Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
Der inverse Operator B −1 wird auch Forward-Operator genannt, weil er eine
Zeitverschiebung in Vorwärtsrichtung verursacht.
Operatoren können auch zusammengesetzte Ausdrücke enthalten. Ein
Beispiel für solch einen Operator ist der Rückwärts-Differenzen- oder ∇-
Operator („Nabla“-Operator). Er wird definiert durch ∇ = 1 − B, mit dem
Backshift-Operator B. Er erzeugt somit die erste Rückwärtsdifferenz
∇y t = (1 − B)y t = y t − y t−1 . (2.65)
Das volle Potential dieser Operatorschreibweise lässt sich erkennen, wenn wir
die zweite Rückwärtsdifferenz bilden, also die Differenz zwischen der aktuellen
Rückwärtsdifferenz y t − y t−1 und der vergangenen Rückwärtsdifferenz
y t−1 − y t−2 . Wir können dies sehr bequem tun, indem wir den ∇-Operator
quadrieren und mittels binomischer Formel berechnen
∇ 2 y t = (1 − B) 2 y t = (1 − 2B + B 2 )y t = y t − 2y t−1 + y t−2 . (2.66)
Eine kurze Probe in Form von Separation der Rückwärtsdifferenzen offenbart,
dass das Ergebnis absolut korrekt ist.
Um nun die Schreibweise von AR(p)-Prozessen tatsächlich zu vereinfachen
(oder zumindest abzukürzen) definiert man einen neuen, zusammengesetzten
Operator, den AR-Operator
p∑
φ(B) = 1 − φ k B k . (2.67)
Diese Schreibweise ist in der Tat äußerst kompakt, was sich bereits erahnen
lässt, wenn man den bekannten AR(1)-Prozess mit ihrer Hilfe notiert
k=1
φ(B)y t = y t − φ 1 y t−1 = ɛ t . (2.68)
Der AR(2)-Prozess, den wir im Folgenden ausgiebig untersuchen werden,
notiert genauso kompakt
φ(B)y t = y t − φ 1 y t−1 − φ 2 y t−2 = ɛ t . (2.69)
Aufgabe 2.9
Schreiben Sie die folgenden Operatorausdrücke aus:
a) ∇ 3 y t , b) B∇y t , c) B −1 ∇y t , d) B −2 y t
e) ∇ 2 B −1 y t , f) B −2 ∇ 2 y t
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