Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
Mit anderen Worten, die Partielle Autokorrelation (PACF) mit Lag 1 entspricht
genau der herkömmlichen Autokorrelation (ACF) und die Partielle
Autokorrelation mit Lag 2 verschwindet. Bei genauerem Hinsehen ist das
genau das Ergebnis, dass sich mit der Idee der partiellen Autokorrelation
deckt. Da beim AR(1)-Prozess keine Interferenzen zu erwarten sind (es wird
ja lediglich ein verzögerter Wert berücksichtigt), entspricht die PACF gerade
der ACF. Ferner werden die Echos für Lags k > 1 beseitigt. Wir haben
das hier zwar nur für k = 2 gezeigt, es ist jedoch eine wichtige Eigenschaft
der AR(p)-Prozesse, dass die Partielle Autokorrelation für Lags k > p
augenblicklich auf null abfällt.
Aufgabe 2.4
Lösen Sie, falls möglich, das lineare Gleichungssystem
Ax = b mit
( ) ( ( ) ( )
2 2 3 4 1 −2
a) A = , b =
b) A = , b =
1 2 6)
2 3 8
( ) ( ( ) ( 3 2 0 2 3 0
c) A = , b =
d) A = , b =
6 4 2)
6 4 2)
( ) ( )
−1 12 −3
e) A =
, b =
0 −4 −8
2.3 Parameterschätzung
Wir haben bereits gelernt, dass die Zeitreihe lediglich eine Manifestation
von Werten ist, die von einem (meist unbekannten) stochastischen Prozess
generiert werden. Das wirft unmittelbar zwei wichtige Probleme auf: Erstens,
woher weiß man, welcher Prozess die Datenreihe generiert hat und zweitens,
wie sehen die Parameter dieses Prozesses aus. Die erste Fragestellung betrifft
die Modellidentifikation, auf die wir später zurückkommen werden, die
zweite betrifft die Parameterschätzung.
Eine der angenehmsten Eigenschaften der Stationarität ist, dass die Parameterschätzer
mit denen aus einfachen Stichprobensituationen übereinstimmen.
Wir bezeichnen im Folgenden die Schätzer mit einem Dach über dem
Symbol, bspw. ˆµ ist ein Schätzer für den Erwartungswert. (y t ) t=1,...,T sei eine
Zeitreihe, die von einem uns bekannten stationären Prozess erzeugt wurde.
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