Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Kopf (das positive Literal) einer Regel.
ϑ k`1 “ σpQ k{ D k q, γ k Substitution mit . . . (EX now..)
Satz 20. Vollständigkeit der SLD-Resolution
Sei P ein definites Programm, Q eine Anfrage, σ eine Substitution mit
D
@P ( @␣Qσ ñ Dδ “ pQ “ Q
0
0 ù Q1 ù ¨ ¨ ¨ ù Q n “
mit Qrpδqγ “ Qσ für alle γ
q
Beweis: [
TODO: title] Sei Q “Ð A 1 , . . . , A n , also @P ( @A 1 σ ^ ¨ ¨ ¨ ^ A n σ, also
@P ( @A i σ, i “ 1, . . . , n. Die A i σ haben P -Beweisbäume (nach vorigem Satz), Gesamtzahl Knoten
— n. Konstruktion induktiv:
mit (für alle k)
• Q 0 ϑ 1 ϑ 2 . . . ϑ k γ k “ Qσ
D
S “ pQ “ Q
0
0 ù Q1 , ¨ ¨ ¨ ù Q n “
ϑ k`1 – σpQ k , D k q, γ k
• Jedes Atom in Q k γ k hat P -Beweisbaum, Gesamtzahl Knoten n ´ k
Dann:
Gesamtzahl Knoten in P -Beweisbaum für Q n γ n ist 0, also Q n “ .
Induktion:
σpδq “ ϑ 1 . . . ϑ n´1 æ Vars(Q)
Qσpdeltaqγ n “
Q lomon
“Q 0
ϑ 1 . . . ϑ n γ n “ Qσ
k “ 0 Q 0 “ Q, γ 0 “ σ
k Ñ k ` 1 Sei RpQ k q “ i, Q k “ Q 1 k , ␣Ak i , Q k“
Nach Induktionsvoraussetzung (IV) hat A k i γ k P -Beweisbaum mit r ě 1 Knoten.
—V
D ” B 0 Ð B 1 , . . . , B n P P
A k i γ k ” B 0 τ
B 1 τ, . . . , B n τr ´ 1 Knoten.
Sei π : Vars ÞÑ Vars bijektiv mit Vlooooomooooon
arspDπq Y loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
pVarspQ k q Y VarspQ 0 ϑ 1 . . . ϑ k qq “ H, d.h. die Variablen
in Dπ sind frisch. Sei weiterhin Substitution α
auf V wie π´1 τ,
—W
auf W wie γ k
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