Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Schließen von A oder B (_I1)
A
A_B (_I2)
B
A_B
(_E)
pAñC,BñC,A_B
C
pÑ Eq AÑB A
B
pÑ Iq Añ ...B
AÑB
Herleitung von pÑ Iq bei Codierung A Ñ B ” ␣p␣␣A ^ ␣Bq
1 ␣␣A ^ ␣B Annahme
2 ␣␣A ^E 1
3 A ␣E
1.␣␣A ^ ␣B2.␣␣A3.A . . . n.Bn ` 1 : ␣Bn ` 2 : Kn ` 3 : ␣p␣␣A ^ ␣Bq ” A Ñ B
pÑ EqbeiA Ñ B “ ␣A_B1.A2.A Ñ B “ ␣A_B3.p␣A ñ K, pKI1, 3q ñ BpKEq4.pB ñ Bq5.Bp_E3, 4q
Satz 21. (Korrektheit)
Φ $ π ñ Φ ( π
Beweis: [
TODO: title] Induktion über die Länge der Herleitung von Φ $ πpn ă k Ñ n ď kq.
Fallunterscheidung nach letzter Regel, z.B. für p␣Iq:
Herleitung: Φ(unterbeweis) ñ pψ . . . ..␣ψ Nach IV folgt aus Φ Y tψu $ K bereits Φ Y tψu ( J. Also
Φ ( ␣ψ: Wenn κ ( Φ, dann κ * ψ, also κ $ ␣ψ
Es gilt auch
Satz 22. Vollständigkeit
Φ ( π ñ Φ $ π
Beweis: [
TODO: title]
(A) Reduziere auf Φ konsistent, d.h. Φ & K ñ Φ erfüllbar.
Φp␣π . . . Kqp␣␣π “ą πq
(B) Reduziere mit
Def. Φ maximal konsistent ðñ
(i) Φ kons.
Φ ( π ñ Φ Y t␣πu unerfüllbar, also inkonsistent, also
(ii) P hi ist maximal bezüglich Ď unter den kons. Mengen, d.h. Ψ kons., Φ Ď Ψ ñ Φ “ Ψ
auf Φ maximal konsistent ñ Φ erfüllbar per
Lindenbaumlemma: Φ konsistent ñ es existiert Φ max. kons mit Φ Ď Φ
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