Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
Aufgabe 2.7
Expandieren Sie die folgenden Terme:
[ a
]
a) log[ab], b) log , c) log [ 2a b]
b
d) log [√ a ] , e) log [ a 3 4√ b ]
2.3.4 Konfidenzintervalle
Konfidenzintervalle sind deshalb interessant, weil mit ihrer Hilfe eingeschätzt
werden kann, wie verlässlich die Informationen, die wir aus der Zeitreihe
gewinnen, im Hinblick auf die darunterliegende Prozessstruktur tatsächlich
sind. Die Frage nach dem Konfidenzintervall ist auch eng mit der Frage nach
der Verteilung des involvierten Schätzers verknüpft.
Um das Prinzip zu verstehen nehmen wir zunächst an, dass eine (stationäre)
Zeitreihe (y t ) t=1,...,T vorliegt, die von einem reinen Zufallsprozess y t = ɛ t
mit Fehlerterm ɛ t ∼ N(0, σ 2 ) erzeugt wurde. Wir können den Erwartungswert
µ mit der bekannten Formel
ˆµ = 1 T
T∑
y t (2.53)
t=1
schätzen, vgl. (2.29) auf Seite 21. Dieser Schätzer hängt jedoch von den Werten
der Zeitreihe ab, die ihrerseits vom Zufall abhängen. Damit hängt der
Schätzer ˆµ selbst auch vom Zufall ab, nicht jedoch der wahre, aber unbekannte
Parameter µ. In diesem Fall ist der Schätzer ˆµ ebenfalls normalverteilt,
was bedeutet, dass wir nur seine ersten beiden Momente ermitteln müssen.
Wir erhalten
[ ]
1
T∑
E[ˆµ] = E y t = 1 T∑
E[y t ] = µ (2.54)
T T
t=1
t=1
[ ]
1
T∑
Var[ˆµ] = Var y t = 1 T∑
Var[y
T T 2
t ] = σ2
T . (2.55)
t=1
Die erste Eigenschaft, (2.54), bezeichnet man als Erwartungstreue. Erwartungstreue
Schätzer, deren Abweichung vom wahren Parameter asymptotisch
gegen null geht bezeichnet man als konsistent. Diese Eigenschaft wird durch
(2.55) sichergestellt. Wir haben also bereits einige wichtige Eigenschaften des
Schätzers ˆµ aufgedeckt.
t=1
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