Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

4.1. Natürliches Schließen mit Quantoren
Notation
Voraussetzung 1 . . . Voraussetzung n
Konklusion
Sprich „Wenn ich weiß, dass Voraussetzung 1, dots und Voraussetzung n gelten, dann kann ich folgern
dass auch Konklusion gilt. Kürzer lässt sich das schreiben, wenn die Voraussetzungen und Konklusionen
als Buchstaben abgekürzt werden:
A 1 , . . . , A n
B
Wir können jetzt in dieser Syntax herleiten, dass Sokrates sterblich ist, aus den Prämissen/Voraussetzungen
dass alle Menschen sterblich sind und dass Sokrates ein Mensch ist:
Menschen sind sterblich Sokrates ist ein Mensch
Sokrates ist sterblich
Kürzer können wir das in Quantorenschreibweise darstellen:
@X.SpXq
S(Sokrates)
Sprich „Für alle X (Menschen) gilt, dass S(X) (X ist sterblich), daraus folgt dass Sokrates (ein X )
sterblich ist.“
4.2. @- und D-Quantor
Wir betrachten nun die Quantoren @ (für alle. . . ) und D (es existiert. . . ).
Die @-Elimination sieht dann so aus:
@x.Φ
@E Φrc{xs
also umgangssprachlich „Wenn für alle x Φ gilt, dann gilt auch Φ wenn man x durch c ersetzt“.
Umgekehrt können wir sagen, dass wenn wir ein c finden, aus dem Φ - möglicherweise durch Ersetzung
von allen x durch dieses c - folgt, dann können wir sagen dass Φ für alle x gilt. In Beweis-
Kurzschreibweise:
c
.
(@I)
Φrc{xs
@x.Φ
Die Introduktion für D geht (umgangssprachlich) so: „Wenn du ein c findest, so dass Φ erfüllt ist, wenn
du es für alle x in Φ einsetzt (x durch c ersetzt), dann darfst du sagen, dass ein x existiert, das Φ
erfüllt“.
(DI)
Φrc{xs
DxΦ
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