Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Unifikatoren sind abgeschlossen über der Spezialisierung, d.h. eine Spezialisierung eines Unifikators ist
selbst wieder ein Unifikator.
σ P UnifpSq ñ στ P UnifpSq
Dies können wir nutzen, um alle Unifikatoren einer Gleichung zu finden, wenn wir einen allgemeinsten
Unifikator gefunden haben. Diesen allgemeinsten Unifikator müssen wir dann nur noch mit Spezialisierungen
versehen, und erhalten daraus alle Unifikatoren.
Definition: Allgemeine Unifikatoren
σ 1 ist allgemeiner als σ 2 , wenn eine Substitution τ existiert mit σ 1 τ “ σ 2 , also wenn σ 2 durch eine
Spezialisierung aus σ 1 hervorgeht.
»σ ist der allgemeinste Unifikator von S« sei definiert als: @σ 1 P Unif(S): σ ist allgemeiner als σ 1 .
Man schreibt: σ “ mgupSq („most general unifyer“).
Lemma 6.
σ “ mgupSq ñ UnifpSq “ tστ|τ Subst. u
Kennt man den allgemeinsten Unifikator von S, so kann man durch Spezialisierungen alle anderen
Unifikatoren bestimmen.
Behauptung: Der mgu ist eindeutig bis auf eindeutige injektive Umbenennung von Variablen, d.h.
σ, σ 1 sind mgu von S ñ es existiert τ : σ 1 “ στ mit den Eigenschaften:
• τ ist eindeutig bestimmt auf V arspσq “ Ť xPV ars V arspσpxqq
• τ ist injektiv auf V arspσq.
TODO: den beweis nochmal durchchecken
Beweis: Eindeutigkeit des mgu bis auf Umbenennung
τ existiert, da σ ein mgu und σ 1 Unifikator, ebenso existiert τ 1 mit σ 1 τ 1 “ σ.
(i) τ eindeutig auf x P V arspσpyqq, wenn auch σ 1 “ στ, dann
σpyqτ “ σ 1 pyqτ, also notwendig τpxq “ τpxq
(ii) τ injektiv auf V arspσq. Mit (i) insbesondere
στ 0 “ σ ñ τ 0 pxq “ x für alle x P V arspσq (2)
Nach (2) folgt aus σττ 1 “ σ, dass τ 1 τpxq “ x für alle x P V arspxq, also falls τpxq “ τpyq für
x, y P V arspσq, so gilt x “ ττ 1 pxq “ τ 1 τpyq “ y ̌
Damit ist die Eindeutigkeit in der Semantik gezeigt, Umbenennung von Variablen ist aber trotzdem
möglich.
Beweis der Existenz eines mgu durch Angabe eines Algorithmus, der einen solchen mgu findet, z.B.
Robinson:
TODO: fix indentation and some formulas TODO: also the labels (1)-(3) are really overlookable
20