Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Definition: Atome einer Formel
Atome(ϕ) = Atpϕq := Menge der in ϕ vorkommenden Atome, formal:
• At(A) = tAu
• At(␣ϕ) = At(ϕ)
• At(ϕ ^ ψ) = At(ϕ) Y At(ψ)
Beispiel:
AtppA ^ Bq ^ ␣Aq “ AtpA ^ BqY At(␣A) = AtpAqY At(B) Y At(A) = tAu Y tBu Y tAu “ tA, Bu.
Das folgende Lemma ist die formale Legitimation dafür, dass Wahrheitstafeln sich auf die in ϕ vorkommenden
Atome beschränken dürfen und nicht alle in A vorkommenden Atome berücksichtigen
müssen.
Lemma 2. Die Erfülltheit κ ( ϕ hängt nur von den Belegungen der Atome von ϕ, also von den Werten
κpAq für A P Atpϕq ab; d.h. wenn κ 1 sich bezüglich aller Atome Atpϕq gleich verhält wie κ, so erfüllt
κ 1 ϕ genau dann wenn κ dies tut. Formal: Wenn κ, κ 1 : A Ñ 2 mit κpAq “ κ 1 pAq für alle A P Atpϕq,
dann gilt
κ ( ϕ ô κ 1 ( ϕ.
Beweis: Unabhängigkeit von unerwähnten Atomen
wir erinnern uns: die Menge aller Formeln F ist definiert als die kleinste Menge, die die Bildungsgesetze
1 - 3 erfüllt. Wir zeigen nun per Induktion über ϕ, genauer über die Struktur der Definition der
Grammatik, dass die Menge X aller ϕ, die die Behauptung erfüllen, ebenfalls 1 - 3 erfüllt und damit
F Ď X, d.h. das Lemma gilt für alle Formeln.
(1) κ ( A ô κpAq “ J ðùùùùñ
APAtpAq κ1 pAq “ J
ô κ 1 ( A
(2) κ ( ␣ϕ ô κ * ϕ ðùùùùùùùùùùùùñ
IV mit Atp␣ϕq“Atpϕq κ1 * ϕ
ô κ 1 ( ␣ϕ
(3) κ ( ϕ ^ ψ ô pκ ( ϕ und κ ( ψq ðùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùùñ
IV mit Atpϕq,AtpψqĎAtpϕqYAtpψq“Atpϕ^ψq pκ1 ( ϕ und κ 1 ( ψq
ô κ 1 ( ϕ ^ ψ
ù Semantik von ϕ bestimmt durch endliche Tabellierung von κ ( ϕ für alle κ : A 0 Ñ 2 mit A 0 Ď A
endlich, At(ϕ) Ď A 0 . Dass κ nicht nur auf Atpϕq definiert ist, sondern auf A 0 , von dem Atpϕq eine
Teilmenge ist, liegt daran, dass in der Wahrheitstafel auch noch andere Einträge stehen dürfen.
Beispiel:
Wahrheitstafel von ϕ
A B A Ñ B
K K J
K J J
J K K
J J J
9