Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Was uns noch fehlt, ist die umgekehrte Richtung, nämlich dass wenn es eine Refutation gibt, diese von
der SLD-Resolution gefunden wird.
Satz 18. Vollständigkeit der SLD-Resolution
Sei P ein definites Programm und Q eine Anfrage.
D
P ( @␣Qσ ñ D δ “ Q “ Q
0 D
0 ù
1 D Q1 ù
2 D Q2 ù . . . ù
n
und es existiert eine Substitution γ (als Antwort der Refutation) mit
Qσpδqγ “ Qσ
Für den Beweis holen wir etwas weiter aus.
Definition: P-Beweisbaum
Sei P def. Programm. Ein P-Beweisbaum (für A) ist ein an den Knoten mit Atomen gelabelter
Baum (mit Wurzellabel A), so dass für jeden Knoten A eine Regel B 0 Ð B 1 , . . . , B n P P existiert
und eine Substitution τ existiert mit B 0 τ “ A. Kinder von A “ B 1 τ, . . . , B n τ (ind n “ 0)
Beispiel: Abstammung reloaded
»D« Descendant, Nachfolger; »C« Child, Kind.
P “ t
DpX, Y q Ð CpX, Zq, DpZ, Y q;
DpX, Xq Ð;
Cpc, bq, CpX, cq Ð
u
Jeder ist also insbesondere sein eigener Nachkomme, außerdem ist c Kind von b und jeder Kind von
c (. . . ).
Als Beweis-Ableitungsbaum geschrieben
D(X,b)
C(X,c)
D(c,b)
C(c,b)
D(b,b)
Satz 19. Vollständigkeit der Resolution
Sei P ein definites Programm, A Atom, P ( A.
Dann existiert ein P -Beweisbaum für A.
Beweis.
Konstruiere Modell M mit M “ Menge aller Σ-Terme (P Programm über Σ) (auch mit Variablen)
MfpE 1 , . . . , E n q “ fpE 1 , . . . , E n q
Mp “ tE 1 , . . . , E n |ppE 1 , . . . , E n q hat P -Beweisbaumu
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