle anderen
Unifikatoren bestimmen.
Behauptung: Der mgu ist eindeutig bis auf eindeutige injektive Umbenennung von Variablen, d.h.
σ, σ 1 sind mgu von S ñ es existiert τ : σ 1 “ στ mit den Eigenschaften:
• τ ist eindeutig bestimmt auf V arspσq “ Ť xPV ars V arspσpxqq
• τ ist injektiv auf V arspσq.
TODO: den beweis nochmal durchchecken
Beweis: Eindeutigkeit des mgu bis auf Umbenennung
τ existiert, da σ ein mgu und σ 1 Unifikator, ebenso existiert τ 1 mit σ 1 τ 1 “ σ.
(i) τ eindeutig auf x P V arspσpyqq, wenn auch σ 1 “ στ, dann
σpyqτ “ σ 1 pyqτ, also notwendig τpxq “ τpxq
(ii) τ injektiv auf V arspσq. Mit (i) insbesondere
στ 0 “ σ ñ τ 0 pxq “ x für alle x P V arspσq (2)
Nach (2) folgt aus σττ 1 “ σ, dass τ 1 τpxq “ x für alle x P V arspxq, also falls τpxq “ τpyq für
x, y P V arspσq, so gilt x “ ττ 1 pxq “ τ 1 τpyq “ y ̌
Damit ist die Eindeutigkeit in der Semantik gezeigt, Umbenennung von Variablen ist aber trotzdem
möglich.
Beweis der Existenz eines mgu durch Angabe eines Algorithmus, der einen solchen mgu findet, z.B.
Robinson:
TODO: fix indentation and some formulas TODO: also the labels (1)-(3) are really overlookable
20

2.4.1. Unifikationsalgorithmus von Robinson
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
mgu(S) = {
.
Stack := S // pS “ pE_1 “ D_1, . . . , E_n “ . D_nq q
σ – rs
while S not empty, do
pop (E, D)
if E = X(Var.) then E – σpXq
if D = X(Var.) then D – σpXq
case
E “ fpE_1, . . . , E_kq, D “ gpD_1, . . . , D_lq // E, F Terme
if f ‰ g then fail
.
.
else (* k = l *) push (1) E_1 “ D_1, . . . , E_k “ D_l
| E = X ñ // E Variable
if X P V arspDσq then (if Dσ “ X then skip (2) else fail)
else σ – σrX ÞÑ Dσs (3)
| D = X // D Variable
analog
return σ
}
Beweis: Korrektheit des Robinson-Algorithmus
Korrektheit heißt, dass
(i) sofern ein mgu gefunden wird, dieser Korrekt ist
(ii) sofern keine mgu gefunden wird, dieser nicht existiert
Der Beweis wird geführt, indem gezeigt wird, dass eine Schleifeninvariante nach jedem Schleifendurchlauf
gilt, und dass diese Invariante die Korrektheit impliziert.
Invariante:
UnifpSq “ σUnifpStack σq (1)
p “ tστ|τ P UnifpStack σquq
^ Dom σ Y VarspStack σq “ H (2)
Invariante gilt nach Initialisierung
Zu Beginn ist σ und damit Dom σ leer, also Dom σ Y VarspStack σq “ H erfüllt und UnifpSq “ σ
UnifpStack σq vereinfacht sich zu UnifpSq “ UnifpStackq, was durch die Initialisierung gegeben ist.
Invariante gilt nach einem Schleifendurchlauf
Zu zeigen ist, dass die drei mit (1), (2) und (3) markierten Stellen im Algorithmus die Schleifeninvariante
erhalten.
(1) Es wird eine Gleichung vom Stack genommen und dafür k Gleichungen mit dem selben Unifikator
wie der der ersten Gleichung auf den Stack gelegt. Dadurch ändert sich der Unifikator des
Gesamtstacks nicht – UnifpStackq, σ bleiben gleich.
(2) Es wird eine Gleichung vom Stack genommen, die von der Form X “ X ist: man kommt nur in
den Fall (2), wenn Dσ “ X “ E ist. Das trägt offensichtlich zum Unifikator nichts bei. σ und
21

UnifpStackq bleiben gleich, VarspStackq nimmt allenfalls ab, was aber die Invariante erhält.
(3) Es wird eine Gleichung vom Stack genommen und σ um eine weitere Substitutionsklausel erweitert.
Der zweite Teil der Invariante bleibt erhalten, da X R VarspDσq; zu Dom σ wird X hinzugefügt,
aus Stack σ wird X entfernt.
Der erste Teil der Invariante ist etwas aufwändiger: wir müssen zeigen, dass
σUnifp
pStack Y pX . “ Dqqσ
loooooooooooomoooooooooooon
“Stack σYpX . “Dσq,XRDompσq
Die Veränderungen bei diesem Schritt sind
a) (X . “ D) lag vorher auf dem Stack, wurde entfernt
b) σ wurde um rX ÞÑ Ds erweitert.
q “ σrX ÞÑ DsUnifpStack σrX ÞÑ Dsq
Wir können auf beiden Seiten das führende σ streichen. Dadurch wird die Bedingung etwas verschärft
(die schon in σ vorhandenen Substitutionen werden nicht genutzt), aber wenn wir es ohne
σ schaffen, die Gleichheit zu zeigen, gilt sie auch mit σ.
σUnifp pStack 1 Y pX . “ Dqqσ
looooooooooooomooooooooooooon
“Stack 1 σYpX . “Dσq,da XRDompσq
q “ σrX ÞÑ DσsUnifpStack 1 σrX ÞÑ Dσsq
Dass `Stack 1 Y pX . “ Dq˘ σ “ Stack 1 σ Y pX . “ Dσq, also die bisherige Substitutionsmenge σ nicht
auf X angewendet werden muss, liegt daran, dass X nicht in Dompσq vorkommen kann, da es
falls es vom Stack genommen wird, in den zwei Zeilen nach pop() wegsubstituiert wird (O-Ton
Schröder: „on-the-fly“).
Jetzt nehmen wir uns einen Hilfsunifikator τ, von der wir zeigen wollen, dass wenn τ Element der
linken Seite (LHS) ist, daraus folgt dass τ Element der rechten Seite ist, also effektiv die LHS
gleich der RHS ist.
τ P LHS
ðñ τ P Unif(Stack 1 q σ ^ τpXq “ Dστ
ðñ τ P Unif(Stack 1 σrX ÞÑ Dστsq ^ τpXq “ Dστ
ðñ τ P RHS
Da sich τ disjunkt in einen Teil mit (Effekt auf) X und einen Teil ohne zerlegen lässt, sind wir an
der Stelle fertig. TODO: das hier in human-understandable
Terminierung
Def.
Terminierung bei Stack = [], also UnifpSq “ σ Unif [] ðñ σ “ mgu S, da Unif [] die Menge aller
Substitutionen ist. Dass der Algorithmus terminiert, lässt sich argumentieren, indem jeder Schritt
offensichtlich entweder
i) Ein Operationssymbol vom Stack nimmt, der dadurch kleiner wird, oder
ii) eine Variable vom Stack nimmt, evtl. der Substitution σ hinzufügt und dadurch den Stack ebenfalls
verkleinert.
Definition: Unifizierbarkeit
22

