Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Definition: Σ-Modell M
Ein Σ-Modell M (Struktur, Interpretation, Algebra, . . . ) besteht aus
• Einer Menge M (»Universum«, »Grundbereich«, . . . )
• Für eine n-stellige Funktion f{n P Σ eine Interpretation in M, gegeben durch
Mf : M n Ñ M
• Für ein n-stelliges Prädikat P {n P Σ eine Menge von Belegungstupeln MP Ď M n
Eine Umgebung η ist eine Abbildung η : Vars Ñ M.
Definition: Erfülltheit
Zu einem Term E definieren wir seine Bedeutung MEη P M rekursiv durch
• MXη = ηpXq
• MfpE 1 , . . . , E n q = Mf pME 1 η, . . . , ME n ηq
Die Erfülltheit einer Formel ϕ (bestehend aus n Termen) auf einem Modell und einer Umgebung
M, η ( ϕ ist rekursiv definiert durch
M, η ( pE “ Dq ðñ MEη “ MDη
M, η ( P pE 1 , . . . , E n q ðñ pME 1 η, . . . , ME n ηq P MP
Der Allquantor wird definiert durch
M, η ( @X.ϕ ðñ Für alle m P M.M, ηrX ÞÑ ms ( ϕ
Dabei beschreibt ηrX ÞÑ mspV q diejenige Funktion, die alle X in η durch m ersetzt und η ansonsten
gleich übernimmt – also eine Substitution von X durch m auf η.
Wir definieren uns rekursiv die Menge aller freien Variablen in einer Formel wie folgt; alle Variablen,
die nicht nach dieser Definition frei sind, sind gebunden.
Definition: Freie Variable
@X.ϕ bindet X, welches damit keine freie Variable mehr ist. Die Freien Variablen einer Formel sind
F V pEq
“ V arspEq
F V pE “ Dq
“ F V pEq Y F V pDq
nď
F V pPpE 1 , . . . , E n qq “ F V pE i q
i“1
F V p␣ϕq
“ F V pϕq
F V pϕ ^ πq
“ F V pϕq Y F V pπq
F V p@X.ϕq
“ F V pϕqztXu
F V pX “ Y ^ @Y.Y “ Wq “ tX, Y, W u
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