Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
der Prognose nicht erforderlich, sie erklärt nur den Weg, den der Prozess
bis zur Gegenwart genommen hat. Da wir den Gegenwartswert y t aber
kennen, liefert uns die Vergangenheit keine zusätzlichen Erkenntnisse mehr
bezüglich der Zukunft. Prozesse, die ihre gesamte Vergangenheit sozusagen
im Gegenwartswert speichern, bezeichnet man als Markov-Prozesse.
Markov-Prozesse sind in vielen Wissenschaftsgebieten von Interesse, da mit
ihnen eine außerordentlich große Zahl natürlich auftretender Phänomene
abgebildet werden kann.
Weiterhin können AR-Prozesse höherer Ordnung immer in ein System
von gekoppelten AR(1)-Prozessen überführt werden. Diese gekoppelten
Prozesse werden meistens in Vektorform zusammengefasst und man spricht
dann von einem VAR-Prozess (Vector Auto Regressive). Wir werden später
sehen, wie sich das AR(2)-Modell in ein VAR-Modell der Dimension d = 2
umschreiben lässt.
Der Spezialfall der Einheitswurzel, |φ| = 1 wird als Random Walk oder
als einfache Irrfahrt bezeichnet. Gelegentlich begegnet man auch der etwas
unterhaltsameren Metapher des Weges eines Betrunkenen. Die Struktur
y t = y t−1 + ɛ t zeigt, dass die nächste „Position“ sich aus der letzten, zuzüglich
eines zufälligen „Schrittes“ ergibt. Wobei wie bei einem Betrunkenen nicht
vorherzusagen ist, in welche Richtung der nächste Schritt wohl erfolgen wird.
Ferner wird hier natürlich vernachlässigt, dass der Betrunkene stolpern und
hinfallen könnte, was möglicherweise zur Stationarität des Betrunkenen führt
aber nicht des Prozesses. Auch der Random Walk ist ein wichtiges dynamisches
Modell in vielen Wissenschaftsdisziplinen.
2.2 Autokovarianz und Autokorrelation
Wir sind nun soweit genauer zu verstehen, um was für ein Objekt es sich bei
einer Zeitreihe eigentlich handelt:
Eine Zeitreihe ist eine Manifestation eines darunterliegenden (stochastischen)
Prozesses.
Das bedeutet, ein in der Regel unbekannter Prozess erzeugt eine Reihe von
Realisierungen in der Zeit, die wir beobachten können. Diese Beobachtungsreihe
bezeichnen wir als Zeitreihe. Da wir nicht wissen, welcher Prozess diese
Zeitreihe erzeugt hat, bspw. ein AR(1)-Prozess oder ein AR(2)-Prozess oder
eine völlig andere Prozessklasse, sind wir darauf angewiesen die Hinweise, die
in der Zeitreihe verborgen sind, sehr genau auszuwerten.
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