S heißt unifizierbar, wenn UnifpSq ‰ H.
Es ist entscheidbar, ob S unifizierbar ist. Wenn S unifizierbar ist, hat S einen mgu und mgupSq ist
berechenbar. Der Robinson-Algorithmus läuft im worst-case in exponentieller Zeit, das Problem an
sich ist aber in polynomieller Zeit lösbar, z.B. mit dem Algorithmus von Martelli-Montanari. In der
Praxis hat sich der Robinson-Algorithmus als effizienter erwiesen.
3. Prädikatenlogik erster Stufe
3.0.2. Terminologie, Übersetzung
Der englische Begriff »first order logic« bezeichnet die Logik mit Prädikaten wie wir sie jetzt kennen
lernen werden. Bezüglich der korrekten Übersetzung gibt es manchmal Zweifel, die korrekte Übersetzung
in Langform ist Prädikatenlogik erster Stufe. Wir werden uns mit der Bezeichnung Prädikatenlogik
begnügen, meinen aber immer Prädikatenlogik erster Stufe.
Definition: Syntax der Prädikatenlogik
Die Syntax der Prädikatenlogik ist gegeben durch die folgende BNF:
P ist dabei ein n-stelliges Prädikat.
ϕ :– E “ D | P pE 1 , . . . , E n q | ␣ϕ | ϕ 1 ^ ϕ 2 | @X.ϕ
Der bekannte Existenzquantor wird abgebildet durch DX.ϕ – ␣@X.␣ϕ, außerdem
K ” ␣@X.X “ X. Die restlichen Abbildungen wie Implikation, Oder etc. werden wie gewohnt
abgeleitet.
Die Sprechweise für @X.ϕ ist »für alle X gilt ϕ«, bei DX.ϕ sagt man »es existiert ein X, so dass
ϕ« oder »es existiert ein X mit der Eigenschaft ϕ.
Wie immer folgt der Syntax-Definition die Semantik.
Definition: Semantik der Prädikatenlogik
Wir definieren folgende Bedeutungen:
@X.ϕ „Für alle X gilt ϕ“
DX.ϕ „Es existiert ein X, so dass ϕ“
Außerdem ist noch der Begriff der Signatur wichtig. Die Signatur oder Sprache Σ enthält Prädikatenund
Funktionssymbole mit jeweils gegebener endlicher Stelligkeit.
Aufbauend auf dem Signaturbegriff können wir nun unser Modell definieren. Im Falle der Aussagenlogik
war ein Modell schlicht und einfach eine Wahrheitsbelegung κ. Damit kommen wir jetzt nicht mehr
klar, da wir neben Prädikaten auch Variablen zu verwalten haben.
23

Definition: Σ-Modell M
Ein Σ-Modell M (Struktur, Interpretation, Algebra, . . . ) besteht aus
• Einer Menge M (»Universum«, »Grundbereich«, . . . )
• Für eine n-stellige Funktion f{n P Σ eine Interpretation in M, gegeben durch
Mf : M n Ñ M
• Für ein n-stelliges Prädikat P {n P Σ eine Menge von Belegungstupeln MP Ď M n
Eine Umgebung η ist eine Abbildung η : Vars Ñ M.
Definition: Erfülltheit
Zu einem Term E definieren wir seine Bedeutung MEη P M rekursiv durch
• MXη = ηpXq
• MfpE 1 , . . . , E n q = Mf pME 1 η, . . . , ME n ηq
Die Erfülltheit einer Formel ϕ (bestehend aus n Termen) auf einem Modell und einer Umgebung
M, η ( ϕ ist rekursiv definiert durch
M, η ( pE “ Dq ðñ MEη “ MDη
M, η ( P pE 1 , . . . , E n q ðñ pME 1 η, . . . , ME n ηq P MP
Der Allquantor wird definiert durch
M, η ( @X.ϕ ðñ Für alle m P M.M, ηrX ÞÑ ms ( ϕ
Dabei beschreibt ηrX ÞÑ mspV q diejenige Funktion, die alle X in η durch m ersetzt und η ansonsten
gleich übernimmt – also eine Substitution von X durch m auf η.
Wir definieren uns rekursiv die Menge aller freien Variablen in einer Formel wie folgt; alle Variablen,
die nicht nach dieser Definition frei sind, sind gebunden.
Definition: Freie Variable
@X.ϕ bindet X, welches damit keine freie Variable mehr ist. Die Freien Variablen einer Formel sind
F V pEq
“ V arspEq
F V pE “ Dq
“ F V pEq Y F V pDq
nď
F V pPpE 1 , . . . , E n qq “ F V pE i q
i“1
F V p␣ϕq
“ F V pϕq
F V pϕ ^ πq
“ F V pϕq Y F V pπq
F V p@X.ϕq
“ F V pϕqztXu
F V pX “ Y ^ @Y.Y “ Wq “ tX, Y, W u
24

Definition: Satz, universeller Abschluss
ϕ heißt Satz ðñ F V pϕq “ H, also alle Variablen gebunden sind.
Seien die freien Variablen F V pϕq “ tX 1 , . . . , X n u. Dann ist der Universelle Abschluss von ϕ die
Formel @ϕ ” @X 1 , . . . , @X n .ϕ. Semantisch werden dadurch alle freien Variablen an jeweils einen
Allquantor gebunden, die Formel wird zum Satz. Man kann den universellen Abschluss umschreiben
durch „einfach alle möglichen Variablen einsetzen“.
Nun wollen wir zeigen, dass die freien Variablen das tun, was wir haben wollten, als wir sie definiert
haben, dass nämlich eine Formel (höchstens) von den in ihr vorkommenden freien Variablen abhängt
(höchstens, weil z. B. auch Tautologien möglich sind, die von garkeinen Variablen abhängig sind).
Lemma 7. Sei η 1 pXq “ η 2 pXq für alle X P F V pϕq, dann M, η 1 ( ϕ ðñ M, η 2 ( ϕ, also:
die Erfülltheit von ϕ ist unabhängig von den Umgebungen, solange die Umgebungen auf den freien
Variablen von ϕ übereinstimmen.
Beweis: Lemma 7
Wir haben einen Induktionsbeweis vor, aber das Problem dass wir mit inhomogenen Entitäten arbeiten:
Formeln und Termen. Daher beweisen wir zunächst, dass unsere Annahme für Terme korrekt ist, um
dies in der Induktion für Formeln verwenden zu können:
zZ: Es gilt für alle Terme E mit η 1 pXq “ η 2 pXq für alle X P F V pEq
MrEsη 1 “ MrEsη 2 (1)
Beweis per Induktion über E. Dieser Beweis beruht darauf, dass für Terme beide Seiten gleich interpretiert
werden, man müsste es nur für jede Art Term einmal hinschreiben. Wir sparen uns das und
sehen es als bewiesen an.
Induktion über ϕ: Atomare Formeln per (1), boolesche Fälle trivial. Ein Interessanter Fall ist noch der
des Allquantors:
@X.ϕ : M, η 1 ( @X.ϕ ðñ
Zur Anwendung der Induktionshypothese ist Zz:
für alle m P M M, η 1 rX ÞÑ ms ( ϕ
looooooooooomooooooooooon
ðñ M,η 2 rXÞÑms(ϕs
η 1 rX ÞÑ mspY q “ η 2 rX ÞÑ mspY q für alle Y P F V pϕq Ď F V p@X.ϕq Y tXu (2)
Dass diese Gleichheit gilt, ist klar dadurch, dass die Gleichheit für F V p@X.ϕq gegeben ist, und falls
Y “ X, so wird Y auf beiden Seiten der Gleichung durch X ersetzt, somit auch gleich und wir können
schreiben M, η 2 ( @X.ϕ.
Damit ist für einen Satz ϕ (der ja keine freien Variablen hat), M, η ( ϕ von η unabhängig, schreibe
M ( ϕ.
(1)
Wie bisher für Aussagenlogische Formeln definieren wir M, η ( Φ ðñ M, η ( ϕ für alle ϕ P Φ.
Logische Konsequenz, Erfüllbarkeit, Gültigkeit, logische Äquivalenz wie bisher bis auf Ersetzung von
Wahrheitsbelegung κ durch M, η (oder nur M bei Sätzen).
25

Beispiel: Erfüllbarkeit von Formeln der Prädikatenlogik
ϕ ” π : ðñ @M, η.M, η ( ϕ ðñ M, η ( π
Φ erfüllbar ðñ DM, η ( Φ
Weiterhin:
Wenn π logische Konsequenz von Φ ist, dann ist Φ vereinigt mit der Negation von π unerfüllbar.
Φ ( π ðñ Φ Y t␣πu unerfüllbar.
Beispiel: Logische Schlüsse
Gegeben sei folgendes Programm:
Φ “ t@X.@Y. pChildpX, Y q Ñ LovespX, Y qq , ChildpTom, Maryqu
und die Anfrage π “ LovespMary, Tomq
Φ ( π : Sei M ( Φ ñM, rX ÞÑ M, Y ÞÑ T s ( CpY, Xq Ñ LpX, Y q
ñ M ( LpM, T q “ LpX, looomooon Y q rX loooooooooomoooooooooon
ÞÑ M, Y ÞÑ T s
ϕ
M, rX ÞÑ M, Y ÞÑ T s ( CpY, Xq
ñM, rX ÞÑ M, Y ÞÑ T s ( LpX, Y q
σ
Das beruht auf dem
3.1. Substitutionslemma
M, η ( ϕσ ðñ M, ηrX ÞÑ MrσpXqsη|X P Dompσqs ( ϕ
Beispiel: Logische Konsequenz
DX.@Y.LovespY, Xq ( @Y.DX.LpY, Xq
Beweis: vorheriges Beispiel
Aus der Annahme folgt: es existiert ein
m P M.M, rX ÞÑ ms ( @Y.LpY, Xq (1)
Sei n P M, dann ist zZ: M, rY ÞÑ ns ( DX.LpY, Xq. Das folgt aus
M, rY ÞÑ n, X ÞÑ ms ( LpY, Xq (wg. 1)
@Y.DX.LpY, Xq * DX.@Y.LpY, Xq: Gegenmodell z.B. Lp1, 0q ^ Lp0, 1q folgt nicht Lp0, 0q oder Lp1, 1q
Beispiel:
Logische Äquivalenz
␣@X.ϕ ” DX.␣ϕ
␣DX.ϕ ” @X.␣ϕ
Ñ NNF; mit @, D in der Grammatik sonst Endlosnegation in gegenseitigen Definitionen
26

