Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Definition: Herbrand-Σ-Modell
Ein Herbrand-Σ-Modell ist ein Σ-Modell M mit
• M = U Σ
• Für f{n P Σ gilt
MfpE 1 , . . . , E n q
Lemma 8. Sei M Herbrand-Σ-Modell. Dann ist MEη “ Eη. Was wir hierbei zum Verständnis
beachten müssen, ist dass η eine Substitution ist (eine Abbildung von Variablen auf Terme).
Beweis: Lemma 8
Der Beweis erfolgt durch Induktion über E.
Definition: Ground Instance
Sei ϕ eine Formel. Eine Ground Instance von ϕ (von @ϕ) ist eine Formel der Form ϕσ mit σ :
F V pϕq Ñ U Σ , so dass insbesondere ϕσ eine abgeschlossene Formel ist, also F V pϕσq “ H.
Satz 9. Sei M ein Herbrand-Σ-Modell und ϕ eine beliebige Formel. Dann gilt
M ( @ϕ ðñ M ( ϕσ für jede ground instance ϕσ von ϕ
Beweis: Satz
Für einen Äquivalenzbeweis müssen wir immer beide Richtungen der Gleichheit zeigen.
ñ trivial, wenn die Erfülltheit für alles einsetzbare gilt, gilt sie auch für alle ground instances.
ð Sei F V pϕq “ tX 1 , . . . , X n u. Dann ist zu zeigen, dass für alle E 1 , . . . , E n P U Σ gilt:
M, rX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s ( ϕ
Wir wollen zeigen, dass wenn alle ground instances erfüllt sind, automatisch auch der universelle
Abschluss @ϕ erfüllt ist. Wir zeigen also, dass für jede mögliche Belegung der universelle Abschluss
erfüllt ist, indem wir eben jede mögliche Belegung (die wir aus dem Universum U Σ kennen)
einsetzen.
Da η wie schon erwähnt die Gestalt einer Substitution hat, können wir hier das Substitutionslemma
zur Anwendung bringen, das uns erlaubt die Substitution auf die Rechte Seite der Gleichung
zu ziehen.
ðñ M ( ϕrX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
ground instance
Lemma 10. Sei M ein Herbrand-Σ-Modell und P {n P Σ. Dann gilt für die Interpretation von P in
M
MP “ tpE 1 , . . . , E n q P U Σ | M ( P pE 1 , . . . , E n qu
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