Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
Die Frage nach der stationären Varianz steht noch im Raum. Dazu bilden
wir wieder den Grenzwert für t → ∞ und verwenden die entsprechende
Eigenschaft der geometrischen Reihe
∑t−1
(
Var[y st. ] = lim σ ) 2 φ
2 k σ 2
= für φ 2 < 1. (2.11)
t→∞ 1 − φ 2
k=0
Die Bedingung φ 2 < 1 für die Konvergenz der geometrischen Reihe entspricht
genau der Bedingung |φ| < 1, die wir bereits im Rahmen der stationären Erwartungswertgleichung
(2.7) bestimmen konnten. Es ist jetzt ebenfalls klar,
dass im Fall der Einheitswurzel mit φ = 1 die Varianz divergiert. Wir erhalten
lim Var[y ∑t−1
t] = lim σ 2 1 k = lim σ 2
t→∞ t→∞ t→∞
k=0
t∑
k=1
1 = lim
t→∞
σ 2 t = ∞. (2.12)
Wir halten zusammenfassend fest, dass die beiden stationären Momente,
(2.7) und (2.11) nicht mehr vom Index t abhängen und konstant sind. Damit
gelangen wir unmittelbar zur Definition der schwachen Stationarität:
Unter schwacher Stationarität versteht man die Zeitinvarianz der
ersten beiden Momente eines Prozesses.
Im Fall der Normalverteilung ist diese Definition besonders vorteilhaft, da
eine beliebige Normalverteilung durch ihre ersten beiden Momente vollständig
spezifiziert ist. Für andere Verteilungen wie beispielsweise die Student-t-
Verteilung oder die χ 2 -Verteilung gilt das nicht. Im Fall einer solchen Verteilung
käme eine Definition der Stationarität im strengen Sinn zum Tragen:
Unter Stationarität (im strengen Sinn) versteht man die Zeitinvarianz
der gesamten Verteilung eines Prozesses.
Würde man beispielsweise den zentrierten AR(1)-Prozess (2.3) mit |φ| < 1
und der zufälligen Anfangsbedingung x 0 ∼ N ( )
σ
µ, 2
1−φ starten, wäre der resultierende
Prozess augenblicklich stationär und zwar im strengen Sinn, da
2
die Fehlerterme normalverteilt sind und die ersten beiden Momente für jedes
weitere Glied x t mit t = 1, . . . , ∞ unverändert bleiben, wie durch Einsetzen
in (2.4) und (2.8) leicht zu zeigen ist.
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