Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

definiert.
Dann:
A k i α “ A k i γ k “ B 0 τ “ B 0 ππ´1 τ “ B 0 πpπ´1 τq “ pB 0 πqα
ñ A k i und B 0 π sind unifizierbar, α ist Unifikator, also existiert γ k`1 mit
Dann:
mgu pA k i , Bπq looomooon
“ϑ k`1
qγ k`1 “ α; Q k`1 – pQ k , B 1 π, . . . , B n π, Q k “qϑ k`1
Q k`1 γ k`1 “ pQ 1 k , B 1π, . . . , B n π, Q k “qα “ pQ 1 k γ k, B 1 τ, . . . , B n τ
looooooomooooooon
also pn ´ kq ´ 1 “ n ´ pk ` 1q Knoten im P -Beweisbaum und
r´1 Knoten in P -Beweisbaum
Q 0 ϑ 1 . . . ϑ k`1 γk ` 1 “ Q 0 ϑ 1 . . . ϑkα “ Qlooooomooooon
0 ϑ 1 . . . ϑ k γ k “ Qσ
IV
VarsĎW
, Q k “γ k q
4. Formale Deduktion in Aussagenlogik
Hilbert Viele Axiome, wenig Regeln; meist nur modus ponens: (mp) A
AÑB
B
Gentzen ϕ 1 , . . . , ϕ n Ñ π 1 , . . . , π k Wobei alle ϕ jeweils ein π implizieren (Die Formeln der linken Seite
sind konjunktiv verknüpft, die der rechten Seite disjunktiv).
Natürliches Schließen Ein einfacher Fall: Prämisse(n)
Konklusion
alle Prämissen bereits hergeleitet sind.
gestattet die Herleitung der Konklusion, wenn
Wir betrachten im folgenden ein System natürlichen Schließens, das Fitch-Kalkül.
Beispiel: Regeln für eine auf Konjunktion beschränkte Logik
p^Iq A
B
A^B
p^E1q A^B
A
p^E2q A^B
B
Die Regel (^I) („Und-Introduktion“) erlaubt es uns, sofern wir bereits A und B geschlossen haben,
auch A ^ B zu schließen, die Regeln p^E1q und p^E2q („Und-Elimination“) erlauben es, aus einer
bereits geschlossenen Konjunktion deren Teilsätze zu schließen.
Notation: Wir schreiben Φ $ ϕ, wenn φ per Regeln aus Annahmen in Φ (Φ Menge von Formeln) rein
syntaktisch herleitbar ist.
Schreibweise:
Baumartig:
z.B. tA ^ Bu $ B ^ A:
3
p^E2q A^B
A
B^A
A^B
B
p^E1q
p^Iq
3 Gödel, Escher, Bach; logische Schildkröte vs. Achilles
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