Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Definition: Satz, universeller Abschluss
ϕ heißt Satz ðñ F V pϕq “ H, also alle Variablen gebunden sind.
Seien die freien Variablen F V pϕq “ tX 1 , . . . , X n u. Dann ist der Universelle Abschluss von ϕ die
Formel @ϕ ” @X 1 , . . . , @X n .ϕ. Semantisch werden dadurch alle freien Variablen an jeweils einen
Allquantor gebunden, die Formel wird zum Satz. Man kann den universellen Abschluss umschreiben
durch „einfach alle möglichen Variablen einsetzen“.
Nun wollen wir zeigen, dass die freien Variablen das tun, was wir haben wollten, als wir sie definiert
haben, dass nämlich eine Formel (höchstens) von den in ihr vorkommenden freien Variablen abhängt
(höchstens, weil z. B. auch Tautologien möglich sind, die von garkeinen Variablen abhängig sind).
Lemma 7. Sei η 1 pXq “ η 2 pXq für alle X P F V pϕq, dann M, η 1 ( ϕ ðñ M, η 2 ( ϕ, also:
die Erfülltheit von ϕ ist unabhängig von den Umgebungen, solange die Umgebungen auf den freien
Variablen von ϕ übereinstimmen.
Beweis: Lemma 7
Wir haben einen Induktionsbeweis vor, aber das Problem dass wir mit inhomogenen Entitäten arbeiten:
Formeln und Termen. Daher beweisen wir zunächst, dass unsere Annahme für Terme korrekt ist, um
dies in der Induktion für Formeln verwenden zu können:
zZ: Es gilt für alle Terme E mit η 1 pXq “ η 2 pXq für alle X P F V pEq
MrEsη 1 “ MrEsη 2 (1)
Beweis per Induktion über E. Dieser Beweis beruht darauf, dass für Terme beide Seiten gleich interpretiert
werden, man müsste es nur für jede Art Term einmal hinschreiben. Wir sparen uns das und
sehen es als bewiesen an.
Induktion über ϕ: Atomare Formeln per (1), boolesche Fälle trivial. Ein Interessanter Fall ist noch der
des Allquantors:
@X.ϕ : M, η 1 ( @X.ϕ ðñ
Zur Anwendung der Induktionshypothese ist Zz:
für alle m P M M, η 1 rX ÞÑ ms ( ϕ
looooooooooomooooooooooon
ðñ M,η 2 rXÞÑms(ϕs
η 1 rX ÞÑ mspY q “ η 2 rX ÞÑ mspY q für alle Y P F V pϕq Ď F V p@X.ϕq Y tXu (2)
Dass diese Gleichheit gilt, ist klar dadurch, dass die Gleichheit für F V p@X.ϕq gegeben ist, und falls
Y “ X, so wird Y auf beiden Seiten der Gleichung durch X ersetzt, somit auch gleich und wir können
schreiben M, η 2 ( @X.ϕ.
Damit ist für einen Satz ϕ (der ja keine freien Variablen hat), M, η ( ϕ von η unabhängig, schreibe
M ( ϕ.
(1)
Wie bisher für Aussagenlogische Formeln definieren wir M, η ( Φ ðñ M, η ( ϕ für alle ϕ P Φ.
Logische Konsequenz, Erfüllbarkeit, Gültigkeit, logische Äquivalenz wie bisher bis auf Ersetzung von
Wahrheitsbelegung κ durch M, η (oder nur M bei Sätzen).
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