3.1.1. Wiederholung
Wir erinnern uns:
Programm Menge P von definiten Klauseln A 0 Ð A 1 , . . . , A n entspricht @pA 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n Ñ A 0 q
Anfragen Zielklauseln Q “Ð A 1 , . . . , A n entspricht @␣pA 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n q ” ␣DpA 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n q
Prolog-Engine versucht zu zeigen, dass P Y tQu unerfüllbar, d.h. dass
P ( DpA 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n q
3.2. Herbrand-Modelle
TODO: forums-faden evtl. einpflegen
=Intendierte Modelle von Programmen:
• alle Elemente sind benannt
• verschiedene Namen Ñ verschiedene Elemente
• P ( ␣Q ðñ
M p lomon
kleinstes H-Modell
( ␣Q
Ab hier ohne „““, da nicht in der Syntax enthalten und einfacher nicht jedes mal ausschließen zu
müssen.
Definition: Herbrand-Universum, Herbrand-Basis
Gegeben sind:
Signatur Σ Die Menge aller vorkommenden Symbole, meist implizit durch Verwendung „definiert“.
Herbrand-Universum Die Menge aller Terme, die ohne Variablen gebildet werden können:
U Σ “ tE | E Term über Σ, F V pEq “ Hu
Herbrand-Basis Die Menge aller Terme, die durch anwendung aller Prädikate erzeugt werden
können:
B Σ “ tϕ | ϕ atomare Formel über Σ, F V pϕq “ Hu
“ tP pE 1 , . . . , E n q | P {n P Σ, E 1 , . . . , E n P U Σ u
Beispiel: Ungerade Zahlen
P “
also Σ “ ts, 0, oddu
U Σ “ t0, sp0q, spsp0qq, . . . u
B Σ “ toddp0q, oddpsp0qq, oddpspsp0qqq, . . . u
#
oddpsp0qq
oddpspspXqqq Ð oddpxq
27

Definition: Herbrand-Σ-Modell
Ein Herbrand-Σ-Modell ist ein Σ-Modell M mit
• M = U Σ
• Für f{n P Σ gilt
MfpE 1 , . . . , E n q
Lemma 8. Sei M Herbrand-Σ-Modell. Dann ist MEη “ Eη. Was wir hierbei zum Verständnis
beachten müssen, ist dass η eine Substitution ist (eine Abbildung von Variablen auf Terme).
Beweis: Lemma 8
Der Beweis erfolgt durch Induktion über E.
Definition: Ground Instance
Sei ϕ eine Formel. Eine Ground Instance von ϕ (von @ϕ) ist eine Formel der Form ϕσ mit σ :
F V pϕq Ñ U Σ , so dass insbesondere ϕσ eine abgeschlossene Formel ist, also F V pϕσq “ H.
Satz 9. Sei M ein Herbrand-Σ-Modell und ϕ eine beliebige Formel. Dann gilt
M ( @ϕ ðñ M ( ϕσ für jede ground instance ϕσ von ϕ
Beweis: Satz
Für einen Äquivalenzbeweis müssen wir immer beide Richtungen der Gleichheit zeigen.
ñ trivial, wenn die Erfülltheit für alles einsetzbare gilt, gilt sie auch für alle ground instances.
ð Sei F V pϕq “ tX 1 , . . . , X n u. Dann ist zu zeigen, dass für alle E 1 , . . . , E n P U Σ gilt:
M, rX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s ( ϕ
Wir wollen zeigen, dass wenn alle ground instances erfüllt sind, automatisch auch der universelle
Abschluss @ϕ erfüllt ist. Wir zeigen also, dass für jede mögliche Belegung der universelle Abschluss
erfüllt ist, indem wir eben jede mögliche Belegung (die wir aus dem Universum U Σ kennen)
einsetzen.
Da η wie schon erwähnt die Gestalt einer Substitution hat, können wir hier das Substitutionslemma
zur Anwendung bringen, das uns erlaubt die Substitution auf die Rechte Seite der Gleichung
zu ziehen.
ðñ M ( ϕrX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
ground instance
Lemma 10. Sei M ein Herbrand-Σ-Modell und P {n P Σ. Dann gilt für die Interpretation von P in
M
MP “ tpE 1 , . . . , E n q P U Σ | M ( P pE 1 , . . . , E n qu
28

Beweis: Lemma 10
Der Beweis folgt unmittelbar aus dem Lemma über ME und dem Substitutions-Lemma, mit gleicher
Argumentation.
pE 1 , . . . , E n q P MP ðñ M, rX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s ( P pX 1 , . . . , X n q
ðñ M ( P pE 1 , . . . , E n q
D.h. Herbrand-Σ-Modelle p“ Teilmengen der Herbrand-Basis B Σ .
M p“ tϕ P B Σ | M ( ϕu
Man kann also von einer Teilmenge der Herbrand-Basis auf Modelle schließen, die sie erfüllen und
umgekehrt.
Beispiel:
Σ “ todd, s, 0u
M 1 “ H
M 2 “ toddpsp0qqu
M 3 “ toddp0q, oddpsp0qqu
M 4 “ toddps n p0qq|n “ 1, 3, 5, . . . u
M 5 “ B Σ
Wir können beobachten, dass solange wir die Ausdrucksmächtigkeit der logischen Programmierung
nicht verlassen, die Einschränkung auf Herbrand-Modelle die Logik, also z.B. die Erfülltheit einer
Formel nicht beeinflusst.
Satz 11 (Herbrand-Vollständigkeit). Sei Φ eine Menge von quantorenfreien Formeln über Σ. Dann gilt,
dass der universelle Abschluss @Φ der Menge Φ erfüllbar ist gdw. @Φ ein Herbrand-Σ-Modell hat. Der
universelle Abschluss einer Formelmenge Φ sei definiert als die Menge aller universellen Abschlüsse
der enthaltenen Formeln: @Φ – t@ϕ|ϕ P Φu.
Spezifisch: Wenn ein Modell M den universellen Abschluss @Φ erfüllt, dann können wir ein Herbrand-
Modell M 1 als eine Teilmenge der Herbrand-Basis konstruieren, das ebenfalls @Φ erfüllt, aber jetzt
eben ein Herbrand-Modell ist (was für M nicht unbedingt gilt).
M ( @Φ ñ M 1 – tϕ P B Σ |M ( ϕu
Wir haben das Modell M 1 bereits konstruiert und müssen nun zeigen, dass es auch tatsächlich @Φ
erfüllt.
Beweis: M 1 erfüllt @Φ
Nach vorherigem Satz reicht zu zeigen:
M 1 ( ϕσ für alle ϕ P Φ, ϕσ ground instance
29

