Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Beweis: Lemma 10
Der Beweis folgt unmittelbar aus dem Lemma über ME und dem Substitutions-Lemma, mit gleicher
Argumentation.
pE 1 , . . . , E n q P MP ðñ M, rX 1 ÞÑ E 1 , . . . , X n ÞÑ E n s ( P pX 1 , . . . , X n q
ðñ M ( P pE 1 , . . . , E n q
D.h. Herbrand-Σ-Modelle p“ Teilmengen der Herbrand-Basis B Σ .
M p“ tϕ P B Σ | M ( ϕu
Man kann also von einer Teilmenge der Herbrand-Basis auf Modelle schließen, die sie erfüllen und
umgekehrt.
Beispiel:
Σ “ todd, s, 0u
M 1 “ H
M 2 “ toddpsp0qqu
M 3 “ toddp0q, oddpsp0qqu
M 4 “ toddps n p0qq|n “ 1, 3, 5, . . . u
M 5 “ B Σ
Wir können beobachten, dass solange wir die Ausdrucksmächtigkeit der logischen Programmierung
nicht verlassen, die Einschränkung auf Herbrand-Modelle die Logik, also z.B. die Erfülltheit einer
Formel nicht beeinflusst.
Satz 11 (Herbrand-Vollständigkeit). Sei Φ eine Menge von quantorenfreien Formeln über Σ. Dann gilt,
dass der universelle Abschluss @Φ der Menge Φ erfüllbar ist gdw. @Φ ein Herbrand-Σ-Modell hat. Der
universelle Abschluss einer Formelmenge Φ sei definiert als die Menge aller universellen Abschlüsse
der enthaltenen Formeln: @Φ – t@ϕ|ϕ P Φu.
Spezifisch: Wenn ein Modell M den universellen Abschluss @Φ erfüllt, dann können wir ein Herbrand-
Modell M 1 als eine Teilmenge der Herbrand-Basis konstruieren, das ebenfalls @Φ erfüllt, aber jetzt
eben ein Herbrand-Modell ist (was für M nicht unbedingt gilt).
M ( @Φ ñ M 1 – tϕ P B Σ |M ( ϕu
Wir haben das Modell M 1 bereits konstruiert und müssen nun zeigen, dass es auch tatsächlich @Φ
erfüllt.
Beweis: M 1 erfüllt @Φ
Nach vorherigem Satz reicht zu zeigen:
M 1 ( ϕσ für alle ϕ P Φ, ϕσ ground instance
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