Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Eine Formel ψ ist gültig, wenn sie aus der leeren Menge von Annahmen folgt:
|ù ψ : ðñ H ( ψ ðñ @κ : κ ( ψ,
d.h. also wenn alle Wahrheitsbelegungen ψ erfüllen. Wir nennen ψ in diesem Fall auch tautologisch/eine
Tautologie.
Definition: Erfüllbarkeit einer Menge von Formeln Φ
Eine Formelmenge Φ ist unerfüllbar, wenn sich aus ihr ein Widerspruch herleiten lässt, d.h. wenn
Falsum eine logische Konsequenz von Φ ist: Φ ( K. Dies ist gleichbedeutend damit, dass keine
Wahrheitsbelegung Φ erfüllt: @κ : κ * Φ.
Andernfalls, d.h. wenn Dκ : κ ( Φ, heißt Φ erfüllbar.
Definition: Logische Äquivalenz zweier Formeln ϕ und ψ
Zwei Formeln ϕ, ψ sind logisch äquivalent (ϕ ” ψ), wenn ϕ Ø ψ gültig ist:
ϕ ” ψ : ðñ |ù φ Ø ψ.
Lemma 1. ψ ist genau dann logische Konsequenz von Φ, wenn die Vereinigung von Φ und der Negation
von ψ unerfüllbar ist:
Φ ( ψ ô pΦ Y t␣ψuq ( K
(Das obige Lemma kann als eine Formulierung des Prinzips des Widerspruchsbeweises angesehen werden)
Beispiel: Erfüllbarkeit und logische Konsequenz
erfüllbar A Ñ ␣A (Für die Belegung κpAq “ K)
unerfüllbar A ^ ␣A
gültig A _ ␣A , pA ^ Bq Ñ A
logische Konsequenz tA Ñ B, Au ( B (diesen Schluss nennt man „modus ponens“)
1.4. Wahrheitstafeln
Eine Wahrheitstafel ist die Betrachtung der (endlich vielen!) in konkreten Formeln vorkommenden
Atome in tabellarischer Form. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln kann z.B. die Äquivalenz zweier Formeln
bewiesen werden.
Zunächst definieren wir formal, was die Atome einer Formel ϕ sind.
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