Per Induktion über ϕ gilt:
M 1 ( ϕσ ðñ M ( ϕσ
Da ϕ quantorenfrei ist, also nurnoch boolesche Operatoren und atomare Formeln enthalten kann (die
booleschen Fälle folgen aus der Definition), ist die Gleichheit nurnoch für atomare Formeln zu zeigen,
was nach Konstruktion gilt.
M ( @ϕ, da M ( @Φ
Wenn irgendein Modell einen allquantifizierten Satz erfüllt, erfüllt es insbesondere alle ground instances
des Satzes.
Der Satz gilt nicht für bel. Formelmengen, z.B.
Beispiel:
Φ ist erfüllbar, z.B. in ta “ H, Domppq “ t1uu
Φ “ t␣ppaq, DX.ppXqu, Σ “ ta, pu
U Σ “ tau, B Σ “ tppaqu
Dieses erfüllt beide Formel in Φ, hat aber kein Herbrand-Modell, da die zwei möglichen Herbrand-
Modelle – tppaqu und tu – nicht erfüllt sein können.
Bemerkung: Wählen wir M “ B Σ , also quasi das größtmögliche Herbrand-Modell, dann erfüllt M
immer P , wobei P ein definites Programm ist. M erfüllt P , wenn es alle ground instances von P erfüllt.
Für A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P gilt M ( A 0 σ. Es gilt im allgemeinen nicht, dass M ( Q.
Es zeigt sich, dass verschiedene Herbrand-Modelle nicht unbedingt gleich gut sind.
Wir erinnern uns an das Programm von vorher, in dem wir odd definiert hatten. In unseren 5 Herbrand-
Modellen M 1 , . . . , M 5 . Zum Beispiel ist das Modell M 5 offenbar nicht was beabsichtigt war, da in
diesem Modell jede Zahl ungerade ist.
Wir antworten auf diese Ungereimtheit mit folgendem
Satz 12. Zunächst nehmen wir uns eine Menge von Herbrand-Modellen und bilden ihre Schnittmenge.
Sei µ eine Menge von Herbrand-Σ-Modellen, P ein definites Programm (also eine Stufe spezieller als
»quantorenfreie Formelmenge«). M ( P für alle M P µ. Dann erfüllt diese Schnittmenge Ş µ “ M
das Programm P (M ( P ).
Beweis: Satz
Sei D eine definite Klausel D “ A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P, Dσ eine ground instance. zZ: M ( Dσ, also
dass wenn die Annahmen A 1 , . . . , A n erfüllt sind, dass dann auch die Konklusion A 0 erfüllt ist. Seien
A 1 σ, . . . , A n σ P M, dann ist zZ: A 0 σ P M, d.h. für alle M P µ : A 0 σ P M.
Wir wissen, dass M ( P @M P µ. Daher reicht es, zu zeigen, dass A 1 σ, . . . , A n σ in M enthalten sind.
Da M Ď M ist (M ist Schnittmenge), und A 1 σ, . . . , A n σ P M, liegen sie auch in M .
Korollar 13. Sei P ein definites Programm, dann hat P ein kleinstes Herbrand-Modell M p , das in
allen anderen Herbrand-Modellen enthalten ist.
30

Beweis: Korollar
Setze M p “ Ş µ mit µ “ tM|M ( P, M ist Herbrandmodell u
Beispiel:
Σ “ t Male, Female, Adam, Eva u
P “ tMpAq, F pEqu
Die Herbrand-Modelle von P sind nun alle Obermengen von tMpAq, F pEqu
Das Korollar gilt nicht für beliebige Formelmengen
Beispiel:
Σ “ t p, q, a u
Φ “ tppaq _ qpaqu
tppaqu und tqpaqu sind beide Herbrand-Modelle für Φ (Teilmengen der Herbrand-Basis und erfüllen
Φ), und sind beide minimal. Dass beide minimal sind, bedeutet dass kein kleinstes Herbrand-Modell
existiert, was dem Korollar bereits widerspricht. Außerdem lässt sich zeigen, dass die Erfülltheit
auch nicht mehr Stabil bezüglich der Schnittmengenbildung ist, sobald in der Formel Disjunktionen
(Veroderungen) enthalten sind:
tppaqu X tqpaqu “ H . Φ.
Wenn wir uns überlegen, wie viele Herbrand-Modelle es für dass odd-Programm gibt, dann kommen
wir zu folgender Beschreibung aller solcher Modelle:
HM von P : tM 4 Y toddps n p0qq|n gerade, n ě 2Nu|N P Nu Y tM 4 u
Das kleinste Herbrand-Modell ist in diesem Fall M 4 .
Der folgende Satz zeigt nun endlich, warum wir das Modell überhaupt verwenden, warum wir die
ganze Konstruktion überhaupt machen: wir haben mit dem kleinsten Herbrand-Modell M p nämlich
ein Modell, dass genau die erfüllbaren Queries erfüllt.
Satz 14. P Y tQu erfüllbar für alle Programme P, Anfragen Q ðñ M p ( Q
(genau das versucht die Prolog-Engine zu widerlegen!)
Beweis: Satz
Es sind wie immer bei „genau-dann-wenn“-Beziehungen beide Richtungen der Implikation zu zeigen.
ð klar; M p ist kleinstes Herbrand-Modell von P , erfüllt also P und laut Voraussetzung auch Q, also
auch P Y tQu.
ñ Diese Richtung ist etwas schwieriger, was auch an der größeren Aussagekraft liegt; dass nämlich,
sobald wir irgendein Modell M haben, das P und Q erfüllt, M p ein Modell ist. P Y tQu ist
von der Form @Φ, also der universelle Abschluss einer Formelmenge Φ. Mit dem Satz 11 über
die Herbrand-Vollständigkeit, der besagt dass jede erfüllbare Formelmenge der Form @Φ ein
Herbrand-Modell hat.
Daraus folgt (mit Satz 11), dass D Herbrand-Modell M.M ( P Y tQu
ZZ: M p ( Qσ wobei Qσ ground instance von Q. Nach Satz 9 genügt es, zu zeigen dass alle
ground instances erfüllt sind, dann ist auch die allquantifizierte Formel erfüllt.
Da M Q erfüllt, erfüllt es insbesondere auch den universellen Abschluss von Q und damit alle
31

ground instances von Q, also:
M ( Qσ, d.h. bei Q “ looooooomooooooon
Ð A 1 , . . . , A n , d.h. M ( ␣A i σ für mindestens ein i P t1, . . . , nu. Dieses
␣pA 1^¨¨¨^A nq
A i ist ein ground atom, ein Element der Herbrand-Basis, nicht (notwendigerweise) von M, da M
nur eine Teilmenge der Herbrand-Basis ist.
A i σ R M ñ A i σ R M p , da M p Ď M oder anders gesagt M p ( ␣A i σ ñ M p ( Q
Korollar 15. M p “ tϕ P B Σ | P ( ϕu
Beweis: Korollar 15
Negation beider Seiten:
P * ϕ ðñ P Y t´ϕu lomon
Anfrage
erfüllbar
hkikj Satz 14
ðñ M p ( ␣ϕ ðñ ϕ R M p
Damit ist die Equivalenz von »Enthaltensein in der linken Seite« und »Enthaltensein in der rechten
Seite« gezeigt, indem über die Negationen der beiden Aussagen die Equivalenz bewiesen wurde.
3.2.1. Approximation des kleinsten H-Modells
Für ein definites Programm P P Σ, M Ď B Σ definiren wir den Operator T p wie folgt:
T p pMq “ tA 0 σ | D “ A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P, A 1 σ, . . . , A n P M, Dσ ist ground instanceu
T p pMq ist die Menge aller in einem Schritt aus M folgerbaren Atome
Jetzt wollen wir induktiv ein kleinstes Herbrand-Modell (von unten her) approximieren. Dazu fangen
wir mit einem Modell an, dass kein Herbrand-Modell ist, und fügen mit Hilfe von T p jeweils einen
weiteren Schritt zum Modell hinzu.
M 0 – H
M i`1 “ T p pM i q
Dass wir im Induktionsschritt M i nicht explizit nochmals hinzunehmen müssen, wie man zunächst
mangels einer Identität in T p annehmen würde, werden wir gleich zeigen.
Zunächst betrachten wir weiter die induktive Annäherung des kleinsten Herbrand-Modells. Wir definieren
die Vereinigung aller M i als M
Satz 16. M “ M p
M –
8ď
M i “ tϕ | Di P N | ϕ P M i u
i“0
Wir behaupten also, dass das angenäherte Modell M ein (genauer: das) kleinstes Herbrand-Modell ist.
Beweis: Satz 16
Beweis wie immer in zwei Richtungen
32

