Zeitreihenanalyse â Einstieg und Aufgaben - FernUniversitÃ¤t in Hagen

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INHALTSVERZEICHNIS 4 ARMA-Prozesse und Erweiterungen 69 4.1 Der ARMA(1,1)-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.1 Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 ARIMA und SARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.1 ARIMA(p, d, q)-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.2 Seasonal ARIMA-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3 ARMAX-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.1 Das ARMAX(1,0,1)-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3.2 ARMAX(p, s, q)-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4 Modellidentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4.1 Akaike-Informationskriterium . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.2 Bayes-Informationskriterium . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.3 Modellselektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 Bedingt heteroskedastische Prozesse 89 5.1 ARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1.1 Das ARCH(1)-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1.2 Stationarität des ARCH(1)-Prozesses . . . . . . . . . . 93 5.1.3 Kurtosis im ARCH(1)-Modell . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1.4 Parameterschätzung im ARCH(1)-Modell . . . . . . . . 98 5.1.5 Das ARCH(p)-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2.1 Das GARCH(1,1)-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.2 Das GARCH(p, q)-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 ARMA-GARCH und asymmetrische Erweiterungen . . . . . . 106 5.3.1 ARMA-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.3.2 Asymmetrische GARCH-Modelle allgemein . . . . . . . 108 5.3.3 Threshold ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.3.4 Quadratic GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.5 Exponential GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.6 Symmetrische vs. asymmetrische Modelle . . . . . . . . 113 5.3.7 ARCH in Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4 Modellidentifikation und Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.1 ARMA vs. GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.2 Modellordnung und Selektion . . . . . . . . . . . . . . 118 6 Zustandsraummodelle und Kalman-Filter 119 6.1 Das lineare Filterproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.2 Zustandsraummodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2.1 Architektur des Zustandsraummodells . . . . . . . . . 123 6.2.2 AR(p)-Modelle und VAR(1)-Darstellung . . . . . . . . 126 iv
INHALTSVERZEICHNIS 6.2.3 ARMA-Modelle in Zustandsraumform . . . . . . . . . 127 6.3 Kalman-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3.1 Die Bayes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3.2 Mess-Update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.3.3 Innovation und effizientes Kalman-Update . . . . . . . 135 6.3.4 Time-Update und Kalman-Filter-Algorithmus . . . . . 136 6.3.5 Zustandsschätzung und Prognose . . . . . . . . . . . . 138 6.3.6 Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.4 ARV-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4.1 Zustandsraumform des ARV-Modells . . . . . . . . . . 141 7 Tipps und Tricks 145 7.1 Zentrale Momente einer Normalverteilung . . . . . . . . . . . 145 7.2 Einfache Berechnung stationärer Momente . . . . . . . . . . . 145 7.3 Vereinfachte Kovarianzformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4 Hodrick-Prescott-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8 Lösungen 149 v
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2.5.1 Stationarität des AR(p)-Proz
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2.5. AR(P)-PROZESSE Für den Parame
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KAPITEL 3. MA-PROZESSE Die zweite F
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KAPITEL 3. MA-PROZESSE Iterieren vo
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KAPITEL 3. MA-PROZESSE Abbildung 3.
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KAPITEL 3. MA-PROZESSE Aufgabe 3.4
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KAPITEL 3. MA-PROZESSE Aufgabe 3.6
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4.1. DER ARMA(1,1)-PROZESS Aufgabe
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4.2. ARIMA UND SARIMA anderes, als
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4.2. ARIMA UND SARIMA Aufgabe 4.5 G
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4.3. ARMAX-MODELLE von besonderem I
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4.3. ARMAX-MODELLE politik sein kö
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4.4. MODELLIDENTIFIKATION nicht, da
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4.4.2 Bayes-Informationskriterium 4
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4.4. MODELLIDENTIFIKATION Herleitun
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KAPITEL 5. BEDINGT HETEROSKEDASTISC
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7 Tipps und Tricks 7.1 Zentrale Mom
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7.3. VEREINFACHTE KOVARIANZFORMEL 7
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8 Lösungen Lösungen zu Kapitel 2
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Lösung 2.5 ˆµ = 1 10 ˆγ k = 1
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Lösung 2.10 (Fortsetzung) c) r τ
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Lösung 3.5 q∑ q∏ θ(z) = 1 +
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Lösung 4.4 (Fortsetzung) b) ∇y t
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Lösungen zu Kapitel 5 Lösung 5.1
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Lösung 5.7 E[ν t |ɛ t−1 ] = 0
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Lösung 5.14 ARMA(2,1)-GARCH(1,1) :
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Lösung 6.4 y t = (φ 1 B + φ 2 B
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Lösung 6.10 ARV-Kalman-Filter Anfa
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