Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
|φ| = 1 ist ein Spezialfall, da der stationäre Erwartungswert hier der Anfangsbedingung
entspricht. Diesen Fall bezeichnet man als Einheitswurzel.
Dieser Begriff wird später klarer, wenn wir das AR(2)-Modell betrachten. Im
Fall einer Einheitswurzel liegt dennoch kein stationärer Prozess vor, da die
Varianz divergiert, wie wir im Anschluss zeigen werden. Bis hierher haben wir
den stationären Erwartungswert ermittelt, der unter der Bedingung |φ| < 1
existiert
E[y st. ] = 0 bzw. E[x st. ] = µ für |φ| < 1. (2.7)
Für die Varianz des AR(1)-Prozesses gilt die rekursive Formel
Var[y t ] = Var[φy t−1 + ɛ t ] = φ 2 Var[y t−1 ] + σ 2 . (2.8)
Dieses Ergebnis mag nicht unmittelbar einleuchten, daher hier ein kurzer
Einschub zu den Rechenregeln von Varianzen.
Einschub: Varianzen
Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen und
c eine beliebige Konstante, dann gilt
1. Var[c] = 0
2. Var[cX] = c 2 Var[X]
3. Var[X + Y ] = Var[X − Y ] = Var[X] + Var[Y ].
Voraussetzung für die Gültigkeit der letzten Eigenschaft
ist die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen.
ɛ t ist von φy t−1 unabhängig, da der zum Zeitpunkt t − 1 manifestierte
Wert der Zeitreihe keinen Einfluss auf die Realisierung der Zufallsvariable
ɛ t zum Zeitpunkt t hat. Daher zerfällt die gemeinsame Varianz in (2.8) in
die Summe der Einzelvarianzen. φ ist eine Konstante und rückt deshalb
quadratisch vor die Varianz von y t−1 . Die Varianz von ɛ t ist bereits bekannt
und für jeden Zeitpunkt gleich, Var[ɛ t ] = σ 2 .
Der nächste Schritt ist nun wieder eine explizite Vorschrift für Var[y t ]
abzuleiten und dann den Grenzwert für t → ∞ zu betrachten. Diese
Iteration gestaltet sich geringfügig sperriger als die des Erwartungswertes,
daher kommt an dieser Stelle zunächst eine kurze Auffrischung zum Summenoperator
und der geometrischen Reihe.
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