Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Beispiel: Terme in NNF
␣A _ pB _ ␣Cq ist in NNF;
␣pA _ ␣Bq nicht (␣ vor der Klammer, Klammer kein Atom)
NNFpϕq ist rekursiv definiert durch
$
NNF pAq “ A
NNF pϕ ^ πq “ NNF pϕq ^ NNF pπq
NNF pϕ _ πq “ NNF pϕq _ NNF pπq
’&
NNF pϕq “ NNF p␣Aq “ ␣A
NNF p␣␣ϕq “ NNF pϕq
NNF p␣pϕ ^ πqq “ NNF p␣ϕq _ NNF p␣πq
’% NNF p␣pϕ _ πqq “ NNF p␣ϕq ^ NNF p␣πq
Es lässt sich induktiv zeigen, dass NNFpϕq ” ϕ.
Beispiel: ϕ – ␣p␣pA _ ␣Bq ^ Cq
NNFp␣p␣pA _ ␣Bq ^ Cqq = NNFp␣␣pA _ ␣Bqq_ NNFp␣Cq =
NNFpA _ ␣Bq _ ␣C = A _ ␣B _ ␣C
1.6.2. Konjunktive Normalformen (CNF)
Eine Formel in Konjunktiver Normalform ist eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen. Sie
hat also die allgemeine Form
ľ
Lq
DPCp ł LPD
Die Menge aller konjunktiven Normalformen ist formal definiert durch die folgende Grammatik:
Literale L ::“ A | ␣A
Klauseln C ::“ K | L | L _ C
CNFs ϕ ::“ J | ϕ | C ^ ϕ.
A P A
Meistens, insbesondere zum Zwecke der Repräsentation im Rechner, verwenden wir eine alternative
Darstellung von CNFs als Mengen:
Klauseln sind endliche Mengen von Literalen, d. h. die Disjunktion L 1 _ ¨ ¨ ¨ _L n wird repräsentiert als
die Menge tL 1 , . . . , L n u (was von der Reihenfolge und eventuellen Wiederholungen abstrahiert!).
Die leere Klausel repräsentiert K und wird als ✷ notiert.
CNFs sind endliche Mengen von Klauseln, wobei die leere Menge J repräsentiert: J “ ^
H; D 1 ^ ¨ ¨ ¨ ^
^
D n “ tD 1 , . . . , D n u
Genau wie die NNF ist die CNF nur eine andere Repräsentation für die gleiche Aussage, was uns zu
folgender Definition der CNF einer Formel bringt:
Definition: CNF C einer Formel ϕ
Sei ϕ eine Formel. Eine CNF ϕ 1 heißt CNF von ϕ, wenn ϕ ” ϕ 1 .
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