Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Für die zweiten Argumente der beiden Terme muss unser σ erfüllen: Z 1 σ “ r0|Y sσ, und schließlich
für das dritte Argumentepaar: rX 1 |W 1 sσ “ r1 0 1|Zsσ
z.B.:
σ :“ tX 1 ÞÑ 1, X ÞÑ r1|Y 1 s, Z 1 ÞÑ r0 1s|Zs, Y ÞÑ r1|Zs, W 1 ÞÑ r0 1|Zsu
Zur „Gleichmachung“ wird ggf. Substitution angewendet, die wir jetzt formell definieren wollen:
Definition: Substitution
Eine Substitution ist eine Abbildung σ, die jeder Variable X einen Term σpXq zuordnet, so dass
die Menge
Dom σ “ tx|σpxq ‰ xu
endlich ist, d.h. σ verändert nur eine endliche Anzahl an Variablen. Dom σ („Domain“, „Bereich“
von σ) ist die Menge aller Variablen, mit denen σ „etwas tut“, d.h. denen σ einen anderen Wert
zuordnet.
rX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s ist die Substitution σ mit
#
σpXi q wenn X “ X i
σpXq “
X
sonst
Die Identität entspricht der leeren Substitution r s, also Φ r s ” Φ. Für Substitutionen σ, τ ist
Eσ die Anwendung von σ auf E. Dabei wird jede Variable wie in σ angegeben ersetzt; Xσ “
σpXq; fpE 1 , . . . , E n qσ “ fpE 1 σ, . . . , E n σq.
στ ist die Substitution mit pστqpXq “ σpXqτ “ τpσpXqq.
Es wird also erst mit σ und dann mit τ substituiert.
Definition: Gleichung
Eine Gleichung E . “ D ist ein Paar pE, Dq von Termen – die linke und die rechte Seite im Sprachgebrauch.
Definition: Unifikator
Eine Substitution σ ist ein Unifikator von E . “ D, wenn Eσ ” Dσ. Dreifaches Gleichheitszeichen
(”) meint syntaktische, nicht nur semantische Gleichheit.
σ ist ein Unifikator von S “ pE 1
. “ D1 , . . . , E n
. “ Dn q, wenn σ Unifikator von E i
. “ Di @1 ď i ď n
ist, d.h. wenn σ für alle Gleichungen in S ein Unifikator ist.
UnifpSq “ t σ | σ ist Unifikator von S u ist die Menge aller Unifikatoren von S.
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