Ď M i Ď M p für alle i, per Induktion beweisbar
Ě Wir zeigen zunächst, dass die Folge (M i ) monoton wächst, weil wir uns darauf im anderen Beweis
stützen wollen.
M i Ď M i`1 per Induktion:
i “ 0: M 0 “ H ñ ̌
i ´ 1 Ñ i: Sei ϕ P M i , also M i ‰ H und i ą 0, dann ñ DD “ A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P, Dσ ground
instance; mit A 1 σ, . . . , A n σ P lomon M i´1 und A 0 σ ” ϕ ñ A 0 σ P M i`1
ĎM i (IV)
Damit haben wir die monotone Zunahme unserer Folge bewiesen. Es reicht nun zZ: M ( P , sei
also D “ A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P, Dσ ground. Laut Konstruktion sind A 1 σ, . . . , A n σ P M
Dann bleibt zu zeigen, dass A 0 σ P M
Speziell sind A 1 σ P M i1 , . . . , A n σ P M in , wobei die die i verschieden sind – eben von den
verschiedenen Schritten in denen sie hinzugenommen wurden herrührend. Es sind aber endlich
viele i, so dass es auch ein größtes gibt, das wir ab jetzt einfach als i bezeichnen, da es nach
unserem vorherigen Hilfsbeweis alle M j mit j ă i enthält: i –maxpi 1 , . . . , i n q;
ñ A 1 σ, . . . , A n σ P M i
Nun ist in einem Schritt A 0 herleitbar, da alle Voraussetzungen bereits in M i enthalten sind
ñ A 0 σ P M i`1 Ď M
3.3. SLD-Resolution
Transformation von Zielen (Anfragen) mittels Regeln (inkl. Fakten).
Ð A 1 , . . . , A n B 0 Ð B 1 , . . . , B m P P
(Res) Ð A1 σ, . . . , A i´1 σ, Blooooooomooooooon
1 σ, . . . , B m σ, Ai ` 1σ, . . . , A n σ
A i
Offenbar korrekt: mit M ( @␣pA 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n q und M ( P , dann folgt auch
M ( @␣pA 1 σ ^ ¨ ¨ ¨ ^ A i´1 σ ^ B 1 σ ^ ¨ ¨ ¨ ^ B m σ ^ A i`1 σ ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n σq
SLD-Resolution (Linear resolution for Definite clauses with Selection function); parametrisiert über
Berechnungsregel (»computation rule«). Die Berechnungsregel gibt an, welches Unterziel als erstes
behandelt wird. Sie ist eine Funktion R auf Zielklauseln mit R : pÐ A 1 , . . . , A n q ÞÑ t1, . . . , nu
Ñ(Res) wird eingeschränkt auf i “ RpÐ A 1 , . . . , A m q und σ “ mgupA i , B 0 q.
Typischerweise verwenden die meisten Prolog-Engines die Berechnungsregel RpQq “ 1, also immer das
erste Element.
Definition: SLD-Herleitung
33

Gegeben P, R: Eine SLD-Herleitung von Ziel Q 0 ist eine Sequenz
mit D i P P, Q: Ziele, so dass
hkikj
D 0 hkikj
D 1
δ “ Q 0 ù Q 1 ù Q 2 . . .
(SLD(R))
Q i D i
Q i`1
mit einer Substitution σpQ i , D i q
Feinheit: Die Variablen in D i umbenennen: X ÞÑ X i um Gleichheit mit den Variablen von Q i zu
vermeiden.
hkikj
D 0 hkikj
D 1
Terminologie Sei δ “ Q 0 ù Q 1 ù Q 2 . . .
hkikj D n
ù Q n`1 eine endliche Herleitung.
Dann ist σpδq “ σpQ 0 , D 0 q . . . σpQ n , D n q die von δ berechnete Substitution.
Erfolgreiche Herleitungen im Sinne von Prolog sind solche, die zeigen dass das Ziel unerfüllbar ist,
also abgelehnt werden muss, und heißen deshalb Refutation. Eine Herleitung δ ist eine Refutation,
wenn die leere Klausel hergeleitet werden kann, d.h. δ Refutation ðñ Q n`1 “ . Ist eine
Refutation gefunden, dann bezeichnet man σpδq| V arspQ0 q, also σpδq, eingeschränkt auf die in V arspQ 0 q
vorkommenden Atome als Antwort
δ heißt fehlgeschlagen, wenn für alle Regeln B 0 Ð B 1 , . . . , B n P P bei Q n`1 “Ð A 1 , . . . , A n gilt, dass
A RpQn`1 q nicht unifizierbar mit B 0 , also keine weitere Regel mehr anwendbar ist. Es lässt sich zeigen,
dass es falls es für das aktuelle Unterziel keine unifizierbare Regel mehr gibt, die SLD-Resolution
abgebrochen werden kann, ohne den Wahrheitsgehalt zu verfälschen
Allgemein (auch wenn δ nicht endlich ist) gilt, dass δ vollständig ðñ δ Refutation, δ fehlgeschlagen
oder δ unendlich.
Beispiel: Abstammung
Die Sprechweise für D sei "descendant", also "Kind von", die Sprechweise für ù sei "wird transformiert
zu".
DpX, Y q Ð DpX, Zq, DpZ, Y q
Konstanten: a, b, c
Nun wollen wir die Abstammungsbeziehung von a und b untersuchen:
Ð Dpa, aq ù
Ð Dpa, Z 1 q, DpZ 1 , aq ù
Ð Dpa, Z 2 q, DpZ 2 , Z 1 q; DpZ 1 , aq
Ð Dpa, Z n`1 q, . . . , DpZ 2 , Z 1 q; DpZ 1 , aq
ù 8
Wir versinken hier also in der Endlosrekursion.
Beispiel: Listenoperation append
Unser Programm besteht aus zwei Regeln, einem Basisfall R nil und einem rekursiven Fall R cons .
Beim lesen der Regeln ist zu beachten, dass die Semantik von Prädikaten wie apppX, Y, Zq in Prolog
ist äpppX, Y q “ Z, also der Rückgabewert ein formaler Parameter des Prädikats ist – eben weil es
34

sich um ein Prädikat und keine Funktion handelt.
R nil : appprs, X, Xq
R cons : appprX|Y s, Z, rX|W sq Ð apppY, Z, W q
Nun wollen wir wissen, in welche Teillisten man r0|1s zerlegen kann. Wir beginnen also mit der
Ergebnisliste"r0 1s und fragen Prolog, welche möglichen Belegungen für die Teillisten X und Y es
gibt.
Ð apppX, Y, r01sq Rcons
ù
Ð apppY 0 , Z 0 , r1sq R nil
ù
Ð ˝
ñ Refutation, weil es keine weiteren Unterziele mehr gibt.
Da die Resolution eine Refutation ergeben hat, gibt es eine Antwort, die aus der angesammelten
Substitution besteht: Die Unifikation der ursprünglichen Anfrage mit der linken Seite der R cons -
Regel hat die Substitution rX ÞÑ r0|Y 0 s, Y ÞÑ Z 0 , X 0 ÞÑ 0, W 0 ÞÑ r1ss erzeugt, die Unifikation der
Unteranfrage mit der linken Seite der R nil -Regel zusätzlich noch rY 0 ÞÑ rs, X 1 ÞÑ r1s, Z 0 ÞÑ r1ss.
Einsetzen der zweiten Substitution in die erste bringt uns zu der Substitution
rX ÞÑ r0|rss, Y ÞÑ r1s, X 0 ÞÑ 0, W 0 ÞÑ r1ss
Einschränkung auf die Variablen X und Y (alle anderen sind nach der Definition für eine Antwort
egal) führt zu der Antwort rX ÞÑ r0s, Y ÞÑ r1ss
Beispiel: nochmal append
Ð append r1s X rZ | Y s
R cons
ù append rs | X | Y
R nil
ù
Antwort:
rX 0 ÞÑ 1, Y 0 ÞÑ rs, Z 0 ÞÑ X, W 0 ÞÑ Y, Z ÞÑ 1s;
rX 1 ÞÑ X, Z ÞÑ 1, Y ÞÑ Xs | X,Y,Z
“ rZ ÞÑ 1, Y ÞÑ Xs
Aus der Korrektheit der Grundregel (Res) der Resolution können wir die Korrektheit der SLD-Resolution
Folgern.
Satz 17. Korrektheit der SLD-Resolution
δ “ Q 0 ù ¨ ¨ ¨ ù Q n ñ P Y tQ 0 σpδqu ( Q n σpδq
insbesondere:
Q n “
ñ P Y tQ 0 σpδqu unerfüllbar, d.h. P ( @␣Q 0 σpδq
Korrektheit heißt, dass wir keine falschen Dinge Herleiten können, also dass alles dass wenn wir eine
Antwort von der SLD-Resolution erhalten, diese korrekt ist.
35

