Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

Dazu:
Lemma 23. (C) Sei Φ konsistent, dann Φ Y tπu konsistent oder Φ Y t␣πu konsistent.
Beweis: [
(C)] Per Kontraposition: Φpπ . . . Kqp␣π . . . Kq Also quasi π _ ␣π (_E)
Beweis: [
Lindenbaumlemma]
a) Zorn Vereinigung aufsteigender Ketten von konsistenten Mengen sind konsistent.
oder b) Sei ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , . . . Aufzählung aller Formeln. Konstr. Φ “ Φ 0 Ď Φ 1 Ď Φ 2 Ď . . . per Φ i`1 “
#
Φi Y tϕ i u wenn konsistent
Φ i Y t␣ϕ i u
sonst
Setze Φ – Ť 8
i“0 Φ i. zZ:
(i) Φ kons.: Wenn Φ $ K (mit endlichem Beweis), dann schon Φ i $ K für ein i
hkikj
(ii) Φ maximal: Sei Φ Ď Φ 1 konsistent, π P Φ 1 . Anmerkung: π R Φ. ñ ϕ n R Φ n`1 ñ Φ n Y tϕ n u
“ϕ n
looooomooooon
inkonsistent
ĎΦ 1
Beweis: [
(B)] Zeige:
(i) K R Φ [klar]
(ii) ␣π P Φ ðñ π R Φ
(iii) ψ ^ π P Φ ðñ ψ P Φ und π P Φ
Φ max. kons.
ad (ii): „ñ“ klar, „ð“: Φ Y tπu ‰ Ą Φ ñ Φ Y tπu inkonsistent.
ñ
ñ
Lemma CΦ Y t␣πu konsistent, Φ max. kons ␣π P Φ.
ad (iii): „ñ“ reicht zZ: ΦYtψu, ΦYtπu konsistent, z.B.: Anmerkung: ΦYtψu $ Kp^E1qΦYtψ^πu $ K,
„ð“ analog mit p^Iq
ñ
tx ą k|k P Nu
ñ
ψ, π P Φ ñ Φ $ ψ ^ πΦ kons.Φ Y tψ ^ πu konsistent ñ ψ ^ π P Φ.
Setze κpAq “ J ðñ A P Φ.
Wahrheitslemma: „
κ ( π ðñ π P Φj
Beweis: Induktion über π per Definition und (i)-(iii).
κ ( ␣π ðñ κ * π ðñ
IV π R Φ piiq ðñ
␣π P Φ
Korollar: Φ Formelng (??), für alle Φ 0 Ď Φ mit Φ 0 endlich, Φ 0 erfüllbar ñ Φ erfüllbar. (Kompaktheit):
ðñ
Beweis: Φ erfüllbar ðñ Φ * KvollständigΦ & K
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