Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
Einschub: Komplexe Zahlen
Eine Zahl z heißt Element der komplexen Zahlen z ∈ C, wenn
sie die Struktur
z = a + ib mit a, b ∈ R
besitzt. i bezeichnet hier die imaginäre Einheit, die die Eigenschaft
i 2 = −1 besitzt. Sie ermöglicht die Berechnung negativer
Wurzeln, da für beliebiges c ∈ R +
√
−c = i
√ c
gilt. Die beiden Bestandteile einer komplexen Zahl werden
Realteil, Re[z] = a, und Imaginärteil, Im[z] = b, genannt.
Im Zusammenhang mit den Wurzeln des AR(2)-Prozesses ist für uns von
vitalem Interesse, wie der Betrag einer komplexen Zahl gebildet wird. Dazu
ist es hilfreich sich die Struktur der komplexen Zahlenebene anzuschauen.
Abbildung 2.8 auf der nächsten Seite zeigt den reellen und imaginären Zahlenstrahl,
die seknrecht aufeinander stehen und so die komplexe Ebene bilden.
Eine komplexe Zahl ist nun durch ihre Koordinaten auf der reellen und imaginären
Achse festgelegt. Für gewöhnliche reelle Zahlen ist der Betrag als
Abstand vom Ursprung, also als Abstand von null definiert. Dieselbe Definition
gilt im Rahmen der komplexen Zahlen. Der Unterschied ist hier, dass die
reellen Zahlen nur aus einem Zahlenstrahl bestehen, die komplexen Zahlen
aber aus einer Ebene. Um hier den Abstand vom Ursprung zu ermitteln müssen
wir den Satz des Pythagoras bemühen. Demnach ergibt sich der Betrag
von z als
|z| = r = √ a 2 + b 2 . (2.80)
Die magische Grenze |z| = 1 wird also in der komplexen Zahlenebene zu
einem Kreis, der in Abbildung 2.8 angedeutet ist. Damit lässt sich die notwendige
Stationaritätsbedingung für das AR(2)-Modell allgemeingültig formulieren:
Ein AR(2)-Prozess kann nur dann stationär sein, wenn seine Wurzeln
außerhalb des komplexen Einheitskreises liegen.
Für die „inverted roots“ λ 1/2 bedeutet das natürlich genau das Gegenteil,
sie müssen beide innerhalb des komplexen Einheitskreises liegen, damit der
Prozess stationär ist.
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