Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Per Induktion über ϕ gilt:
M 1 ( ϕσ ðñ M ( ϕσ
Da ϕ quantorenfrei ist, also nurnoch boolesche Operatoren und atomare Formeln enthalten kann (die
booleschen Fälle folgen aus der Definition), ist die Gleichheit nurnoch für atomare Formeln zu zeigen,
was nach Konstruktion gilt.
M ( @ϕ, da M ( @Φ
Wenn irgendein Modell einen allquantifizierten Satz erfüllt, erfüllt es insbesondere alle ground instances
des Satzes.
Der Satz gilt nicht für bel. Formelmengen, z.B.
Beispiel:
Φ ist erfüllbar, z.B. in ta “ H, Domppq “ t1uu
Φ “ t␣ppaq, DX.ppXqu, Σ “ ta, pu
U Σ “ tau, B Σ “ tppaqu
Dieses erfüllt beide Formel in Φ, hat aber kein Herbrand-Modell, da die zwei möglichen Herbrand-
Modelle – tppaqu und tu – nicht erfüllt sein können.
Bemerkung: Wählen wir M “ B Σ , also quasi das größtmögliche Herbrand-Modell, dann erfüllt M
immer P , wobei P ein definites Programm ist. M erfüllt P , wenn es alle ground instances von P erfüllt.
Für A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P gilt M ( A 0 σ. Es gilt im allgemeinen nicht, dass M ( Q.
Es zeigt sich, dass verschiedene Herbrand-Modelle nicht unbedingt gleich gut sind.
Wir erinnern uns an das Programm von vorher, in dem wir odd definiert hatten. In unseren 5 Herbrand-
Modellen M 1 , . . . , M 5 . Zum Beispiel ist das Modell M 5 offenbar nicht was beabsichtigt war, da in
diesem Modell jede Zahl ungerade ist.
Wir antworten auf diese Ungereimtheit mit folgendem
Satz 12. Zunächst nehmen wir uns eine Menge von Herbrand-Modellen und bilden ihre Schnittmenge.
Sei µ eine Menge von Herbrand-Σ-Modellen, P ein definites Programm (also eine Stufe spezieller als
»quantorenfreie Formelmenge«). M ( P für alle M P µ. Dann erfüllt diese Schnittmenge Ş µ “ M
das Programm P (M ( P ).
Beweis: Satz
Sei D eine definite Klausel D “ A 0 Ð A 1 , . . . , A n P P, Dσ eine ground instance. zZ: M ( Dσ, also
dass wenn die Annahmen A 1 , . . . , A n erfüllt sind, dass dann auch die Konklusion A 0 erfüllt ist. Seien
A 1 σ, . . . , A n σ P M, dann ist zZ: A 0 σ P M, d.h. für alle M P µ : A 0 σ P M.
Wir wissen, dass M ( P @M P µ. Daher reicht es, zu zeigen, dass A 1 σ, . . . , A n σ in M enthalten sind.
Da M Ď M ist (M ist Schnittmenge), und A 1 σ, . . . , A n σ P M, liegen sie auch in M .
Korollar 13. Sei P ein definites Programm, dann hat P ein kleinstes Herbrand-Modell M p , das in
allen anderen Herbrand-Modellen enthalten ist.
30