Was uns noch fehlt, ist die umgekehrte Richtung, nämlich dass wenn es eine Refutation gibt, diese von
der SLD-Resolution gefunden wird.
Satz 18. Vollständigkeit der SLD-Resolution
Sei P ein definites Programm und Q eine Anfrage.
D
P ( @␣Qσ ñ D δ “ Q “ Q
0 D
0 ù
1 D Q1 ù
2 D Q2 ù . . . ù
n
und es existiert eine Substitution γ (als Antwort der Refutation) mit
Qσpδqγ “ Qσ
Für den Beweis holen wir etwas weiter aus.
Definition: P-Beweisbaum
Sei P def. Programm. Ein P-Beweisbaum (für A) ist ein an den Knoten mit Atomen gelabelter
Baum (mit Wurzellabel A), so dass für jeden Knoten A eine Regel B 0 Ð B 1 , . . . , B n P P existiert
und eine Substitution τ existiert mit B 0 τ “ A. Kinder von A “ B 1 τ, . . . , B n τ (ind n “ 0)
Beispiel: Abstammung reloaded
»D« Descendant, Nachfolger; »C« Child, Kind.
P “ t
DpX, Y q Ð CpX, Zq, DpZ, Y q;
DpX, Xq Ð;
Cpc, bq, CpX, cq Ð
u
Jeder ist also insbesondere sein eigener Nachkomme, außerdem ist c Kind von b und jeder Kind von
c (. . . ).
Als Beweis-Ableitungsbaum geschrieben
D(X,b)
C(X,c)
D(c,b)
C(c,b)
D(b,b)
Satz 19. Vollständigkeit der Resolution
Sei P ein definites Programm, A Atom, P ( A.
Dann existiert ein P -Beweisbaum für A.
Beweis.
Konstruiere Modell M mit M “ Menge aller Σ-Terme (P Programm über Σ) (auch mit Variablen)
MfpE 1 , . . . , E n q “ fpE 1 , . . . , E n q
Mp “ tE 1 , . . . , E n |ppE 1 , . . . , E n q hat P -Beweisbaumu
36

Wir verwenden die Hilfsaussage
M, η ( A ðñ Aη hat P-Beweisbaum. (1)
die wir später noch beweisen werden. Die Umgebung η P M hat den Charakter einer Substitution
Wir nehmen also zunächst (1) als gegeben an, und zeigen, dass M ein Modell für P ist, also M ( P :
Sei A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P, M, η ( A 1 , . . . , A n
p1q
ñ A 1 η, . . . , A n η haben P -Beweisbaum. Alle diese P -Beweisbäume können nun kombiniert werden, und
ergeben den P -Beweisbaum für A 0 , also folgt: A 0 η hat P -Beweisbaum. Dieser hat die Form
A 0 η
A 1 η . . . A n η
Nun müssen wir noch den vorher angenommenen Hilfssatz beweisen.
M, η ( A; A ” ppE 1 , . . . , E n q ðñ lomon E 1 η . . . , E n ηq P Mp
“E 1 η
ðñ ppE 1 η, . . . , E n ηq
looooooooomooooooooon
“Aη
hat P -Beweisbaum
Wir haben jetzt gezeigt, dass M ein Modell von P ist. Wir hatten vorausgesetzt, dass A logische
Konsequenz von P ist, d.h. jedes Modell das P erfüllt, muss auch A erfüllen. Damit nach Voraussetzung
auch M ( @A
ñ M, id ( A ñ p1q
A hat P -Beweisbaum
Damit können wir nun den Beweis der Vollständigkeit der SLD-Resolution führen.
Beweis: Vollständigkeit der SLD-Resolution
Sei Q “Ð A 1 , . . . , A m . Aus P ( @A 1 σ ^ ¨ ¨ ¨ ^ A m σ können wir durch Auseinanderziehen der Konjunktion
P ( @A i σ für i “ 1 . . . m erhalten. Damit können wir die Ergebnisse des vorherigen Beweises
anwenden.
Per Vollständigkeit der Resolution: A 1 σ, . . . , A m haben P -Beweisbäume,
Gesamtanzahl Knoten — n ě 0
Konstruiere induktiv SLD-Herleitung (in n Schritten)
D
δ “ pQ “ Q
0
0 ù Q1 ù ¨ ¨ ¨ ù Q n q
daraus gewinnen wir jeweils die allgemeinsten Unifikatoren der einzelnen Ableitungsschritte; D k ist der
37

Kopf (das positive Literal) einer Regel.
ϑ k`1 “ σpQ k{ D k q, γ k Substitution mit . . . (EX now..)
Satz 20. Vollständigkeit der SLD-Resolution
Sei P ein definites Programm, Q eine Anfrage, σ eine Substitution mit
D
@P ( @␣Qσ ñ Dδ “ pQ “ Q
0
0 ù Q1 ù ¨ ¨ ¨ ù Q n “
mit Qrpδqγ “ Qσ für alle γ
q
Beweis: [
TODO: title] Sei Q “Ð A 1 , . . . , A n , also @P ( @A 1 σ ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n σ, also
@P ( @A i σ, i “ 1, . . . , n. Die A i σ haben P -Beweisbäume (nach vorigem Satz), Gesamtzahl Knoten
— n. Konstruktion induktiv:
mit (für alle k)
• Q 0 ϑ 1 ϑ 2 . . . ϑ k γ k “ Qσ
D
S “ pQ “ Q
0
0 ù Q1 , ¨ ¨ ¨ ù Q n “
ϑ k`1 – σpQ k , D k q, γ k
• Jedes Atom in Q k γ k hat P -Beweisbaum, Gesamtzahl Knoten n ´ k
Dann:
Gesamtzahl Knoten in P -Beweisbaum für Q n γ n ist 0, also Q n “ .
Induktion:
σpδq “ ϑ 1 . . . ϑ n´1 æ Vars(Q)
Qσpdeltaqγ n “
Q lomon
“Q 0
ϑ 1 . . . ϑ n γ n “ Qσ
k “ 0 Q 0 “ Q, γ 0 “ σ
k Ñ k ` 1 Sei RpQ k q “ i, Q k “ Q 1 k , ␣Ak i , Q k“
Nach Induktionsvoraussetzung (IV) hat A k i γ k P -Beweisbaum mit r ě 1 Knoten.
—V
D ” B 0 Ð B 1 , . . . , B n P P
A k i γ k ” B 0 τ
B 1 τ, . . . , B n τr ´ 1 Knoten.
Sei π : Vars ÞÑ Vars bijektiv mit Vlooooomooooon
arspDπq Y loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
pVarspQ k q Y VarspQ 0 ϑ 1 . . . ϑ k qq “ H, d.h. die Variablen
in Dπ sind frisch. Sei weiterhin Substitution α
auf V wie π´1 τ,
—W
auf W wie γ k
38

definiert.
Dann:
A k i α “ A k i γ k “ B 0 τ “ B 0 ππ´1 τ “ B 0 πpπ´1 τq “ pB 0 πqα
ñ A k i und B 0 π sind unifizierbar, α ist Unifikator, also existiert γ k`1 mit
Dann:
mgu pA k i , Bπq looomooon
“ϑ k`1
qγ k`1 “ α; Q k`1 – pQ k , B 1 π, . . . , B n π, Q k “qϑ k`1
Q k`1 γ k`1 “ pQ 1 k , B 1π, . . . , B n π, Q k “qα “ pQ 1 k γ k, B 1 τ, . . . , B n τ
looooooomooooooon
also pn ´ kq ´ 1 “ n ´ pk ` 1q Knoten im P -Beweisbaum und
r´1 Knoten in P -Beweisbaum
Q 0 ϑ 1 . . . ϑ k`1 γk ` 1 “ Q 0 ϑ 1 . . . ϑkα “ Qlooooomooooon
0 ϑ 1 . . . ϑ k γ k “ Qσ
IV
VarsĎW
, Q k “γ k q
4. Formale Deduktion in Aussagenlogik
Hilbert Viele Axiome, wenig Regeln; meist nur modus ponens: (mp) A
AÑB
B
Gentzen ϕ 1 , . . . , ϕ n Ñ π 1 , . . . , π k Wobei alle ϕ jeweils ein π implizieren (Die Formeln der linken Seite
sind konjunktiv verknüpft, die der rechten Seite disjunktiv).
Natürliches Schließen Ein einfacher Fall: Prämisse(n)
Konklusion
alle Prämissen bereits hergeleitet sind.
gestattet die Herleitung der Konklusion, wenn
Wir betrachten im folgenden ein System natürlichen Schließens, das Fitch-Kalkül.
Beispiel: Regeln für eine auf Konjunktion beschränkte Logik
p^Iq A
B
A^B
p^E1q A^B
A
p^E2q A^B
B
Die Regel (^I) („Und-Introduktion“) erlaubt es uns, sofern wir bereits A und B geschlossen haben,
auch A ^ B zu schließen, die Regeln p^E1q und p^E2q („Und-Elimination“) erlauben es, aus einer
bereits geschlossenen Konjunktion deren Teilsätze zu schließen.
Notation: Wir schreiben Φ $ ϕ, wenn φ per Regeln aus Annahmen in Φ (Φ Menge von Formeln) rein
syntaktisch herleitbar ist.
Schreibweise:
Baumartig:
z.B. tA ^ Bu $ B ^ A:
3
p^E2q A^B
A
B^A
A^B
B
p^E1q
p^Iq
3 Gödel, Escher, Bach; logische Schildkröte vs. Achilles
39

