Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Beweis: Korollar
Setze M p “ Ş µ mit µ “ tM|M ( P, M ist Herbrandmodell u
Beispiel:
Σ “ t Male, Female, Adam, Eva u
P “ tMpAq, F pEqu
Die Herbrand-Modelle von P sind nun alle Obermengen von tMpAq, F pEqu
Das Korollar gilt nicht für beliebige Formelmengen
Beispiel:
Σ “ t p, q, a u
Φ “ tppaq _ qpaqu
tppaqu und tqpaqu sind beide Herbrand-Modelle für Φ (Teilmengen der Herbrand-Basis und erfüllen
Φ), und sind beide minimal. Dass beide minimal sind, bedeutet dass kein kleinstes Herbrand-Modell
existiert, was dem Korollar bereits widerspricht. Außerdem lässt sich zeigen, dass die Erfülltheit
auch nicht mehr Stabil bezüglich der Schnittmengenbildung ist, sobald in der Formel Disjunktionen
(Veroderungen) enthalten sind:
tppaqu X tqpaqu “ H . Φ.
Wenn wir uns überlegen, wie viele Herbrand-Modelle es für dass odd-Programm gibt, dann kommen
wir zu folgender Beschreibung aller solcher Modelle:
HM von P : tM 4 Y toddps n p0qq|n gerade, n ě 2Nu|N P Nu Y tM 4 u
Das kleinste Herbrand-Modell ist in diesem Fall M 4 .
Der folgende Satz zeigt nun endlich, warum wir das Modell überhaupt verwenden, warum wir die
ganze Konstruktion überhaupt machen: wir haben mit dem kleinsten Herbrand-Modell M p nämlich
ein Modell, dass genau die erfüllbaren Queries erfüllt.
Satz 14. P Y tQu erfüllbar für alle Programme P, Anfragen Q ðñ M p ( Q
(genau das versucht die Prolog-Engine zu widerlegen!)
Beweis: Satz
Es sind wie immer bei „genau-dann-wenn“-Beziehungen beide Richtungen der Implikation zu zeigen.
ð klar; M p ist kleinstes Herbrand-Modell von P , erfüllt also P und laut Voraussetzung auch Q, also
auch P Y tQu.
ñ Diese Richtung ist etwas schwieriger, was auch an der größeren Aussagekraft liegt; dass nämlich,
sobald wir irgendein Modell M haben, das P und Q erfüllt, M p ein Modell ist. P Y tQu ist
von der Form @Φ, also der universelle Abschluss einer Formelmenge Φ. Mit dem Satz 11 über
die Herbrand-Vollständigkeit, der besagt dass jede erfüllbare Formelmenge der Form @Φ ein
Herbrand-Modell hat.
Daraus folgt (mit Satz 11), dass D Herbrand-Modell M.M ( P Y tQu
ZZ: M p ( Qσ wobei Qσ ground instance von Q. Nach Satz 9 genügt es, zu zeigen dass alle
ground instances erfüllt sind, dann ist auch die allquantifizierte Formel erfüllt.
Da M Q erfüllt, erfüllt es insbesondere auch den universellen Abschluss von Q und damit alle
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