Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

• K “ A ^ ␣A
• J “ ␣K
• pϕ _ ψq “ ␣p␣ϕ ^ ␣ψq
• ϕ Ñ ψ “ ␣ϕ _ ψ
• ϕ Ø ψ “ pϕ Ñ ψq ^ pψ Ñ ϕq
1.2. Semantik
1.2.1. Semantik der logischen Operatoren
Die Sprechweisen und Bedeutungen der logischen Operatoren, für zwei beliebige Aussagenlogische
Terme ϕ und ψ sind
ϕ ^ ψ „ϕ und ψ gelten beide“
␣ϕ „ϕ gilt nicht“
ϕ _ ψ „mindestens eines der beiden gilt“
ϕ Ñ ψ „wenn ϕ gilt, dann gilt auch ψ“
ϕ Ø ψ „ϕ gilt genau dann, wenn ψ gilt“ (beide Ausdrücke haben die gleiche Wahrheitstabelle)
J „Top“, „Wahr“
K „Bottom“, „Falsch“
1.2.2. Der Erfülltheitsoperator (
Definition: Erfülltheit
Wahrheitsbelegung κ : A Ñ 2 lomon
tJ,Ku
κ erfüllt ϕ: κ ( ϕ bzw. ( ϕrκs, rekursiv definiert durch
(i) κ ( A ô κpAq “ J
(ii) κ ( ϕ ^ ψ ô κ ( ϕ und κ ( ψ
(iii) κ ( ␣ϕ ô κ * ϕ
definiert Wahrheitswert einzelner Atome
κ erfüllt also ein Atom A, wenn eben im „Welt-Zustand“ A erfüllt – also wahr – ist, ansonsten nicht.
Die Und-Verknüpfung zweier Formeln ϕ und ψ ist erfüllt, wenn beide erfüllt sind, die Negation
einer Formel ist erfüllt, wenn die Formel in κ nicht erfüllt ist.
Im Prinzip schauen wir also immer nur im „Welt-Zustand“ nach, ob eine Formel bzw. die Atome
aus denen sie aufgebaut ist, erfüllt sind.
Wir können zusätzlich zu obiger Definition feststellen, dass κ ( J stets und κ ( K nie wahr sind.
Die Oder- und die Folgerungs-Verknüpfungen, die nicht Teil der Definition sondern daraus abgeleitet
sind, verhalten sich bzgl. κ ebenfalls erwartungsgemäß:
κ ( ϕ _ ψ ô pκ ( ϕ oder κ ( ψq
κ ( ϕ Ñ ψ ô pFalls κ ( ϕ, so auch κ ( ψq
κ ( ϕ Ø ψ ô pκ ( ϕ genau dann wenn κ ( ψq
Die Definition soll am Beispiel der Formel pA _ ␣Bq Ñ B verdeutlicht werden
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