Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Lemma 4 (Berechnung einer CNF von ϕ in NNF). Sei ϕ eine Formel. Dann hat ϕ eine CNF
CNFpϕq.
Beweis. Wir können nach obigem annehmen, dass ϕ bereits in NNF ist. Wir definieren dann CNFpϕq
rekursiv:
CNFpϕ ^ ψq “ CNFpϕq ^ CNFpψq
CNFpLq “ L
kľ
CNFpϕ _ ψq “
j“1 i“1
nľ
pD i _ E j q mit CNFpϕq “
nľ
D i und CNFpψq “
i“1
kľ
E i .
Man zeigt durch Indukion über ϕ, dass ϕ ” CNFpϕq und dass CNFpϕq in der Tat eine CNF ist.
Der einzig interessante Teil der Induktion ist der Induktionsschritt für ϕ _ ψ, der auf wiederholtem
Anwenden des Distributivgesetzes („Ausmultiplizieren“) beruht:
nľ
kľ
ϕ _ ψ ” p D i q _ p E j q
Distr.
”
Dist.
”
i“1
j“1
j“1
kľ nľ
pp D i q _ E j q
kľ
j“1 i“1
i“1
nľ
pD i _ E j q “ CNFpϕ _ ψq.
i“1
Problem an CNFpϕ _ ψq: n ¨ k Klauseln, z.B. CNFppA 1 ^ B 1 q _ ¨ ¨ ¨ _ pA n ^ B n qq hat 2 n Klauseln.
Durch Einführung zusätzlicher Atome lässt sich der Blowup 1 polynomiell halten, dann aber CNFpϕq
nur noch erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ (CNFpϕq erfüllbar ô ϕ erfüllbar).
1.7. Resolution
Das Resolutionsverfahren ist ein Algorithmus zur Entscheidung der Erfüllbarkeit einer CNF (Klauselmenge
C). Er basiert auf der Resolutionsregel.
Definition: Resolutionsregel
D 1 Y tAu D 2 Y t␣Au
(Res)
(1)
D 1 Y D 2
Diese Regel wird im Resolutionsverfahren auf die Menge der Klauseln in einer CNF angewendet.
Regeln dieser Form werden so interpretiert, dass, wenn in der Menge alle Elemente über dem Strich
enthalten sind, das Element unter dem Strich zur Menge hinzugefügt werden darf. D 1 Y D 2 hat hier
den Namen Resolvente.
1 Als Blowup bezeichnet man das Verhältnis zwischen Größe der Eingabe und Größe der Ausgabe eines Algorithmus.
Oft verwendet bei Algorithmen, die ein Problem in ein anderes Transformieren.
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