Zeitreihenanalyse â Einstieg und Aufgaben - FernUniversitÃ¤t in Hagen

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KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES Parameterschätzer nicht die selben sind, da die Zeitreihen ja Manifestationen eines Zufallsprozesses sind. Daher sind die Parameterschätzer ebenfalls vom Zufall abhängig und besitzen sogar eine eigene Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auf solchen Verteilungen bauen verschiedene statistische Tests, wie beispielsweise der Jarque-Bera-Test auf. Wir werden Verteilungen von Schätzern nur am Rande betrachten, es sollte jedoch nicht außer Acht gelassen werden, dass verschiedene Schätzer, bspw. KQ-Schätzer (Kleinste Quadrate) oder ML-Schätzer (Maximum Likelihood) unter Umständen verschiedene asymptotische Eigenschaften besitzen. Damit ist gemeint, dass sich die Verteilungen der Schätzer für T → ∞ unterschiedlich verhalten können. Man bevorzugt natürlich solche Schätzer, deren Eigenschaften möglichst angenehm oder möglichst gut an die Analysesituation angepasst sind. Wir werden im Folgenden zwei zentrale Schätzverfahren kennenlernen, die in der Statistik eine fundamentale Rolle spielen. Aufgabe 2.5 Gegeben sei die (stationäre) Zeitreihe (y t ) t=1,...,10 = {2, 3, 4, 5, 4, 1, 0, 1, 3, 2}. Gehen Sie davon aus, dass diese Zeitreihe von einem AR(1)-Prozess erzeugt wurde, der einen normalverteilten Fehlerterm besitzt. Bestimmen Sie die empirischen Schätzer für µ, γ 0 , γ 1 , γ 2 , ρ 1 , ρ 2 , φ 21 , φ 22 und σ 2 . 2.3.2 Kleinste Quadrate (KQ) Die Kleinste-Quadrate-Methode (KQ-Methode) ist eine intuitiv eingängige Schätzmethode. Sie ist sehr alt und geht auf Carl Friedrich Gauß zurück, der mit ihr astronomische Berechnungen vorgenommen hat. Die Idee ist recht einfach, wir werden sie zunächst am Beispiel des Erwartungswertes erörtern. Die Beobachtungswerte können als Abweichungen vom Erwartungswert y t = µ+ɛ t geschrieben werden. Der Fehler ɛ t fängt dabei gerade die Abweichungen auf, wobei hier keine Verteilung für ɛ t spezifiziert werden muss. Man kann nun einfach die Summe der quadratischen Fehler minimieren min T∑ ɛ 2 t = min t=1 T∑ (y t − µ) 2 . (2.34) t=1 24
2.3. PARAMETERSCHÄTZUNG Das Quadrieren des Fehlerterms ist dabei aus zwei Gründen sinnvoll, zum einen spielt die Richtung der Abweichung (positiv oder negativ) keine Rolle mehr, zum anderen fallen große Fehler stärker ins Gewicht. Wir finden das Minimum durch Nullsetzen der Ableitung der Summe in (2.34) nach µ ∂ ∂µ T∑ (y t − µ) 2 = −2 t=1 T∑ y t + 2T µ = ! 0. (2.35) Der partielle Differentialoperator ∂ wurde hier verwendet, weil die Summe von y t und von µ abhängt. Einfaches Umstellen und Auflösen ergibt den bekannten KQ-Schätzer für den Erwartungswert, vgl. (2.29) auf Seite 21 t=1 ˆµ = 1 T T∑ y t . (2.36) t=1 Das gesamte AR(1)-Modell bietet ebenfalls die Möglichkeit der Parameterschätzung mittels Kleinste-Quadrate-Methode. Wir notieren den Prozess einmal in seiner allgemeinen Form y t = θ 0 + φy t−1 + ɛ t . (2.37) Der zusätzliche Parameter θ 0 erscheint hier, weil der Erwartungswert in der Regel ungleich null ist, wie der zentrierte Prozess (2.3) auf Seite 6 zeigt. Das konstante Glied wurde einfach im Parameter θ 0 = (1 − φ)µ zusammengefasst. Diese Schreibweise wird sich noch als vorteilhaft erweisen, da sich die Konstante für Modelle höherer Ordnung anders zusammensetzt. (2.37) hat die Form eines linearen Regressionsmodells, bei dem die Regressoren aus verzögerten Werten der Zeitreihe bestehen. Bei einer linearen Regression stellt man sich vor, dass eine Reihe von Datenpunkten durch eine Gerade möglichst gut repräsentiert werden soll. Zu diesem Zweck wird die Gerade genau so platziert, dass die Summe der quadrierten Abstände der Geraden zu allen Datenpunkten möglichst klein wird. Abbildung 2.4 zeigt die lineare Regression der Zeitreihe aus Aufgabe 2.5 auf der vorherigen Seite. Die Abstandsquadrate sind ebenfalls eingezeichnet. Die Parameterschätzung mit der Kleinste-Quadrate-Methode erfolgt wieder durch Minimierung der Fehlerquadratsumme min T∑ ɛ 2 t = min t=2 T∑ (y t − θ 0 − φy t−1 ) 2 = min Q(θ 0 , φ). (2.38) t=2 25
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Lösung 6.4 y t = (φ 1 B + φ 2 B
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