Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Folgerung der Existenz aus der Allquantifiziertheit p@xP pxqq Ñ pDxP pxqq
1 @xP pxq
2 P pcq (@E, 1)
3 Dx.P pxq (DI, 2)
Wir nehmen also einfach irgendein c, dass laut Bedingung P pxq erfüllt, und können damit dann sagen
es existiert ein Ausdruck c, der P pcq erfüllt.
Transitivität des @-Quantors
1 @xpP pxq Ñ Qpxqq
2 @zpQpzq Ñ Rpzqq
3 d P pdq
4 P pdq Ñ Qpdq (@E, 1)
5 Qpdq (ÑE 3, 4)
6 Qpdq Ñ Rpdq (@E 2)
7 Rpdq (ÑE 5, 6)
8 @xpP pxq Ñ Rpxqq (@I* 3-7)
5. Vollständigkeit der Prädikatenogik erster Stufe
hier: ohne Gleichheit (“), Funktionssymbole (aber mit Konstanten)
Satz 24. Φ ( π ñ Φ $ π in Prädikatenlogik
Strategie
(A) Erweitere Σ, Φ zu Σ H , Φ Y H
Σ H Ě Σ Zeugenkonstanten c ϕpxq
H Q pDx.ϕpxqq Ñ ϕpc ϕpxq q
(B) Beweise Φ Y H $ ρpρ über Σq
ñ Φ $ ρ 4
(C) Henkin-Konstr.: Fassen FO 5 -Formeln als aussagenlogische Formeln auf, @X.ϕDX.ϕ, P p. . . q
Atome. Aus κ mit kappa looooooooomooooooooon ( Φ Y H konst. M k mit looomooon M k ( Φ
Aussagenlogik
Dann: Φ ( π ñ ΦY␣π unerfüllbar (in FOL)
ñ lomon
Henkin-Konstr.
H $ π in Aussagenlogik lomon ñ Φ $ π in FOL .
B
First-Order-Logik(FOL)
ΦYt␣πuYH unerfüllbar.
ñ lomon
Vollständigkeit der Aussagenlogik
ΦY
4 Henkin-Elimination
5 first-order
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