Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
korrelationen und Autokovarianzen lediglich mit einem Verschiebungsindex
geschrieben, der die Lücke (Lag) zwischen den beiden Werten angibt
γ k = Cov[y t , y t−k ]. (2.14)
Wir können nun die einmal getroffene Konvention (2.14) ausnutzen um die
stationäre Varianz des AR(1)-Prozesses als Autokovarianz mit Lag 0 zu
schreiben
γ 0 = Var[y t ] =
σ2
1 − φ . (2.15)
2
Auch die stationäre Varianz bleibt für alle t gleich, denn das war ja gerade
eines der Kriterien für Stationarität. Da die Varianz aber ein Spezialfall der
Kovarianz, nämlich mit Verschiebung (Lag) 0 ist, lässt sich intuitiv verstehen,
warum die Autokovarianz im stationären Zustand nur vom Lag abhängen
darf. In der Tat wird die schwache Stationarität auch als Kovarianzstationarität
bezeichnet und es wird im Allgemeinen definiert:
Ein Prozess ist schwach stationär (kovarianzstationär), wenn seine
ersten beiden Momente endlich und konstant (invariant gegenüber
Zeitverschiebungen) sind und die Autokovarianz lediglich von der
Verschiebung aber nicht von der Zeit abhängt.
Dies ist eine Erweiterung gegenüber unserer vorangegangenen Definition
schwacher Stationarität. Wir kannten jedoch zu diesem Zeitpunkt noch nicht
die Rolle der Autokovarianz. Ferner ist es nicht nötig bezüglich der Autokovarianz
den zentrierten Prozess y t = x t − µ gesondert zu betrachten, da
gilt.
Cov[x t , x t−k ] = E [ (x t − µ)(x t−k − µ) ] = E[y t y t−k ] = Cov[y t , y t−k ] (2.16)
2.2.1 Autokovarianz
Wir werden nun die Autokovarianz für den AR(1)-Prozess ausrechnen. Wir
beginnen naheliegenderweise mit dem Lag 1. Man sollte dabei im Hinterkopf
behalten, dass der AR(1)-Prozess (2.13) den stationären Erwartungswert
E[y t ] = 0 und die stationäre Varianz Var[y t ] = γ 0 für alle t besitzt.
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γ 1 = Cov[y t , y t−1 ] = E[y t y t−1 ]
= E [ ]
(φy t−1 + ɛ t )y t−1 = E[φy
2
t−1 ] + E[ɛ t y t−1 ]
(2.17)
= φVar[y t−1 ] + Cov[ɛ t , y t−1 ]
= φγ 0