Der Übersichtlichkeit halber verwenden wir im folgenden eine lineare Darstellung des Beweisablaufs:
1 A ^ B
2 B (^E2) (1)
3 A (^E1) (1)
4 B ^ A p^Iqp2, 3q
Wir notieren in jedem Schritt die gezogene Konklusion (erste Spalte) sowie die verwendete Regel und
die Prämissen (zweite Spalte). Die erste Zeile stelle eine lokale Annahme dar.
Innerhalb eines Beweises ist es möglich, dass ein Unterbeweis als Prämisse verwendet wird, es ergibt
sich daraus eine hierarchische Struktur. Unterbeweise haben lokale Annahmen, die ebenso wie oben
unterstrichen werden. Darauf aufbauend können wir unser Regelwerk erweitern:
A
.
.
pK Iq
A
␣A
K
K
pK Eq beliebig
p␣ Eq
␣␣A
A
p␣Iq
K
␣A
Beispiel: $ ␣pA ^ ␣Aq
1
2 A ^ ␣A
3 A p^E1q, 1
4 ␣A p^E1q, 1
5 K pKIq, 2, 3
6 ␣pA ^ ␣Aq p␣Iq, 1 ´ 4
40

Schließen von A oder B (_I1)
A
A_B (_I2)
B
A_B
(_E)
pAñC,BñC,A_B
C
pÑ Eq AÑB A
B
pÑ Iq Añ ...B
AÑB
Herleitung von pÑ Iq bei Codierung A Ñ B ” ␣p␣␣A ^ ␣Bq
1 ␣␣A ^ ␣B Annahme
2 ␣␣A ^E 1
3 A ␣E
1.␣␣A ^ ␣B2.␣␣A3.A . . . n.Bn ` 1 : ␣Bn ` 2 : Kn ` 3 : ␣p␣␣A ^ ␣Bq ” A Ñ B
pÑ EqbeiA Ñ B “ ␣A_B1.A2.A Ñ B “ ␣A_B3.p␣A ñ K, pKI1, 3q ñ BpKEq4.pB ñ Bq5.Bp_E3, 4q
Satz 21. (Korrektheit)
Φ $ π ñ Φ ( π
Beweis: [
TODO: title] Induktion über die Länge der Herleitung von Φ $ πpn ă k Ñ n ď kq.
Fallunterscheidung nach letzter Regel, z.B. für p␣Iq:
Herleitung: Φ(unterbeweis) ñ pψ . . . ..␣ψ Nach IV folgt aus Φ Y tψu $ K bereits Φ Y tψu ( J. Also
Φ ( ␣ψ: Wenn κ ( Φ, dann κ * ψ, also κ $ ␣ψ
Es gilt auch
Satz 22. Vollständigkeit
Φ ( π ñ Φ $ π
Beweis: [
TODO: title]
(A) Reduziere auf Φ konsistent, d.h. Φ & K ñ Φ erfüllbar.
Φp␣π . . . Kqp␣␣π “ą πq
(B) Reduziere mit
Def. Φ maximal konsistent ðñ
(i) Φ kons.
Φ ( π ñ Φ Y t␣πu unerfüllbar, also inkonsistent, also
(ii) P hi ist maximal bezüglich Ď unter den kons. Mengen, d.h. Ψ kons., Φ Ď Ψ ñ Φ “ Ψ
auf Φ maximal konsistent ñ Φ erfüllbar per
Lindenbaumlemma: Φ konsistent ñ es existiert Φ max. kons mit Φ Ď Φ
41

Dazu:
Lemma 23. (C) Sei Φ konsistent, dann Φ Y tπu konsistent oder Φ Y t␣πu konsistent.
Beweis: [
(C)] Per Kontraposition: Φpπ . . . Kqp␣π . . . Kq Also quasi π _ ␣π (_E)
Beweis: [
Lindenbaumlemma]
a) Zorn Vereinigung aufsteigender Ketten von konsistenten Mengen sind konsistent.
oder b) Sei ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , . . . Aufzählung aller Formeln. Konstr. Φ “ Φ 0 Ď Φ 1 Ď Φ 2 Ď . . . per Φ i`1 “
#
Φi Y tϕ i u wenn konsistent
Φ i Y t␣ϕ i u
sonst
Setze Φ – Ť 8
i“0 Φ i. zZ:
(i) Φ kons.: Wenn Φ $ K (mit endlichem Beweis), dann schon Φ i $ K für ein i
hkikj
(ii) Φ maximal: Sei Φ Ď Φ 1 konsistent, π P Φ 1 . Anmerkung: π R Φ. ñ ϕ n R Φ n`1 ñ Φ n Y tϕ n u
“ϕ n
looooomooooon
inkonsistent
ĎΦ 1
Beweis: [
(B)] Zeige:
(i) K R Φ [klar]
(ii) ␣π P Φ ðñ π R Φ
(iii) ψ ^ π P Φ ðñ ψ P Φ und π P Φ
Φ max. kons.
ad (ii): „ñ“ klar, „ð“: Φ Y tπu ‰ Ą Φ ñ Φ Y tπu inkonsistent.
ñ
ñ
Lemma CΦ Y t␣πu konsistent, Φ max. kons ␣π P Φ.
ad (iii): „ñ“ reicht zZ: ΦYtψu, ΦYtπu konsistent, z.B.: Anmerkung: ΦYtψu $ Kp^E1qΦYtψ^πu $ K,
„ð“ analog mit p^Iq
ñ
tx ą k|k P Nu
ñ
ψ, π P Φ ñ Φ $ ψ ^ πΦ kons.Φ Y tψ ^ πu konsistent ñ ψ ^ π P Φ.
Setze κpAq “ J ðñ A P Φ.
Wahrheitslemma: „
κ ( π ðñ π P Φj
Beweis: Induktion über π per Definition und (i)-(iii).
κ ( ␣π ðñ κ * π ðñ
IV π R Φ piiq ðñ
␣π P Φ
Korollar: Φ Formelng (??), für alle Φ 0 Ď Φ mit Φ 0 endlich, Φ 0 erfüllbar ñ Φ erfüllbar. (Kompaktheit):
ðñ
Beweis: Φ erfüllbar ðñ Φ * KvollständigΦ & K
42

4.1. Natürliches Schließen mit Quantoren
Notation
Voraussetzung 1 . . . Voraussetzung n
Konklusion
Sprich „Wenn ich weiß, dass Voraussetzung 1, dots und Voraussetzung n gelten, dann kann ich folgern
dass auch Konklusion gilt. Kürzer lässt sich das schreiben, wenn die Voraussetzungen und Konklusionen
als Buchstaben abgekürzt werden:
A 1 , . . . , A n
B
Wir können jetzt in dieser Syntax herleiten, dass Sokrates sterblich ist, aus den Prämissen/Voraussetzungen
dass alle Menschen sterblich sind und dass Sokrates ein Mensch ist:
Menschen sind sterblich Sokrates ist ein Mensch
Sokrates ist sterblich
Kürzer können wir das in Quantorenschreibweise darstellen:
@X.SpXq
S(Sokrates)
Sprich „Für alle X (Menschen) gilt, dass S(X) (X ist sterblich), daraus folgt dass Sokrates (ein X )
sterblich ist.“
4.2. @- und D-Quantor
Wir betrachten nun die Quantoren @ (für alle. . . ) und D (es existiert. . . ).
Die @-Elimination sieht dann so aus:
@x.Φ
@E Φrc{xs
also umgangssprachlich „Wenn für alle x Φ gilt, dann gilt auch Φ wenn man x durch c ersetzt“.
Umgekehrt können wir sagen, dass wenn wir ein c finden, aus dem Φ - möglicherweise durch Ersetzung
von allen x durch dieses c - folgt, dann können wir sagen dass Φ für alle x gilt. In Beweis-
Kurzschreibweise:
c
.
(@I)
Φrc{xs
@x.Φ
Die Introduktion für D geht (umgangssprachlich) so: „Wenn du ein c findest, so dass Φ erfüllt ist, wenn
du es für alle x in Φ einsetzt (x durch c ersetzt), dann darfst du sagen, dass ein x existiert, das Φ
erfüllt“.
(DI)
Φrc{xs
DxΦ
43

