Grundlagen der Logik und Logikprogrammierung

2.4.1. Unifikationsalgorithmus von Robinson
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mgu(S) = {
.
Stack := S // pS “ pE_1 “ D_1, . . . , E_n “ . D_nq q
σ – rs
while S not empty, do
pop (E, D)
if E = X(Var.) then E – σpXq
if D = X(Var.) then D – σpXq
case
E “ fpE_1, . . . , E_kq, D “ gpD_1, . . . , D_lq // E, F Terme
if f ‰ g then fail
.
.
else (* k = l *) push (1) E_1 “ D_1, . . . , E_k “ D_l
| E = X ñ // E Variable
if X P V arspDσq then (if Dσ “ X then skip (2) else fail)
else σ – σrX ÞÑ Dσs (3)
| D = X // D Variable
analog
return σ
}
Beweis: Korrektheit des Robinson-Algorithmus
Korrektheit heißt, dass
(i) sofern ein mgu gefunden wird, dieser Korrekt ist
(ii) sofern keine mgu gefunden wird, dieser nicht existiert
Der Beweis wird geführt, indem gezeigt wird, dass eine Schleifeninvariante nach jedem Schleifendurchlauf
gilt, und dass diese Invariante die Korrektheit impliziert.
Invariante:
UnifpSq “ σUnifpStack σq (1)
p “ tστ|τ P UnifpStack σquq
^ Dom σ Y VarspStack σq “ H (2)
Invariante gilt nach Initialisierung
Zu Beginn ist σ und damit Dom σ leer, also Dom σ Y VarspStack σq “ H erfüllt und UnifpSq “ σ
UnifpStack σq vereinfacht sich zu UnifpSq “ UnifpStackq, was durch die Initialisierung gegeben ist.
Invariante gilt nach einem Schleifendurchlauf
Zu zeigen ist, dass die drei mit (1), (2) und (3) markierten Stellen im Algorithmus die Schleifeninvariante
erhalten.
(1) Es wird eine Gleichung vom Stack genommen und dafür k Gleichungen mit dem selben Unifikator
wie der der ersten Gleichung auf den Stack gelegt. Dadurch ändert sich der Unifikator des
Gesamtstacks nicht – UnifpStackq, σ bleiben gleich.
(2) Es wird eine Gleichung vom Stack genommen, die von der Form X “ X ist: man kommt nur in
den Fall (2), wenn Dσ “ X “ E ist. Das trägt offensichtlich zum Unifikator nichts bei. σ und
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