Das klingt erstmal nach einer Nullaussage, aber wenn man dann Beweise führt und D auflösen muss,
funktioniert das meist genau nach dem Prinzip „Finde irgendein c für dass Φ gilt“.
Im Prinzip sucht man also ein Gegenbeispiel gegen @x␣Φ, man kann also zusammenfassen:
␣@x␣Φ ô DxΦ
(DE)
dabei darf c nicht in ψ vorkommen.
DX.Φ
ψ
.
c Φrc{Xs
ψ
Beweis von (D I)
1 Φrc{xs
2 @x␣Φ
3 ␣Φrc{xs (@E, 2)
4 K (KI 1, 3)
5 ␣@x␣Φ (␣I 1-4)
6 DxΦ
Beweis von (D E)
1 ␣@x␣Φ
2 c Φrc{xs
3 .
4 ψ
5 ␣ψ
6 c
7 Φrc{xs
8 ψ (2, 3)
9 K (KI 4,7)
10 ␣Φrc{xs (␣I 6-8)
11 @x␣Φ (@I 5-9)
12 K (KI 1,10)
13 ␣␣ψ (␣I 4-11)
14 ψ (␣E, 12)
44

Folgerung der Existenz aus der Allquantifiziertheit p@xP pxqq Ñ pDxP pxqq
1 @xP pxq
2 P pcq (@E, 1)
3 Dx.P pxq (DI, 2)
Wir nehmen also einfach irgendein c, dass laut Bedingung P pxq erfüllt, und können damit dann sagen
es existiert ein Ausdruck c, der P pcq erfüllt.
Transitivität des @-Quantors
1 @xpP pxq Ñ Qpxqq
2 @zpQpzq Ñ Rpzqq
3 d P pdq
4 P pdq Ñ Qpdq (@E, 1)
5 Qpdq (ÑE 3, 4)
6 Qpdq Ñ Rpdq (@E 2)
7 Rpdq (ÑE 5, 6)
8 @xpP pxq Ñ Rpxqq (@I* 3-7)
5. Vollständigkeit der Prädikatenogik erster Stufe
hier: ohne Gleichheit (“), Funktionssymbole (aber mit Konstanten)
Satz 24. Φ ( π ñ Φ $ π in Prädikatenlogik
Strategie
(A) Erweitere Σ, Φ zu Σ H , Φ Y H
Σ H Ě Σ Zeugenkonstanten c ϕpxq
H Q pDx.ϕpxqq Ñ ϕpc ϕpxq q
(B) Beweise Φ Y H $ ρpρ über Σq
ñ Φ $ ρ 4
(C) Henkin-Konstr.: Fassen FO 5 -Formeln als aussagenlogische Formeln auf, @X.ϕDX.ϕ, P p. . . q
Atome. Aus κ mit kappa looooooooomooooooooon ( Φ Y H konst. M k mit looomooon M k ( Φ
Aussagenlogik
Dann: Φ ( π ñ ΦY␣π unerfüllbar (in FOL)
ñ lomon
Henkin-Konstr.
H $ π in Aussagenlogik lomon ñ Φ $ π in FOL .
B
First-Order-Logik(FOL)
ΦYt␣πuYH unerfüllbar.
ñ lomon
Vollständigkeit der Aussagenlogik
ΦY
4 Henkin-Elimination
5 first-order
45

5.1. Beweise der drei Behauptungen
Beweis: A
Wollen für jede Formel Dx.ϕpxq Zeugen c ϕpxq , aber: Zeugen erzeugen neue Formeln, z.B. Dy.P `y, c ϕpcq˘
Lösung: Iterieren ù Σ “ Σ 0 Ď Σ 1 Ď Σ 2 . . . ; Σ H “ Ť 8
i“0 Σ i Jedes c ϕpxq hat Geburtstag minti|c ϕpxq Ð
Σ i u
H :
H1: pDx.ϕpxqq Ñ ϕpc ϕpcq q
H2: ϕpcq Ñ Dx.ϕpxq
H3: ␣@x.ϕpxq Ø Dx.␣ϕpxq
Beweis: B
H2, H3 beweisbar in FOL. H1 eliminieren: Wir wählen Instanz von H1 min jüngstem c ϕpxq . Dann
Φ Y lomon H YtpDx.ϕpxqq Ñ ϕpc ϕpxq qu $ ρ
ĎH
so dass c ϕpxq in Φ, ρ, H 0 nicht vorkommt.
ñ ΦYH 0 Yt␣Dx.ϕpxqu $ ρ und ΦYH 0 tϕpc ϕpxq qu $ ρ pDEqΦYH 0 YtDx.ϕpxqu $ ρA _ ␣AΦYH 0 $ ρ,
iterieren, fertig.
ñ
ñ
On a related Note:
1 A Ñ B ” ␣A _ B
2 c ϕpcq
3 .
4 ρ
5 Dx.ϕpxq
6 ρ
Beweis: C
M k “ Menge der Konstanten in Σ H
M κ pcq “ cM κ pP q “ tpc 1 , . . . , c n q|κpP pc 1 , . . . , c n qq “ Ju Wahrheitslemma: ρ Satz ñ pM κ ( ρ looomooon
κ ( ρ lomon
Aussagenlogik
q Beweis(Wahrheitslemma) Induktion über die Größe von ρ: Zähle 2 für @x, 1 für
Dx, ␣, ^.
Fälle: ρ “ P pc 1 , . . . , c n q: OK nach Konstruktion
␣, ^: klar (warum auch immer..)
ρ ” Dx.ϕpxq
„ñ“: Dann ex. c P Σ H mit M κ ( ϕpcq lomon
kleiner als ϕ
ñ
IV κ ( ϕpcq ñ H2κ ( Dx.ϕpxq
FOL
ô
̌ „ð“:
46

hkkkikkkj
κ ( Dx.ϕpxqH1κ ñ ( ϕpc ϕpxq q kleiner als ρIV ñ
M κ ( ϕpc ϕpxq q ñ M κ ( Dx.ϕpxq ρ ” @x.ϕpxq : M κ (
hkikj 2
@x.ϕpxq ô M κ * looooomooooon Dx.␣ ϕpxq
kleiner als
lomon @x
3
.ϕpxq
ô
IV κ * Dx.␣ϕpxq ô H3κ * ␣@x.ϕpxq ô k ( @x.ϕpxq
Dx.fpcq “ x also fpcq c fpcq“x
Korollar: Φ konsistent ô Φ erfüllbar
ñ Vollständigkeit
ð Korrektheit
Beweis:
Korollar: Kompaktheit: Φ endlich erfüllbar (d.h. jede endliche Teilmenge von Φ ist erfüllbar) ñ Φ
erfüllbar Beweis: analoge Eigenschaft gilt für Konsistenz
Beispiel:
Φ Theorie der natürlichen Zahlen N in FOL Φ Y tc ą k|k P Nu (d.h. k P t0, sp0q, spsp0qq, . . . , u)
47

A. Regeln für natürliches Schließen im Fitchkalkül
A.1. Regeln für ^ und _
(^E)
A ^ B
A
(^E)
A ^ B
B
A
(^I)
A B
A ^ B
B
A
(_I) A _ B
B
(_I) A _ B
A _ B
.
.
C
C
(_E)
C
A.2. Regeln für K und ␣
(KI)
A ␣A
(KE)
K
K
X
X ist hierbei beliebig, die Regel (KE) formalisiert „Ex falso quodlibet“ 6
A
(␣E)
␣␣A
A
.
K
(␣I)
␣A
A.3. Regeln für @
c
c
Ψrc{Xs
.
Φrc{Xs
.
Φrc{Xs
@X.Φ
(@E) Φrc{Xs
(@I)
(@I)
@X.Φ
@X.pΨ Ñ Φq
Wobei Φrc{Xs für Φ mit allen freien X durch c ersetzt steht.
A.4. Regeln für D
c
Φrc{Xs
Φrc{Xs DX.Φ
(DI)
DX.Φ
(DE)
Wobei c nicht in ψ vorkommen darf.
ψ
.
ψ
6 eigentlich ex falso sequitur quodlibet (lat., aus Falschem folgt Beliebiges)
48